带通采样定理的应用论文

带通采样定理在信号与系统的实际问题解决中我们遇到的许多信号是带通信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。假设带通信号的上截止频率为，下截止频率为，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率，可按照带通抽样定理确定抽样频率。带通抽样定理：一个频带限制在内的时间连续信号，信号带宽，令，这里为不大于的最大正整数。如果抽样频率满足条件，〔3.1-9〕那么可以由抽样序列无失真的重建原始信号。对信号以频率抽样后，得到的采样信号的频谱是的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为，如图3-3所示。为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号，必须选择适宜的延拓周期〔也就是选择采样频率〕，使得位于和的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑的频带分量不会出现混叠的条件。在抽样信号的频谱中，在频带的两边，有着两个延拓频谱分量：和。为了防止混叠，延拓后的频带分量应满足〔3.1-10〕〔3.1-11〕综合式〔3.1-10〕和式〔3.1-11〕并整理得到〔3.1-12〕这里是大于等于零的一个正数。如果取零，那么上述条件化为〔3.1-13〕这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。取得越大，那么符合式〔3.1-12〕的采样频率会越低。但是有一个上限，因为，而为了防止混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽，即。因此〔3.1-14〕由于为不大于的最大正整数，因此不大于的最大正整数为，故有综上所述，要无失真的恢复原始信号，采样频率应满足，〔3.1-15〕图3-1带通采样信号的频谱带通抽样定理在多路信号的编码、数字接收机的中频采样数字化中有重要的应用。作为一个特例，我们考虑〔〕的情况，即上截止频率为带宽的整数倍。假设按低通抽样定理，那么要求抽样频率，抽样后信号各段频谱间不重叠，采用低通滤波器或带通滤波器均能无失真的恢复原始信号。根据带通抽样，假设将抽样频率取为〔值取为〕，抽样后信号各段频谱之间仍不会发生混叠。采用带通滤波器仍可无失真地恢复原始信号，但此时抽样频率远低于低通抽样定理的要求。图3-4所示为，时抽样信号的频谱。在这里，我还想讨论使用带通采样定理需要注意的问题。图3-2，时的抽样频谱在带通抽样定理中，由于，带通抽样信号的抽样频率在到之间变化，如图3-5所示。图3-3带通抽样定理由以上讨论可知，低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要简单。通常，当带通信号的带宽大于信号的最低频率时，在抽样时把信号当作低通信号处理，使用低通抽样定理，而在不满足上述条件时那么使用带通抽样定理。模拟信号经限带后的频率范围为300Hz～3400Hz，在抽样时按低通抽样定理，抽样频率至少为6800Hz。由于在实际实现时滤波器均有一定宽度的过渡带，抽样前的限带滤波器不能对3400Hz以上频率分量完全予以抑制，在恢复信号时也不可能使用理想的低通滤波器，所以对语音信号的抽样频率取为8kHz。这样，在抽样信号的频谱之间便可形成一定间隔的保护带，既防止频谱的混叠，又放松了对低通滤波器的要求。这种以适当高于奈奎斯特频率进行抽样的方法在实际应用中是很常见的。在这里，我还想说明当我们应有采样定理时需要注意的问题。疑惑一：“完全恢复〞：原始信号f(t)的特征包括幅度，相位和频率。信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率fs，重复出现一次。对信号的频谱作逆傅立叶变换时，可以变换为原时域采样信号，而不能保证此时的采样信号能真实地反映原信号幅度和相位。同时满足信号三个特征幅度、相位和频率叫做无失真。这和采样定理是不同的应用。工程应用中取采样频率为(5-8)fo，可以满足一般无失真的要求。释疑二：“2倍重复频率〞两倍是必要条件，不是充分条件。采样定理只是规定了防止频率混叠的充分必要条件，注意，仅仅是混叠这一个方面，采样定理并没说要按照2倍频率采样。拓展：混迭〔Aliasing〕：为了防止这种情况的发生,通常在信号被采集(A/D)之前,经过一个低通滤波器,将信号中高于奈奎斯特频率的信号成分滤去。在图３的例子中,这个滤波器的截止频率自然是25HZ。这个滤波器称为抗混叠滤波器。其实我们可以接着这个话题继续说下去，既然采样频率大可以获得良好的波形，那么是不是采样频率越大越好呢？显然不是，在数字示波器中，当采样频率较大时，波形的谱线范围也变宽了，且频率分辨率也增大了，因为频率分辨率满足：Δf=fs/N，一味的增大采样频率是不会获得好的频率分辨率的，要获得好的频率分辨率，相应的要增大采样点数N。应用实例一：带通采样与压缩感知——论正交匹配追踪算法的压缩传感。压缩感知是新兴的采样理论通过开发信号的稀疏特性，在远小于Nyquist采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性重建算法完美的重建信号。压缩感知理论的核心思想主要包括两点。第一个是信号的稀疏结构。传统的Shannon信号表示方法只开发利用了最少的被采样信号的先验信息，即信号的带宽。