高考数学常用公式及结论会考复习必背知识点

高考数学常用公式及结论会考复习必背知识点高考数学常用公式及结论高考数学常用公式及结论1..ABAABBABCBCA,,,,,,,,,CABR,,,ACBUUUUnnn2.若,,,则Ａ的子集有个,真子集有－1个,非空真子集有－2个.A,a,a,a,,,,,a222123nn3.从集合,,到集合,,的映射有m个.A,a,a,a,,,,,aB,b,b,b,,,,,b123n123m4.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假5.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有（）个n,1小于不小于至多有n个至少有（）个n，1对所有xx，存在某，成立不成立或且p，p，qq对任何xx，存在某，不成立成立且或p，p，qq6.四种命题的相互关系原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ7.充要条件（1）充分条件：若，则是充分条件.pq,pq（2）必要条件：若，则是必要条件.qp,pq（3）充要条件：若，且，则是充要条件.pq,qp,pq注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.8.二次函数的解析式的三种形式：2?一般式fxaxbxca()(0),，，,；22,b4acb,,?顶点式，，,，，；fxax,,2a4a,,?零点式fxaxxxxa()()()(0),,,,.129.函数的的单调性：(1)设,,x,x,a,b,x,x那么1212f(x),f(x)12,,,0,f(x)在a,b()()()0xxfxfx,,,上是增函数；,,,1212x,x12第1页共24页武汉中学高三数学组编高考数学常用公式及结论f(x),f(x)12上是减函数.,,()()()0xxfxfx,,,,,0,f(x)在a,b,,1212x,x12(2)设函数,在某个区间内可导，如果，则为增函数；y,f(x)f(x),0f(x)如果,，则为减函数.f(x),0f(x)10.函数的图象的对称性:yfx,()?xa,的图象关于直线对称；yfx,(),，,,faxfax()(),,,faxfx(2)()ab，?,，,,faxfbx()()的图象关于直线对称；x,yfx,(),，,,fabxfx()()2?，，，，，，，，的图象关于点对称，,fx,,f2a,x,fa，x，fa,x,0yfx,()(,0)a，，，，，，，，的图象关于点对称.fx,2b,f2a,x,fa，x，fa,x,2byfx,()(,)ab,11.两个函数的图象的对称性:?函数与函数的图象关于直线(即轴)对称；yfx,()yfx,,()x,0y?函数xa,与函数的图象关于直线对称；yfxa,,()yfax,,()?函数xa,的图象关于直线对称的解析式为；yfx,()yfax,,(2)?函数的图象关于点对称的解析式为；yfx,()yfax,,,(2)(,0)a,1?函数y,f(x)和函数的图象关于直线对称.y,f(x)y,x12．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．nn,113．多项式函数Pxaxaxa(),，，，的奇偶性nn,10多项式函数Px()是奇函数Px()的偶次项(即奇数项)的系数全为零.,多项式函数Px()是偶函数Px()的奇次项(即偶数项)的系数全为零.,14.若将函数a的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将y,f(x)y,f(x,a)，bb曲线af(x,y),0的图象右移、上移个单位，得到曲线f(x,a,y,b),0的图象.b15.几个常见的函数方程(1)正比例函数fxcx(),,fxyfxfyfc()()(),(1)，,，,.x(2)指数函数fxa(),,.fxyfxfyfa()()(),(1)0，,,,(3)对数函数fxx()log,,fxyfxfyfaaa()()(),()1(0,1),，,,,.a',(4)幂函数fxx(),fxyfxfyf()()(),(1),,,,.(5)余弦函数fxx()cos,gxx()sin,fxyfxfygxgy()()()()(),,，,正弦函数，，gx()f(0)1,lim1,,.x,0x16.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）f(x),f(x，a)f(x)，则的周期T=a；（2）f(x),f(x，a),0，1或f(x，a),(f(x),0)，f(x)1或fxa()，,,(()0)fx,,fx()12或，,,，,fxfxfxafx()()(),(()0,1)f(x),则的周期T=2a；,,2第2页共24页武汉中学高三数学组编高考数学常用公式及结论1(3)f(x),1,(f(x),0)，则的周期T=3a；f(x)f(x，a)f(x)，f(x)12(4)且，则f(x，x),fafxfxxxa()1(()()1,0||2),,,,,,f(x)1212121,f(x)f(x)12的周期T=4a；(5)fxfxafxafxafxa()()(2)(3)(4)，，，，，，，,则的周期T=5a；,，，，，fxfxafxafxafxa()()(2)(3)(4)f(x)(6)，则的周期T=6a.f(x，a),f(x),f(x，a)f(x)mm,1nm,nn17.分数指数幂：aa,amnN,,0,,；（以上，且）.a,n,1mnab18.?a,N,logN,b，，logMN,logM，logN；?；aaaanMn?log,logM,logN；?loglogbb,.maaaaaNmlogNlogNma19.对数的换底公式:logN,aN,.对数恒等式:.alogamsn,1,,120.数列a,saaa,，，，{}a的前n项和为,则.,nnn12nssn,,,2,nn,1a,anm21.?等差数列,,，，,d,a,a，(n,m)daa,a，n,1d的通项公式:,或.nmnn1n,mnaa()，nn(1),d121n?前n项和公式:s,,，nad,，,nadn().1n1222222.对于等差数列a，a,a，a,,a，若(m、n、p、q为正整数)，则.n，m,p，qnmpqn*23.