微分方程-导弹跟踪问题的数学模型

微分方程建模之二导弹跟踪问题的数学模型〔狗兔追逃的数学模型〕本案例主要涉及常微分方程，介绍常微分方程的建模和求解方法。刻画同一现实问题的不同数学模型的好坏，除了用是否准确反映现实去衡量之外，另一重要的衡量准那么是模型是否易于求解。大多数现实问题的数学模型难以求得精确解，因而对某些问题，是否易于用计算机求得高精度的数值解就成为评价数学模型好坏的重要标准之一。本案例中，我们介绍两种解微分方程的数值方法：Euler法和改良的Euler法。知道有仿真方法〔指的是模仿真实事件行为和过程的方法〕。实际问题某军的一导弹基地发现正北方向120km处海面上有敌艇一艘以90km/h的速度向正东方向行驶。该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇，导弹速度为450km/h三、数学模型——常微分方程的建立建立直角坐标系：导弹基地为原点，轴指向正东方，轴指向正北方。当时间，导弹位于原点，敌艇位于点，。设导弹在时刻的位置为。由条件知：，其中为导弹速度。在时刻，敌艇位置应在，其中。由于导弹轨迹的切线方向必须指向敌艇，故有或。因此微分方程模型为：是一个关于时间的一阶微分方程组的初值问题。消去变量，求与的关系：，两边对求导得，而，故此二阶非线性微分方程，加上初值条件，也是导弹轨迹的数学模型。模型的求解设导弹击中敌艇于，时间。目前有两种解法：解析方法、数值方法。下面我们用数值方法求解将初值问题〔4〕、〔5〕、〔6〕化为一阶微分方程组其中。取变量的步长为，于是得分点：，相应点上的的值和的值记为：和。而有初值条件。下介绍两种算法来进行数值处理：Euler方法——用差商代替微商，，，那么有那么得到计算的迭代格式：于是，。表3.1是取n=4时000013000.052601.50.123905.00.22412011.50.42此时表3.2是对于不同的n值所对应的计算结果。显然，n越大〔即h越小〕，结果就越精确。表3.2n4812244896120240L11.5215.9617.9720.5522.2523.3323.5824.15T0.1280.1770.2000.2280.2470.2590.2620.268下面直接对初值问题〔1〕、〔2〕、〔3〕进行数值处理。取时间步长，对应时导弹轨迹上点的坐标为，那么Euler迭代格式为：当计算到时停止，于是或，。表3.300.00.000000.0000010.10.0000045.0000020.25.3615489.6794630.322.67495131.21553此时取表3.410．050．0000022．5000020．101．0373644．9760730．153．4120567．3504140．207．6461589．4484350．2514．86790110．7579660．3029．19480128．10702此时取表3.5是对应不同的，用Euler法所得相应的步长推进次数n和计算结果。表3.50．10．050．0050．001n3656278L22.6749529.1948025.6673125.04935T0.251940.324390.285190.27833Euler方法较为简单，但也较为粗糙，对形式较复杂的微分方程更易有较大的误差。这里我们介绍更精确的近似算法---改良的Euler方法。改良的Euler方法(预报—校正法)对问题Euler迭代格式是，其中，。而改良的Euler迭代格式那么是，其中。对问题〔7〕、〔8〕、〔9〕，写出相应的改良的Euler迭代格式：当计算到时停止，于是或，。表3.600．00．000000．0000010．12．6807744．8397320．212．5752488．2867930．327．07242130．25567此时取表3.710．050．5186822．4880420．102．1059644．9219530．155．0982167．2021340．2010．1609689．0690650．2519．65646108．9879860．3024．24089130．99030此时取表3.8是对应不同的，用改良的Euler法所得相应的步长推进次数n和计算结果。表3.80．10．050．0050．001n3656278L27.0724224.240892