大三上自控章根轨迹法

闭环控制系统的动态性能，主要由系统的闭环极点（即特征方程的根）在s平面上的分布所决定。当系统的某个或某些参量变化时，特征方程的根在s平面上运动的轨迹称为“根轨迹”。（高阶求解难）。故可利用系统的开环零、极点分布图，采用图解法来确定系统的闭环特征根随参数变化的运动轨迹，来分析系统的特性。

第4章根轨迹法4.1根轨迹的基本概念4.1.1根轨迹

设控制系统的开环传递函数为系统开环极点有两个系统的闭环传递函数为（单位负反馈）系统的特征方程为其特征根为时，系统特征根(闭环极点)变化情况如下：当系统的闭环极点为开环极点；时，闭环极点为两个互不相等的负实根时，闭环极点为两个相等的负实根时，闭环极点为实部为负的共轭复根。2.当3.当4.当整个根轨迹（闭环）变化如下图所示：系统的根轨迹图

由根轨迹图可以直观地分析参数K变化时系统的各项性能。当从0变化到时，根轨迹均在s平面的左半平面，时，闭环极点为负实根，系统为过阻尼时，闭环极点为重根，系统为临界阻尼状态，闭环极点为实部为负的共轭复根，因此，系统是稳定的。状态，系统的阶跃响应为单调变化。系统的阶跃响应为单调变化。系统为欠阻尼状态，系统的阶跃响应为衰减振荡，且系统的超调量随值增大而增大，但是调节时间不变。开环系统为0型系统，阶跃响应有静差。基本原则：根据系统开环零极点绘制闭环系统根轨迹4.1.2根轨迹的基本条件

对于典型的负反馈控制系统，如图4-3所示，图4-3反馈控制系统系统的特征方程为：

系统的闭环传递函数为（4-2）满足式（4-2）的点，必定是根轨迹上的点，式（4-2）称作根轨迹的基本方程（或根轨迹的基本条件）。因为s是复变量，所以式（4-2）可以写成式（4-3）幅值(模值)条件和式（4-4）相角条件。（4-3）（4-4）当系统的开环传递函数为零、极点表示形式：（4-5）为系统的开环零点；

为系统的开环极点；

为系统的根轨迹增益。根轨迹的幅值条件和相角条件又可表示为：则根轨迹的基本方程式（4-2）变为假设研究系统的根轨迹增益闭环系统特征根的轨迹根轨迹。

称为典型根轨迹或常规根轨迹或从零变化到无穷大时，4.2绘制根轨迹的基本规则规则1：根轨迹的起点与终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。但是，当时，条根轨迹趋向于开环零点（称为有限零点），还有条根轨迹将趋于无穷远处（称为无限零点）。

如果出现的情况，必有条根轨迹的起点在无穷远处。

规则2：根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支数等于,根轨迹对称于实轴并且连续变化。由根轨迹的对称性和连续性，根轨迹只需作出上半部分，对称画出另一部分，且根轨迹连续变化。规则3：根轨迹的渐近线当开环极点数大于开环零点数时，有n-m条根轨迹趋于无穷远处，无穷远处的渐近线与实轴的交点为，渐近线与实轴正方向的夹角(倾角)为例4-1单位负反馈系统的开环传递函数为系统开环传递函数有三个极点：开环无零点，即系统有三条根轨迹，分别起始于三个开环极点三条根轨迹趋向于无穷远处，其渐近线与实轴交点坐标为渐近线与实轴正方向的夹角为三条渐近线如下图：图4-4所示。规则4：实轴上的根轨迹段位于其右边开环零、极点数目总和为奇数的区域。规则5：根轨迹的分离点和会合点几条根轨迹在s平面上相遇后又分开（或分开后又相遇）的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）。1.重根法根轨迹的分会点是系统特征方程的重根，可以采用求重根的方法确定其位置。设系统的开环传递函数为系统的特征方程为（4-15）特征方程有重根的条件（4-16）分会点为重根，必然同时满足方程式（4-15）和式（4-16），联立求解得分会点d所对应的值为

注意：若开环系统无有限零点，则2．零、极点法分会点d满足：必须说明：采用上面两种方法确定的是特征方程的重根点，对分会点来说，它只是必要条件而非充分条件，也就是说它的解不一定是分会点，是否是分会点还要看其它规则。分离点（会合点）可以是实数，也可以是复数，一般为实数。例4-2已知系统的开环传递函数为分离点（或会合点）的确定解得：，对应的对应的所以在根轨迹段上是分离点；而不在根轨迹段上，则舍弃。系统的根轨迹图规则6：根轨迹的起始角和终止角根轨迹从开环极点出发时的切线与正实轴的夹角，称为根轨迹的起始角；根轨迹进入开环零点时切线与正实轴的夹角，称为根轨迹的终止角。

Zj为有限零点，若没有则中间项为0.

Zj为有限零点，若没有则按渐近线方向至无穷.