若数列,,k,NSSaS,SS,S是等差数列，是其前n项和，，那么，，成等nkn2kk3k2k2差数列,其公差D,kd，如下图所示：S3k,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,？？？a，a，a，，a，a，，a，a，，akkkkk123，122，13.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,k2kk3k2kSSSSS,,224．数列,,,,AnBn，aknb,，Saa是等差数列；数列是等差数列=.,,nnnn25.设数列S,,SSa是等差数列，是奇数项的和，是偶数项的和，是前n项的和，则偶nn奇?前n项的和S,S，S；n奇偶n?当n为偶数时，S,S,d，其中d为公差；偶奇2Sn，1n，1n,1奇?当n为奇数时，则S,aS,a,，，，，S,S,a偶中奇中奇偶中22Sn,1偶S，SS奇偶n,,na（其中是等差数列的中间一项）中SSSS,,奇偶奇偶aSn2n,126.若等差数列,,,,b,aS2n,1和的前项的和分别为和，则.Tnn2n,12n,1bTn2n,1aa,,n,1n1nmnmn27.?等比数列,,a,aq,,qa的通项公式:；或.a,aq,q,nn1nmqam第3页共24页武汉中学高三数学组编高考数学常用公式及结论n,aq(1),aaq,,11n,1q,q,,1,,,qs,s,1,q1n?前n项和公式:,或.,,n,,naq,,1naq,1,,11,28.对于等比数列,,，若(n、m、u、v为正整数)，则.a,a,a,aan，m,u，vnmuvn*29.数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数k,N,,aSSS,SS,Snnk2kk3k2kk列，其公比为Q,q.30.分期付款(按揭贷款)nabb(1)，每次还款x,an元(贷款元,次还清,每期利率为).bn(1)1，,b1111111,,31.裂项法：?,,；?,,,；,,，，，，，，nn，1nn，12n,12n，122n,12n，1,,11n11?，，,a,b,,；?.，，，，n，1!n!n，1!a,ba，b32．常见三角不等式,（1）若x,(0,)，则.sintanxxx,,2,(2)若1sincos2,，,xxx,(0,)，则.2(3).|sin||cos|1xx，,222233.同角三角函数的基本关系式:?sincos1,,，,1，tan,,sec,，，,sin221，cot,,csc,；?tan,=；?tan1,,,,cot.cos,34.正弦、余弦的诱导公式：nn,,22(1)sin,,,n为偶数(1)s,,con,为偶数n,n,,,sin()，,,cos()，,,nn,,11,，2222,,(1)s,con,(1)sin,,n,为奇数,为奇数,,,,,，，cos,，,,sin,cos,,,,,cos,即:“奇变偶不变,符号看象限”.如,,,2,,35.和角与差角公式?sin()sincoscossin,,,,,,,,,cos()coscossinsin,,,,,,,,；；tantan,,,tan(),,,,.1tantan,,2222?sin()sin()sinsin,,,,,,，,,,cos()cos()cossin,,,,,,，,,,；.22?absincos,,，(,)ab=(其中,辅助角所在象限由点所在的象限决,ab，，sin(),,b定,tan,,).a36.二倍角公式：?sin2,,2sin,cos,.2222?cos2cossin2cos112sin,,,,,,,,,,,（升幂公式）.1cos21cos2，,,,22cos,sin,,,,（降幂公式）.22第4页共24页武汉中学高三数学组编高考数学常用公式及结论21tan,,2tan,2tan,cos2,,37.万能公式:；；（正切倍角公式）.sin2,,tan2,,2221tan，,1tan，,1tan,,,,,sin1cos,38.半角公式:.tan,,21cossin，,,39.三函数的周期公式:,2?函数T,及的周期(A、ω、为常数，且A?0).yAx,，sin(),,yAx,，cos(),,,,,?函数T,，，的周期(A、ω、为常数，且A?0).y,Atan,x，,,,,,，，40.的单调递增区间为2,2kkkZ,单调递减区间为,，,yx,sin,,,,22，，,,,3，，xkkZ,，,,()，对称轴为,对称中心为.，，,2,2kkkZ,,k,,0()kZ,，，,,222，，41.的单调递增区间为,单调递减区间为，2,2kkkZ,,,,,2,2kkkZ,,,，,yx,cos,,,,,,,对称轴为，,对称中心为k,0.xkkZ,,,(),()kZ,,,2,,,,k,,,,,42.,，,，，kkkZ,的单调递增区间为，对称中心为k,Z.,,,0yx,tan,,,,222,,,,43.三角函数变换:向左，，，，,,0或向右,,0平移,个单位?相位变换:,,,,,,,,,,,，，的图象y,sinx，,的图象；y,sinx1,,横坐标伸长，，，，,,或缩短,到原来的倍011,?周期变换:,,,,,,,,,,,,,,的图象的图象；y,sinxy,sin,x纵坐标伸长，，，，A,1或缩短0,A,1到原来的A倍?振幅变换:,,,,,,,,,,,,,的图象的图象.y,sinxy,Asinxabc44.?正弦定理,,,2R（为,ABC的外接圆的半径）；RsinsinsinABC222222222?余弦定理abcbcA,，,2cosbcacaB,，,2coscababC,，,2cos；；.11145.三角形面积公式：?Sahbhch,,,hhh、、（分别表示a、b、c边上的高）；abcabc222111?SabCbcAcaB,,,sinsinsin.22246.在?ABC中，有,，CAB?ABCCAB，，,,,,，,,,,,(),,,，222()CAB,；222?a,b,sinA,sinB,ABC（注意是在中）.2247.平面上两点间的距离公式:d,,，,()()xxyy(,)xy(,)xy，其中A，B.AB,1121212248.向量的平行与垂直：设abb0,(,)xy(,)xy=,=，且，则1122?abba,,,xyxy0=λ；,1221?aba0ab,,，,xxyy0?0.,,121249.