但是，现实生活中很多广受关注的信号本身具有一些结构特点。相对于带宽信息的自由度，这些结构特点是由信号的更小的一局部自由度所决定。换句话说，在很少的信息损失情况下，这种信号可以用很少的数字编码表示。所以，在这种意义上，这种信号是稀疏信号〔或者近似稀疏信号、可压缩信号〕。另外一点是不相关特性。稀疏信号的有用信息的获取可以通过一个非自适应的采样方法将信号压缩成较小的样本数据来完成。理论证明压缩感知的采样方法只是一个简单的将信号与一组确定的波形进行相关的操作。这些波形要求是与信号所在的稀疏空间不相关的。压缩感知方法抛弃了当前信号采样中的冗余信息。它直接从连续时间信号变换得到压缩样本，然后在数字信号处理中采用优化方法处理压缩样本。这里恢复信号所需的优化算法常常是一个信号稀疏的欠定线性逆问题。而我们将要讨论的正交匹配追踪就是一种快速算法。算法简介：正交匹配追踪是对于0-范数的优化问题，实际上是NP问题，就是在多项式时间内难以求解，甚至无法验证解的可靠性。于是，我们必须将0-范数换一下，变成1-范数，在0点处不可导，因此无论是梯度算法，矩阵求导等等手段都变得相形见绌。1-范数是一个菱形，四个角都在坐标轴上，因此它和直线的交点以压倒性的概率落在坐标轴上。这就是我们使用这种范数的原因。最后，让我们总结一下，压缩传感理论的关键字：稀疏〔Sparsity〕、不相关〔Incoherence〕、随机性〔Randomness〕、非自适应〔Non-Adaptivity〕、非线性〔Non-Linearity〕、不可微〔Indifferentiability〕。从这些词语可以看出，压缩传感理论是对传统理论的颠覆。这种颠覆最令人振奋的表现，就是它突破了香农采样定理的极限，能以随机采样的方式用更少的数据采样点〔平均采样间隔低于采样定理的极限〕，来完美地恢复原始信号。科学也就是在对传统理论不断地颠覆和修正中才得以进步和开展。在这种根底下，我们可以利用正交匹配追踪进行一个简单的实验，代码如下：〔MATLAB执行文件位于打包文件夹中，执行后可看到下列图波形〕%1-D信号压缩传感的实现(正交匹配追踪法OrthogonalMatchingPursuit)%测量数M>=K*log(N/K),K是稀疏度,N信号长度,可以近乎完全重构%参考文献：JoelA.TroppandAnnaC.Gilbert%SignalRecoveryFromRandomMeasurementsViaOrthogonalMatching%Pursuit，IEEETRANSACTIONSONINFORMATIONTHEORY,VOL.53,NO.12,%DECEMBER2007.clc;clear%%1.时域测试信号生成K=7;%稀疏度(做FFT可以看出来)N=256;%信号长度M=64;%测量数(M>=K*log(N/K),至少40,但有出错的概率)f1=50;%信号频率1f2=100;%信号频率2f3=200;%信号频率3f4=400;%信号频率4fs=800;%采样频率ts=1/fs;%采样间隔Ts=1:N;%采样序列x=0.3*cos(2*pi*f1*Ts*ts)+0.6*cos(2*pi*f2*Ts*ts)+0.1*cos(2*pi*f3*Ts*ts)+0.9*cos(2*pi*f4*Ts*ts);%完整信号%%2.时域信号压缩传感Phi=randn(M,N);%测量矩阵(高斯分布白噪声)s=Phi*x.';%获得线性测量%%3.正交匹配追踪法重构信号(本质上是L_1范数最优化问题)m=2*K;%算法迭代次数(m>=K)Psi=fft(eye(N,N))/sqrt(N);%傅里叶正变换矩阵T=Phi*Psi';%恢复矩阵(测量矩阵*正交反变换矩阵)hat_y=zeros(1,N);%待重构的谱域(变换域)向量Aug_t=[];%增量矩阵(初始值为空矩阵)r_n=s;%残差值fortimes=1:m;%迭代次数(有噪声的情况下,该迭代次数为K)forcol=1:N;%恢复矩阵的所有列向量product(col)=abs(T(:,col)'*r_n);%恢复矩阵的列向量和残差的投影系数(内积值)end[val,pos]=max(product);%最大投影系数对应的位置Aug_t=[Aug_t,T(:,pos)];%矩阵扩充T(:,pos)=zeros(M,1);%选中的列置零〔实质上应该去掉，为了简单我把它置零〕aug_y=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*s;%最小二乘,使残差最小r_n=s-Aug_t*aug_y;%残差pos_array(times)=pos;%纪录最大投影系数的位置endhat_y(pos_array)=aug_y;%重构的谱域向量hat_x=real(Psi'*hat_y.');%做逆傅里叶变换重构得到时域信号%%4.恢复信号和原始信号比照figure(1);holdon;plot(hat_x,'k.-')%重建信号plot(x,'r')%原始信号legend('Recovery','Original')norm(hat_x.'-x)/norm(x)%重构误差MATLAB模拟结果截图：其中红色是原信号，黑色是恢复后的信号，可见利用压缩感知的恢复情况非常好。应用实例二—压缩感知与核磁共振成像在应用一的根底与原理之上，我还查阅到压缩感知可以用于核磁共振成像。