【数学】2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）试题（解析版）

2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题一、选择题1.样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（）A.14 B.16 C.18 D.20【答案】B【解析】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其中位数为16.故选：B.2.椭圆的离心率为，则（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由题意得，解得，故选：A.3.记等差数列前项和为，则（）A.120 B.140 C.160 D.180【答案】C【解析】因为，所以，所以，所以，故选：C.4.设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C【解析】对于A，可能平行，相交或异面，故A错误，对于B，可能相交或平行，故B错误，对于D，平行，不可能垂直，故D错误，由线面平行性质得C正确，故选：C5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（）A.20种 B.16种 C.12种 D.8种【答案】B【解析】因为乙和丙之间恰有人，所以乙丙及中间人占据首四位或尾四位，①当乙丙及中间人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法，所以有种方法；②当乙丙及中间人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法，所以有种方法；由分类加法计数原理可知，一共有种排法，故选：B.6.已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（）A.是一个半径为的圆 B.是一条与相交的直线C.上的点到的距离均为 D.是两条平行直线【答案】C【解析】设，由，则，由在直线上，故，化简得，即的轨迹为为直线且与直线平行，上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确.故选：C.7.已知，则（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】由题，得，则或，因，所以，.故选：A8.设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形，令，则，由双曲线定义可知，故有，即，即，，，则，即，故，则有，即，即，则，由，故.故选：D.二、选择题9.已知函数，则（）A.函数为偶函数B.曲线的对称轴为C.在区间单调递增D.的最小值为【答案】AC【解析】，即，对于A，，易知为偶函数，所以A正确；对于B，对称轴为，故B错误；对于C，，单调递减，则单调递增，故C正确；对于D，，则，所以，故D错误；故选：AC10.已知复数均不为0，则（）A. B.C D.【答案】BCD【解析】设、；对A：设，则，，故A错误；对B：，又，即有，故B正确；对C：，则，，，则，即有，故C正确；对D：，，故，故D正确.故选：BCD.11.已知函数的定义域为，且，若，则（）A. B.C.函数是偶函数 D.函数是减函数【答案】ABD【解析】令、，则有，又，故，即，令、，则有，即，由，可得，又，故，故A正确；令，则有，即，故函数是奇函数，有，即，即函数是减函数，令，有，故B正确、C错误、D正确.故选：ABD.三、填空题12.已知集合，若，则的最小值为__________．【答案】【解析】由，故，由，得，故有，即，即，即的最小值为.故答案为：.13.已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是__________，圆锥的表面积与球的表面积的比值是__________．【答案】【解析】设圆锥的底面半径为，球的半径为，因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高，母线，由题可知：，所以球的半径所以圆锥的体积为，球的体积，所以；圆锥的表面积，球的表面积，所以，故答案为：；.14.以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为__________．【答案】【解析】令其中，所以，若，则，故，令，因此,故,则，若，则，即，，则,故,则，当且仅当且时等号成立，如取时可满足等号成立，综上可知的最小值为，故答案为：四、解答题15.已知函数在点处的切线与直线垂直．（1）求；（2）求的单调区间和极值．解：（1），则，由题意可得，解得；（2）由，故，则，，故当时，，当时，，当时，，故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，故有极大值，有极小值.16.盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；（2）记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及数学期望．解：（1）记“取出的个小球上的数字两两不同”为事件，先确定个不同数字的小球，有种方法，然后每种小球各取个，有种取法，所以.（2）由题意可知，的可取值为，当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球，所以；当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球，所以；当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球，所以，所以的分布列为：所以.17.如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．（1）证明：连接，因为底面是边长为2的正方形，所以，又因为，，所以，所以，点为线段中点，所以，在中，，，所以，则，又，平面，平面，所以平面.（2）解：【方法一】：由题知正方形中，平面，所以建系如图所示，则，则，，设面的法向量为，面的法向量为，则，取，则取，则.设二面角大小为，则，所以二面角的正弦值为.【方法二】：以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设得，，，，，，，，．设是平面的法向量，则，即，可取．设是平面的法向量，则，即，可取．所以．因此二面角的正弦值为．18.已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．（1）证明：直线过定点；（2）设为直线与直线的交点，求面积的最小值．（1）证明：【方法一】：由，故，由直线与直线垂直，故两只直线斜率都存在且不，设直线、分别为、，有，、、、，联立与直线，即有，消去可得，，故、，则，故，，即，同理可得，当时，则，即，由，即，故时，有，此时过定点，且该定点为，当时，即时，由，即时，有，亦过定点，故直线过定点，且该定点为；【方法二】：设，，不妨设．设，则．由，得，故，，，．所以．同理可得．若，则直线，MN过点．若，则直线，MN过点．综上，直线MN过定点．（2）解：法1：由、、、，则，由、，故，同理可得，联立两直线，即，有，即，有，由，同理，故，故，过点作轴，交直线于点，则，由、，故，当且仅当时，等号成立，下证：由抛物线的对称性，不妨设，则，当时，有，则点在轴上方，点亦在轴上方，有，由直线过定点，此时，同理，当时，有点在轴下方，点亦在轴下方，有，故此时，当且仅当时，，故恒成立，且时，等号成立，故，法2：设H为AD的中点，S为直线GM与AD的交点．由M，H分别为AB，AD的中点知，所以，故．设T为直线GN与AD的交点，同理可得．所以．由（1）中的法2可得，同理可得．所以，当且仅当时等号成立．因此的面积的最小值为8．19.离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为．（1）若，求；（2）对，记为除以的余数（当能被整除时，）．证明：，其中；（3）已知．对，令．证明：．（1）解：若，又注意到，所以.（2）解：【方法一】：当时，此时，此时，，故，此时.当时，因相异，故，而，故互质.记，则，使得，故，故，设，则，因为除以的余数两两相异，且除以的余数两两相异，故，故，故，而其