线段的定比分点公式：设PPPxy(,)Pxy(,)Pxy(,),，，是线段的分点,是实数，12111222且，则PPPP,,12第5页共24页武汉中学高三数学组编高考数学常用公式及结论，,xx,12,x,，,1OPOP,1，,12,t（其中）.,,,OPtOPtOP,，,(1)OP,12，1，，,yy1,,12,y,,1，,,50.若OAxOByOB,，，则、、共线的充要条件是.Cx，y,1AB51.三角形的重心坐标公式:?ABC三个顶点的坐标分别为、、,B(x,y)C(x,y)A(x,y)223311xxxyyy，，，，123123则其重心的坐标是G(,).33'',,xxhxxh,，,,,,''52.?点的平移公式,,，OPOPPP,(图形F上的任意一点,,''yykyyk,，,,,,,,'''''P(x，y)在平移后的图形Pxy(,)PP上的对应点为，且的坐标为)；(,)hkF?函数，，，，y,fx按向量平移后的解析式为y,k,fx,h.，，a,h,k53.“按向量平移”的几个结论'（1）点Pxhyk(,)，，按向量=平移后得到点.Pxy(,)(,)hk''(2)函数CC的图象按向量=平移后得到图象,则的函数解析式为Cyfx,()(,)hk.yfxhk,,，()''(3)图象CC按向量=平移后得到图象C,若C的解析式,则的函数解析(,)hkyfx,()式为.yfxhk,，,()''(4)曲线CCC:按向量=平移后得到图象,则的方程为fxy(,)0,(,)hkfxhyk(,)0,,,.(5)向量=(,)xy按向量=(,)hk平移后得到的向量仍然为=(,)xy.54.三角形五“心”向量形式的充要条件设O为,ABC所在平面上一点，角所对边长分别为，则ABC,,abc,,222（1）,,,OAOBOCO,ABC为的外心.（2）,，，,OAOBOC0O为,ABC的重心.（3）,,,,,,OAOBOBOCOCOAO为,ABC的垂心.（4）,，，,aOAbOBcOC0O为,ABC的内心.（5）,,，aOAbOBcOCO,ABC为的的旁心.，A55.常用不等式：22a，b22(1),ab,abab，,2abR,,(当且仅当a＝b时取“=”号)．,22ab，a，b,,，(2)abR,,,ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．,,ab,,,22,,3333(3)a，b，c,3abca，b，c,3abca,b,c(当且仅当时取“=”号)．,(4)a,b,a,b,a，b,(注意等号成立的条件).221abab，，(5),,,,,abab(0,0).1122，ab22222（6）柯西不等式：()()(),,,,.abcdacbdabcdR，，,，,第6页共24页武汉中学高三数学组编高考数学常用公式及结论56.极值定理：已知都是正数，则有x,y(1)如果积是定值，那么当时和有最小值；x，yxypx,y2p12(2)如果和s是定值，那么当时积有最大值.x，yx,yxys4257.解一元二次不等式axbxc，，,,0(0)或:若,则对于解集不是全集或空集时,对应a,0的解集为“大两边，小中间”.如:当,，，，，；x,xx,xx,x,0,x,x,x121212，，，，.x,xx,x,0,x,x或x,x122158.含有绝对值的不等式：当时，有a,022?；x,a,x,a,,a,x,a22?xa,,或.xaxaxa,,,,,59.分式不等式：，，，，fxfx（1），，，，，，，，,0,fx,gx,0,0,fx,gx,0；（2）；，，，，gxgx，，，，，，，，fx,gx,0fx,gx,0,,，，，，fxfx（3）；（4）.,0,,0,,,，，，，，，，，gx,0gx,0gxgx,,60.指数不等式与对数不等式fx()0,,,fxgx()()(1)当aafxgx,,,()()时,；log()log()()0fxgxgx,,,.a,1,aa,fxgx()(),,fx()0,,,fxgx()()(2)当aafxgx,,,()()01,,a时,；log()log()()0fxgxgx,,,.,aa,fxgx()(),,yy,2161.斜率公式：k,Pxy(,)Pxy(,)，其中、.111222xx,21b直线的方向向量(0)a,，则直线的斜率为k=.，，v,a,ba62.直线方程的五种形式(1)点斜式：yykxx,,,()Pxy(,)(直线l过点，且斜率为k)．11111(2)斜截式：ykxb,，(b为直线l在轴上的截距).yyyxx,,11(3)两点式：,yy,Pxy(,)Pxy(,)xx,(、，).1211122212yyxx,,2121xy(4)截距式：ax，,1a,0,b,0(其中、b分别为直线在轴、轴上的截距，且).yab(5)一般式：AxByC，，,0(其中A、B不同时为0).63.两条直线的平行和垂直（1）若lykxb:,，lykxb:,，，,则111222?l,k,kb,bl?,；?.llkk,,,,11212121212（2）若lAxByC:0，，,lAxByC:0，，,,,则11112222?l//l,AB,AB,0AC,AC,0且；?.llAABB,,，,01212211221121212第7页共24页武汉中学高三数学组编高考数学常用公式及结论kk,2164.?夹角公式：.(，,)；lykxb:,，lykxb:,，tan||,,kk,,1111222121kk，21(注意以下两种特殊情形下的夹角:?，?或的斜率不存在).ll,ll1212,kk21?到角公式:直线l,到l的角是(lykxb:,，，lykxb:,，,).tan,12kk,,111122212，1kk21||AxByC，，0065.点到直线的距离d,(点,直线：).Pxy(,)AxByC，，,0l0022AB，66.两条平行线间的距离：若直线；，则l:Ax，By，C,0l:Ax，By，C,01122||CC,21d,.22AB，67.或所表示的平面区域,0AxByC，，,0设直线，则或所表示的平面区域是：,0lAxByC:0，，,AxByC，，,0若，当与同号时，表示直线的上方的区域；当与异B,0AxByC，，lAxByC，，BB号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.l若，当与同号时，表示直线的右方的区域；当与异B,0AxByC，，AxByC，，lAA号时，表示直线的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.l68.