代码如下：压缩传感的非线性共轭梯度方法实现〔该程序可应用到核磁共振成像〕functionTV_Normclc;clear%图像库A={'phantom256.bmp''fruits256.bmp''cameraman256.bmp''lena256.bmp'...'peppers256.bmp''boat256.bmp''baboon256.bmp'};I=imread(A{1});%1表示最经典的phantom图像，可以尝试其它的图像%图像归一化[a,b]=size(I);Scale=max(max(double(I)));M_image=double(I)/Scale;%傅立叶域采样模式〔程序mask_radial.m可以构造〕%随机测量数约为图像像素数的30%loadmask_radial%生成傅立叶域的随机测量〔measurement〕M_measure=FT_for(mask_matrix,M_image);%图像迭代初值M_0=zeros(a,b);%2范数和总变差的权重阈值lambda=0.01;%梯度生成grad=grad_2norm(mask_matrix,M_0,M_measure)+lambda*grad_1norm_tv(M_0);gradx=grad;dire=-grad;%线搜索〔LineSearch〕变量alpha=0.1;beta=0.6;tau0=1;index_1=0;%梯度收敛标准epsi=1e-3;%最大迭代次数max_iter=100;%当前迭代次数k=0;%最终恢复的图像M_recover=M_0;%迭代收敛while(norm(grad,'fro')>epsi&&k<max_iter)%初值tau=tau0;num=0;%线搜索〔LineSearch〕while((f_2norm(mask_matrix,M_recover+tau*dire,M_measure)+...lambda*f_1norm_tv(M_recover+tau*dire))>...(f_2norm(mask_matrix,M_recover,M_measure)+...lambda*f_1norm_tv(M_recover)+alpha*tau*real(conj(grad).*dire)))tau=beta*tau;num=num+1;end%自适应阈值ifnum>2 tau0=tau0*beta;endifnum<1 tau0=tau0/beta;end%恢复图像修正M_recover=M_recover+tau*dire;grad_0=grad;%梯度显示grad_show=norm(grad,'fro');disp('梯度误差：')disp(grad_show)%和原始图像相比的峰值信噪比PSNRerrorx=sum(sum(abs(M_image-M_recover).^2));%MSE误差psnr=10*log10(1*1/(errorx/256/256));%PSNRdisp('峰值信噪比：')disp(psnr)%梯度修正grad=grad_2norm(mask_matrix,M_recover,M_measure)+lambda*grad_1norm_tv(M_recover);gamma=norm(grad,'fro')^2/norm(grad_0,'fro')^2;dire=-grad+gamma*dire;%迭代次数更新k=k+1;disp('迭代次数：')disp(k)%2范数和总变差的权重阈值收缩〔对有噪声的情况lambda可固定〕lambda=lambda*0.90;end%结果显示figure(1)image(abs(M_measure));title('傅立叶域的随机测量')figure(2);subplot(2,2,1)imshow(uint8(Scale*M_image));title('原始图像')subplot(2,2,2)imshow(uint8(Scale*FT_back(mask_matrix,M_measure)));title('2范数恢复图像')subplot(2,2,3)imshow(uint8(Scale*M_recover));title('总变差恢复图像')subplot(2,2,4)imshow(uint8(20*abs(Scale*M_image-Scale*M_recover)));%误差幅度放大20倍title('恢复误差图像')%傅立叶正变换算子(随机测量)functionMM=FT_for(mask,M)M=real(M);MM=mask.*(fftshift(fft2(M)));%傅立叶反变换算子(随机测量的共轭算子)functionMM=FT_back(mask,M)MM=real(ifft2(ifftshift(mask.*M)));%2范数functionTT=f_2norm(mask_matrix,T,S)TT=norm(FT_for(mask_matrix,T)-S,'fro')^2;%总变差functionTT=f_1norm_tv(Solution)Solution=[Solution(:,1)SolutionSolution(:,end)];Solution=[Solution(1,:);Solution;Solution(end,:)];df_x=(Solution(2:end-1,3:end)-Solution(2:end-1,1:end-2))/2;df_y=(Solution(3:end,2:end-1)-Solution(1:end-2,2:end-1))/2;TT=sum(sum(sqrt(df_