规则7：根轨迹上分离点（会合点）的分离角（会合角）在分离点处（会合点）根轨迹离开（进入）实轴的相角为为趋向或离开实轴的根轨迹的分支数。注意：1.，一般而言。2.“进入”实轴或“离开”实轴时，才计算分会角，本身

就在实轴上（即分会前就已经在实轴上）则不用计算

分会角。规则8：根轨迹与虚轴的交点令代入特征方程得联立求解得到临界增益及虚轴交点例4-4已知系统的开环传递函数为系统的特征方程为显然规则9：根之和当系统的开环传递函数分母和分子的次数满足时，则系统开环极点之和总是等于系统闭环极点之和规则10：根之积根据特征方程根和系数的关系，得绘制根轨迹时，一般用不到规则9和规则10，主要用于验证.总结：计算：极点、零点、渐近线、角度、分会点及K值；画图：画点：零极点、分会点、渐近线起点、虚轴交点等；画渐近线/角度、起始角、终止角、分离角等；根轨迹按K：0∞的顺序“单向流动”：各条根轨迹随K的变化“同时”开始运动；K越小，根轨迹越早、越先，K越大，根轨迹越晚、越后；根轨迹总是先分会，后到零点（有限或无限），而且随K的大小，有先后之分；从实轴上的点离开实轴时，必是从“分会点”开始；分会点的根轨迹条数等于重根数，一般为2条。例4-5：此例简单，按照规则和总结的要点自己画例4-6：系统的开环传递函数为开环极点为渐近线于实轴的交点为渐近线的倾角为与虚轴的交点为根轨迹的分会点：第1章引论4.4广义根轨迹常规根轨迹的绘制规则是以负反馈系统的根轨迹增益为可变参数给出的。但是，实际系统中可能研究其它参数变化（如开环零点、开环极点、时间常数等）对系统特征根的影响，或研究正反馈系统参数变化的根轨迹等，上面这些根轨迹统称为广义根轨迹。4.4.1参数根轨迹以非K为可变参数的根轨迹称为参数根轨迹，可以研究系统的开环零点、极点、时间常数等对系统性能的影响。对于参数根轨迹的绘制可采用等效传递函数的原则，即由系统的闭环特征方程，求出所研究参数类似K位置的等效开环传递函数，则常规根轨迹绘制的所有规则均适用于参数根轨迹的绘制。例4-7已知系统的开环传递函数为试绘制极点时系统的根轨迹。等效的开环传递函数为4.4.3正反馈系统的根轨迹（零度根轨迹）在有些系统中，内环是一个正反馈回路，其正反馈回路的闭环传递函数为系统的特征方程为绘制系统根轨迹的幅值条件和相角条件可写为：这种根轨迹为零度根轨迹。对于零度根轨迹绘制的规则，可由常规根轨迹绘制规则和相角有关的适当调整得到，修改的规则有：规则3根轨迹的渐近线当开环极点数大于开环零点数时，有n-m条根轨迹趋于无穷远处，渐近线与实轴正方向的夹角为规则4实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹区段位于其右边开环零、极点数目总和为偶数的区域。规则6根轨迹的起始角和终止角：开环极点出发的起始角根轨迹终止于开环零点的终止角例4-9已知负反馈系统的开环传递函数为将开环传递函数化成标准的零极点形式，即等效为正反馈的开环传递函数4.5根轨迹分析系统的性能根轨迹分析系统首先由系统的开环传递函数绘制出系统的根轨迹，然后再由根轨迹分析系统的稳定性、动态特性和稳态特性。4.5.1根轨迹确定系统的闭环极点根轨迹绘出的是系统根轨迹增益变化特征根的轨迹，对于某一增益下的闭环极点可由幅值条件试探来确定。例4-10设单位负反馈系统的开环传递函数为1.试采用根轨迹法分析系统的稳定性；2.求系统的闭环极点；3.求取系统的单位阶跃响应及超调量和过渡过程时间。解：根轨迹分析系统，为此，构造增益可变的系统为绘制的根轨迹，如图4-13所示图4-13系统的根轨迹图从根轨迹图可知，系统的增益时，系统是稳定的。时，特征值为负实根，系统的响应为单调衰减；时，系统的主导极点为共轭复根，系统的响应为衰减振荡。本例中因此，系统是稳定的，系统的主导极点为共轭复根，试探求得系统的主导极点为根据根之和的关系得系统的另外一个闭环极点为可近似为如下的二阶系统系统的超调量和过渡过程时间为4.5.2根轨迹分析系统的动态特性闭环系统的动态特性由闭环传递函数的零、极点来决定，系统闭环极点可由根轨迹图求得，而闭环零点为前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数的极点共同确定。1.稳定性：若闭环极点均在根平面的左半平面，则系统一定是稳定的，即参数变化时的根轨迹均在s的左半平面。2.运动形式：若闭环极点均为左半平面的实数极点，则系统的动态响应为单调变化，系统可近似为一阶系统；若离虚轴最近的极点为复数极点，则系统的动态特性为衰减振荡，系统可近似为二阶系统。3.动态性能指标：根轨迹分析系统的动态性能指标可采用主导极点来估算。例4-11：已知单位负反馈系统的开环传递函数为1）画出系统的根轨迹；2）分析系统的动态过程；3）求系统具有最小阻尼比时的闭环极点，对应的K值及性能指标；4）求K=1时的闭环极点。第1章引论d1=-1.17K1=0.34d2=-6.28K2=11.79β过原点作圆的切线（即最小阻尼比线），得等腰直角三角形，从而第1章引论求K=1时的闭环极点，可采用试探法。其实，本例为二阶系统，可以精确求解。

4.6MATLAB绘制系统的根轨迹对于比较复杂的系统，人工绘制根轨迹十分复杂和困难，MATLAB绘制系统根轨迹是十分方便的。通常将系统的开环传递函数写成如下形式分别为分子和分母多项式。采用MATLAB命令：

pzmap(num,den)可以绘制系统的零、极点图；

rlocus(num,den)可以绘制系统的根轨迹图；

rlocfind(num,den)可以确定系统根轨迹上某些点的增益。例4-14已知系统的开环传递函数为确定系统开环零、极点的位置。解：在MATLAB命令窗口输入

num=[251];den=[14138];pzmap(num,den);title（‘Pole-zeroMap’）执行后得到如图4-17所示的零、极点图。在MATLAB命令窗口输入

num=[251];den=[14138];rlocus(num,den)执行后得到如图所示系统的根轨迹图。例4-17已知系统的开环传递函数为试绘制