()()0AxByCAxByC，，，，,或所表示的平面区域,0111222设曲线CAxByCAxByC:()()0，，，，,AABB,0（），则1112221212()()0AxByCAxByC，，，，,或所表示的平面区域是：,0111222()()0AxByCAxByC，，，，,所表示的平面区域上下两部分；111222()()0AxByCAxByC，，，，,所表示的平面区域上下两部分.11122269.圆的方程的四种形式222（1）圆的标准方程:()()xaybr,，,,.2222（2）圆的一般方程:xyDxEyF，，，，,0(＞0).DEF，,4xar,，cos,,（3）圆的参数方程:.,ybr,，sin,,（4）圆的直径式方程:()()()()0xxxxyyyy,,，,,,Axy(,)(圆的直径的端点是、121211Bxy(,)).2270.圆中有关重要结论:2222(1)若P(xyr，,xxyyr，,xyxy,)是圆上的点,则过点P(,)的切线方程为.000000222(2)若P(()()xaybr,，,,xyxy,)是圆上的点,则过点P(,)的切线方程为00002()()()()xaxaybybr,,，,,,.00222(3)若P(xyr，,xyxy,)是圆外一点,由P(,)向圆引两条切线,切点分别为A、B00002则直线AB的方程为xxyyr，,.00222(4)若P(()()xaybr,，,,xyxy,)是圆外一点,由P(,)向圆引两条切线,切点00002分别为A、B，则直线AB的方程为()()()()xaxaybybr,,，,,,.0071.圆的切线方程22(1)已知圆xyDxEyF，，，，,0．?若已知切点(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是00第8页共24页武汉中学高三数学组编高考数学常用公式及结论DxxEyy()()，，00.xxyyF，，，，,00022DxxEyy()()，，00当圆外时,表示过两个切点的切xxyyF，，，，,0(,)xy000022点弦方程．?过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两yykxx,,,()00条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．?斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线．ykxb,，222(2)已知圆xyr，,．2?过圆上的xxyyr，,点的切线方程为;Pxy(,)000002?斜率为的圆的切线方程为.kykxrk,,，122xa,cos,xy,72.椭圆，,,,1(0)ab的参数方程是.22,abyb,sin,,222axy73.(1)椭圆x,,，,,,1(0)ab的准线方程为,焦半径公式；PF,a,ex22pcab222axy(2)椭圆y,,，,,,1(0)ab的准线方程为,焦半径公式.PF,a,ey22pcba222xy2b74.(1)椭圆，,,,1(0)ab的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为；22aab222xy2b(2)双曲线,,,,1(0,0)ab的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为.22aab75.椭圆的切线方程22xyxxyy00(1)椭圆，,,,1(0)ab，,1Pxy(,)上一点处的切线方程是.220022abab22xy（2）过椭圆，,,,1(0)abPxy(,)外一点所引两条切线的切点弦方程是2200abxxyy00，,1.22ab22xy22222（3）椭圆，,,,1(0)abAaBbc，,AxByC，，,0与直线相切的条件是.22ab222xya76.(1)双曲线x,,,,,,1(0,0)abPF,,a,ex的准线方程为,焦半径公式；22pcab222xya(2)双曲线y,,,,,,1(0,0)abPF,,a,ey的准线方程为，焦半径公式.22pcba22xyb77.(1)双曲线,,,,1(0,0)abyx,,的渐近线方程为；22aba22xya(2)双曲线,,,,1(0,0)abyx,,的渐近线方程为.22bab78.双曲线的切线方程22xxyyxy00(1)双曲线,,,,1(0,0)ab,,1Pxy(,)上一点处的切线方程是.220022abab第9页共24页武汉中学高三数学组编高考数学常用公式及结论22xy,,,,1(0,0)ab（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是Pxy(,)2200abxxyy00.,,122ab22xy（3）双曲线,,,,1(0,0)ab与直线相切的条件是AxByC，，,022ab22222AaBbc,,.22xy79.(1)P是椭圆，,,,1(0)ab上一点,F、F是它的两个焦点,?FPF=θ，则221212ab,2?PFF的面积=btan.12222xy(2)P是双曲线,,,,1(0,0)ab上一点,F、F是它的两个焦点,?FPF=θ，则221212ab,2?PFF的面积=bcot.1222y22080.抛物线y,2pxP(2pt,2pt)，，Px,y上的动点可设为P或.(,y)0002pp281.(1)P(y,2pxPF,x，xy,)是抛物线上的一点,是它的焦点,则；F00022p2(2)抛物线y,2pxl,的焦点弦长,其中是焦点弦与x轴的夹角；,2sin,2(3)抛物线y,2px的通径长为.2p82.抛物线的切线方程2(1)抛物线y,2pxyypxx,，()Pxy(,)上一点处的切线方程是.00002（2）过抛物线y,2pxyypxx,，()Pxy(,)外一点所引两条切线的切点弦方程是.000022（3）抛物线ypxp,,2(0)pBAC,2与直线AxByC，，,0相切的条件是.83.直线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为(x,y),B(x,y),则A11221222AB,y,y1，ABxxyy,,，,()()AB,x,x1，k,或,或.121212122k84.圆锥曲线Fxxyy(2-,2)0,,Pxy(,)Fxy(,)0,关于点成中心对称的曲线是.000085.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线Fxxyy(2-,2)0,,Pxy(,)Fxy(,)0,关于点成中心对称的曲线是.0000（2）曲线Fxy(,)0,AxByC，，,0关于直线成轴对称的曲线是：2()2()AAxByCBAxByC，，，，Fxy(,)0,,,.2222ABAB，，86.“四线”一方程2222对于一般的二次曲线AxBxyCyDxEyF，，，，，,0yxxxyy，用代，用代，用00xyxy，xx，yy，0000x代，用代，用代即得方程xyy222xyxyxxyy，，，0000AxxBCyyDEF，,，，,，,，,0，曲线的00222均是此方程得到.第10页共24页武汉中学高三数学组编高考数学常用公式及结论abb0abab87.共线向量定理：对空间任意两个向量、(?)，有?存在实数λ使=λ．,88.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC,，，，则四点P、A、B、C共面．xyz，，,1,ab，ab，ab11223389.空间两个向量的夹角公式:，其中度cosa,b,222222a，a，a,b，b，b123123，.，，，，a,a,a,ab,b,b,b123123AB,m90.直线,与平面所成的角:，故,sin,cosAB,m,ABAB,mAB,m,m,其中为平面的法向量.,arcsin,AB,mm,n91.锐二面角的平面角:,故或,,l,,,,arccoscos,,cosm,nm,nm,n,mn,其中、为平面、的法向量.,,,,,arccosm,n92.空间两点间的距离公式:若，，，，Ax,y,zBx,y,z,则111222222，，，，，，d,x,x，y,y，z,z.AB,212121221*93.点Q到直线的距离:,点P在直线上,直线的方向向量lll，，，，h,a,b,a,baa,PA,向量.b,PQAB,n94.点B到平面,,,nA,,的距离:,为平面的法向量,是面的一条斜线,.ABd,n95.(1)设直线,,OAOBOAOBOC为平面的斜线,其在平面内的射影为,与所成的角为,1,coscoscos,,,,,OBOA在平面内,且与所成的角为,与所成的角为,,则.212(2)若经过，BOCOA，BOCOBOCOA的顶点的直线与的两边、所在的角相等，则在，BOC，BOC所在平面上的射影为的角平分线；反之也成立.'S'96.面积射影定理:,SSS(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成cos,锐二面角的为,).197.体积公式:V,ShV,Sh；.柱锥398．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶第11页共24页武汉中学高三数学组编高考数学常用公式及结论点到截面距离与棱锥高的平方比．43299.球的半径是R，则其体积是,其表面积是SR,4,．VR,,3100.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体:66棱长为aaa的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.124101.分类计数原理:Nmmm,，，，Nmmm,，，，.分步计数原理:.12n12nn！*m102.排列数公式:nmA==(，?，且)．n(n,1)？(n,m，1)mn,n(n,m)！nmm,1mmmm,1103.排列恒等式:?AnmA,,，(1)AnA,AA,；?；?；nnnn,1nn,1nm,nnn，1mmm,1?nAAA,,AAmA,，；?.nnn，1nnn，1mn！n(n,1)？(n,m，1)Anm*104.组合数公式:nmC===(，?，且).mn,nmm！,(n,m)！m1，2，？，mAmmn,mm,1mkk,1105.组合数的性质：?CCCCCkCnC,=；?+=；?.nnnnnnn,1，1106.组合恒等式:nm,，1nnmm,1mmmm,1（1）CC,CC,CC,;（2）;（3）;nn,1nnnn,1mnm,mnrrrrr，1nr（4）C，C，C，？，C,CC=;（5）.2rr，1r，2nn，1,nr,0012rnn(6)C，C，C，？，C，？，C,2.nnnnn135024n,1(7)C，C，C，？,C，C，C，？2.nnnnnn123nn,1(8)C，2C，3C，？，nC,n2.nnnnr01r10rrr,(9)CC，CC，？，CC,C.mnmnmnmn，0212222nn(10)(C)，(C)，(C)，？，(C),C.2nnnnnmm107．排列数与组合数的关系是：AmC,,！nn108．单条件排列以下各条的大前提是从nm个元素中取个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”m,1mm,11m,1?某（特）元必在某位有AA,A,AA种；?某（特）元不在某位有（补集思想）nn,1n,1n,1n,1m1m,1,A，AA（着眼位置）（着眼元素）种.n,1m,1n,1（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）km,k?定位紧贴：AAk(k,m,n)个元在固定位的排列有种.kn,k第12页共24页武汉中学高三数学组编高考数学常用公式及结论n,k，1kn?浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用AAn,k，1k捆绑法；?插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组k,h，1hk互不能挨近的所有排列数有AA种.hh，1（3）两组元素各相同的插空mn个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？nAnm，1当时，无解；当时，有种排法.n,m，1n,m，1,Cm，1nAnn（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为C.mn，109．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的mnmn、个物件等分给个人，各得件，其分配方法(mn)!nnnnn数共有NCCCCC.,,,,？,,,,,22mnmnnmnnnnm(n!)（2）(平均分组无归属问题)将相异的mnm?个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有nnnnn,,,,CCC...CC(mn)!,,22mnmnnmnnnn,,.Nmm!m!(n!)（3）(非平均分组有归属问题)将相异的mP(P=n+n++n)个物体分给个人，物件必须12m被分完，分别得到mnnnnnn，，„，件，且，，„，这个数彼此不相等，则其分配mm1212p!m!nnnm12方法数共有.NCC...Cm!,,,,ppnn,1mn!n!...n!12m（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的mP(P=n+n++n)个物体分给个人，物件12m必须被分完，分别得到mnnnnnn，，„，件，且，，„，这个数中分别有a、b、c、„mm1212nnnm12CC...Cm!,,pm!!,ppn1nm个相等，则其分配方法数有,N,.nnnabc!!...!(!!!...)a!b!c!...12m（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n+n++n)nn个物体分为任意的，，„，12m12mmnnnn件无记号的堆，且，，„，这个数彼此不相等，则其分配方法数有mm12p!.N,n!n!...n!12m（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n+n++n)n个物体分为任意的，12m1mmnnnnn，„，件无记号的堆，且，，„，这个数中分别有a、b、c、„个相等，则mm212p!其分配方法数有,.Nn!n!...n!(a!b!c!...)12m（7）(限定分组有归属问题)将相异的pnnn,+++（）个物体分给甲、乙、丙，„„p12m等mnnnnn个人，物体必须被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，„时，则无论，，„，12312mn等个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有mp!nnnm12NCC...C,,,.ppnn,1mn!n!...n!12m110．“错位问题”及其推广：信nn封信与个信封全部错位的组合数为：第13页共24页武汉中学高三数学组编高考数学常用公式及结论1111n.fnn()![(1)],,，,，,2!3!4!!n推广:nnm个元素与个位置,其中至少有个元素错位的不同组合总数为1234fnmnCnCnCnCn(,)!(1)!(2)!(3)!(4)!,,,，,,,，,mmmmppmm,，,,，，,,(1)()!(1)()!CnpCnmmm1234pmCCCCCCpmmmmmmm.,,，,，,，,，，,n![1(1)(1)]1224pmAAAAAAnnnnnnn0n1n,12n,22rn,rrnn111．二项式定理:(a，b),Ca，Cab，Cab，？，Cab，？，Cb；nnnnnrn,rr二项展开式的通项公式：T,Cab.(r,0，1，2？，n)r，n1m112．等可能性事件的概率：PA(),nn，，，，，，113．?互斥事件、有一个发生的概率：PA，B,PA，PB；个互斥事件中有一AB个发生的概率：，，，，，，，，PA，A，,,,，A,PA，PA，,,,，PA；12n12n?，，，，，，PA，B,1,PA，B,1,PA,B、是两个任意事件，则.AB114．相互独立事件n，，，，，，PA,B,PA,PB、同时发生的概率：；个相互独立事件同时AB发生的概率：，，，，，，，，PA,A,,,,,A,PA,PA,,,,,PA．12n12nn,kkk115．独立重复试验中:?二项分布:；，，，，，，Pk,Cp1,p,bk;n,pnnk,1?几何分布:，，，，gk,p,1,pp，其中k,1,2,3,,,,*116．若离散型随机变量的概率分布为,x,xx„„n12pppp„„n12其中p，p，,,,，p，,,,,1，则12n?E,,xp，xp，,,,，xp，,,,为,的数学期望.1122nn222?为随机变量,的方差.，，，，，，,D,x,,E,p，x,,E,p，,,,，x,E,,p，,,,1122nn222?数学期望与方差的性质:，，D,,E,,E,，，Da,，b,aD,，，Ea,，b,aE,，b；；.?若，，，，,~Bn,pE,,np,D,,np1,p，则；11,p?若，，,~gk,p,,,则E,,D,；2pp?若，，E,,p,D,,p1,p,~0,1分布，则.第14页共24页武汉中学高三数学组编高考数学常用公式及结论*117．正态分布密度函数2x,,，，,1226,,，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个fxex,,,,，,,,，，，，,26体的平均数与标准差.2x-y1，，2*118．标准正态分布密度函数f，，x=,e，，2,,2x,12.,,fxex,,,,，,，，，，26,对于标准正态总体N（0，1），,(x)是总体取值0xx小于的概率，即,(x),P(x,x)，x000其中新疆王新敞奎屯，图中阴影部分的面积表示为概率只要有标准正态分布表即可查表解决.x,0Pxx(),00从图中不难发现:当新疆王新敞奎屯x,0时，,(x),1,,(,x)；而当x,0时，Φ（0）=0.50000x,,,,2Fx,,N(,),,*119．对于，取值小于x的概率：.，，,,,,,，，，，，，Px,x,x,Px,x,Px,x10221,,FxFx，，，，21xx,,,,,,,,21,,,,.,,,,,,,,,,120．?简单随机抽样:设一个总体中有有限个个体,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样.?系统抽样:当总体中的个体数较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先定出的规则从每一部分抽取1个个体,得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样.?分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部分,然后按照各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样.注:这三种抽样的共同特点是在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等；*121.n（C为常数）；?如果a,1，那么；lima,0limC,Cn,,n,,a1?无穷递缩等比数列所有项的和q,1q,0，其中，.S,1,q*122.，，，，，，limfx,a,limfx,limfx,a,，x,xx,xx,x000*123.特殊数列的极限0||1q,,,n（1）lim11qq,,.,n,,,不存在或||11qq,,,,第15页共24页武汉中学高三数学组编高考数学常用公式及结论,0()kt,,kk,1ananaa，，，,kkt,10（2）.lim(),,kt,tt,1n,,bnbnbb，，，ttk,10,,不存在()kt,,naq1,，，a1n,11（3）（无穷等比数列aq()的和）.S||1q,S,,lim,,1n,,11,,qq*124.函数的极限定理lim()lim()fxfxa,,.lim()fxa,,,，xx,xxxx,,000*125.函数的夹逼性定理如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x的附近满足：0（1）;gxfxhx()()(),,（2）（常数）,则.lim(),lim()gxahxa,,lim()fxa,xxxx,,xx,000本定理对于单侧极限和x,,的情况仍然成立.*126.几个常用极限1n（1）lim0,，（）；lim0a,||1a,n,,,,nn11（2）lim，,.limxx,0xx,xx,00xx0两个重要的极限/sin(sin)xxsinx（1）lim1,；（）,,1limlimx,0/x00x,x,xxx1,,（2）(e=2.718281845„).lim1，,e,,x,,x,,*127.极限的四则运算法则:?函数的极限：如果,那么，，，，limfx,a,limgx,bx,xx,x00，，fxa，，lim,b,0；；.，，，，，，，，lim,,fx,gx,a,blim,,fx,gx,a,bx,xx,xx,x，，000gxbnn,，，，，，，,,limfx,limfx，，n,NC（为常数）；.，，，，lim,,Cfx,Climfx,,,,xxxxx,xx,x00，，00?数列的极限：如果,那么lima,a,limb,bnnnn,,,,aan，，lim,b,0，，；，，；.lima,b,a,blima,b,a,bnnnn,,n,,n,,nbb0n*128.(1)函数，，，，x,xfxxfx在点处连续必须满足三个条件：?函数在点处有意义；00?，，存在；?，，，，.limfxlimfx,fx0x,xx,x00第16页共24页武汉中学高三数学组编高考数学常用公式及结论(2)如果函数，，在点处可导,那么，，在点处连续；如果函数，，在点处连续，fxxfxxfxx000，，在该点却不一定可导.fx*129.最大值最小值定理:如果，，是闭区间上的连续函数,那么，，在闭区间上,,,,fxa,bfxa,b有最大值和最小值.130.在处的导数（或变化率或微商）xf(x)0fxxfx()()，,,,y00,,fxy()limlim,,,.xx,00,,,,xx00,,xx*131.瞬时速度,，,,ssttst()(),,,,,st()limlim.,,,,tt00,,tt*132.瞬时加速度,，,,vvttvt()(),avt,,,()limlim.,,,,tt00,,tt*133.在的导数f(x)(a,b),，,,yfxxfx()()dydf,,fxy(),,,,,limlim.,,,,xx00dxdx,,xx134.函数在点x处的导数的几何意义：y,f(x)0函数,P(x,f(x))xf(x)在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应y,f(x)y,f(x)0000的切线方程是,y,y,f(x)(x,x)000135.导数与函数的单调性的关系（1）,,f(x),0与f(x)为增函数的关系：f(x),0能推出f(x)为增函数，但反之不一定.3如函数,,f(x),x在(,,,，,)上单调递增，但f(x),0，?f(x),0是f(x)为增函数的充分不必要条件.（2）,,f(x),0与f(x)为增函数的关系：f(x)为增函数，一定可以推出f(x),0，但反之不一定，因为,,,,f(x),0f(x),0f(x),0f(x),0，即为或.当函数在某个区间内恒有，则,f(x)为常数，函数不具有单调性.?f(x),0是f(x)为增函数的必要不充分条件.,,nn,1136.常见函数的导数:?,，，n,QC,0C，，x,nx，，（为常数）；?；?；sinx,cosx11,,,,,xxxx?，，，，logx,logelnx,，，，，，，；?，；?e,e，a,alna.cosx,,sinxaaxx,,,*137.可导函数四则运算的求导法则:?,,,,,，，；?，，，，，；u,v,u,vuv,uv，uvCu,Cu,,,uuv,uv,,?，，,v,0.,,2vv,,第17页共24页武汉中学高三数学组编高考数学常用公式及结论*138.复合函数的求导法则''设函数xx在点处有导数ux,,()，函数在点处的对应点U处有导数ux,,()y,f(u)x'''''xyfu,()yyu,,，则复合函数在点处有导数，且，或写作yfx,(()),xuxu'''fxfux(())()(),,,.x*139.复数的相等.（）abicdiacbd，,，,,,,abcdR,,,,*140.复数的模（或绝对值）zabi,，22==.||abi，||zab，*141.复数的四则运算法则(1)()()()()abicdiacbdi，，，,，，，(2)()()()()abicdiacbdi，,，,,，,(3)()()()()abicdiacbdbcadi，，,,，，acbdbcad，,(4)()()(0)abicdiicdi，,，,，，,.2222cdcd，，*142.复数的乘法的运算律对于任何zzzC,,,，有123交换律:zzzz,,,.1221结合律:()()zzzzzz,,,,,.123123分配律:zzzzzzz,，,,，,().1231213*143.复平面上的两点间的距离公式22dzzxxyy,,,,，,||()()zxyi,，zxyi,，（，）.122121111222*144.向量的垂直非零复数zabi,，zcdi,，，对应的向量分别是，，则OZOZ1212z2222||||||zzzz，,，的实部为零为纯虚数,,,OZOZ,zz,12121212z1222||||||zzzz,,，||||zzzz，,,ziz,,acbd，,0(λ为非零,,,,1212121212实数).4n，14n，24n，34n*145.对虚数单位i,i,i,,1,i,,i,i,1,有.i*146.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.如，，a,b,Ra，bia,bi与互为共轭复数.1332*147.,,,,i，，，，,,1,,,1,，,，1,0,,,1或.22第18页共24页武汉中学高三数学组编高考数学常用公式及结论n1、含n个元素的集合的所有子集有个2,1,1x,f(y)y,f(x)求的反函数：解出，互换，写出的y,f(x)x,y定义域；?：负数和零没有对数，?、1的对数等于0：log1,0，?、底的对数等于1：loga,1，aaM?、积的对数：log(MN),logM，logN，商的对数：log,logM,logN，aaaaaaNnnn幂的对数：logM,nlogM；logb,logb，maaaam1nnS,a，a，a，？，an123na,S(n,1),11,a,nSS(n2),,nn,1,2：1：等差数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数；2：a,a，(n,1)d（其中首项是a，公差是；）dn11,n(n1)na，a()1n3n1．S,,na，d（整理后是关于n的没有常数项的二次n122函数）a，b4a是与的等差中项：或2A,a，b，三个数成等差常设：a-d，bAA,2a，a+d31：等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，（q,0）。n,12a,aqa（其中：首项是，公比是）qn11na,(q,1),1,n3na,aqa(1,q)S,,n11nq,,(,1),qq1,1,,2Gb4aG,,abG,abG是与b的等比中项：，即（或，等比中项,aG有两个）180,,',（1）、,180,,,(),5718l,|,|r弧度，1弧度；弧长公式：（是角,的弧度数）（1）、定义：yxyxrr,,,,,,sin,cos,tan,cot,sec,csc,rrxyxy,的角度0:30:45:60:90:120:135:150:180:270:360:第19页共24页武汉中学高三数学组编高考数学常用公式及结论,5,,,,,,,233,,的弧度2,034264326112332sin,000,11222222113223cos,,00,111,,22222233——tan,0003,3,11,33sin,22sin,，cos,,1tan,cot,,1tan,,cos,（奇变偶不变，符号看象限）公式二：公式三：公式四：公式五：sin(,,),,sin,sin(180:,,),sin,sin(180:,，),,sin,cos(,,),cos,cos(180:,,),,cos,cos(180:，,),,cos,tan(180:,,),,tan,tan(180:，,),tan,tan(,,),,tan,sin(360:,,),,sin,cos(360:,,),cos,tan(360:,,),,tan,SS：：sin(,，,),sin,cos,，cos,sin,,(，,),(,,)sin(,,,),sin,cos,,cos,sin,CC：：cos(a，,),cos,cos,,sin,sin,,(，,),(,,)cos(a,,),cos,cos,，sin,sin,tan,,tan,tan,，tan,TT：：tan(,,,),tan(,，,),,(，,),(,,)1，tan,tan,1,tan,tan,,,ab22：,,asinx，bcosx,a，bsinx，cosx,,2222a，ba，b,,2222,a，b(sinx,cos,，cosx,sin,),a，b,sin(x，,)：（1）、Ssin2,,2sin,cos,：（2）、降次公式：（多用于研究性质）2,122cos2,,cos,,sin,sin,cos,,sin2,C：2,222,1,2sin,,2cos,,11,cos2,112,,,,,，sincos22222tan,Ttan2,,：2,21,tan,第20页共24页武汉中学高三数学组编高考数学常用公式及结论1，cos2,112,,,,，coscos2222函数定义域值域周期性奇偶性递增区间递减区间,,[-1，1]奇函数x,RT,2,,3,，，，，2k,,2k,，，2k,,2k,,，，y,sinx,,,,22，，22，，y,cosx[-1，1]偶函数x,RT,2,,,2k,,(2k，1),,,(2k,1),,2k,函数定义域值域振幅周期频率相位初相图象,,x，,1,,五点法[-A，A]Ax,R2f,,y,Asin(,x，,)T,T2,,111：（1）、三角形的面积公式：S,absinC,acsinB,bcsinA,222（2）、正弦定理：abc,,,2R,边用角表示：a,2RsinA,b,2RsinB，c,2RsinsinAsinBsinC222a,b，c,2bc,cosA222（3）、余弦定理：b,a，c,2ac,cosB2222c,a，b,2abcosC,(a，b),2ab(1，cocC)222222222bcaacbabc，,，,，,求角：cosAcosBcosC,,,2bc2ac2ab,,,,：设，则，，，，a,x,y,b,x,y，，a,b,x,x,y,y11221212,,,，，，，a,,x,y,,x,,ya,b,xx，yy数与向量的积：λ，数量积：11111212,，，AB