新疆2022届高三诊断性自测（第二次）数学（文）试题（含答案解析）

新疆2022届高三诊断性自测（第二次）数学（文）试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4={幻-1<》<3"€1^},则/的子集共有（）

A.3个B.4个C.8个D.16个

2.一道数学试题，甲、乙两位同学独立完成，设命题p是“甲同学解出试题"，命题q

是“乙同学解出试题”，则命题“至少一位同学解出试题''可表示为（）

A.pzqB.pV（-,q）c.（->p）v（-iq）D.P^q

x-y-\<0

3.已知实数x,y满足约束条件,,设Z=x+2y.则z最大值为（）

x>0

A.2B.4C.5D.6

4.中国气象局规定：一天24h里的降雨的深度当作日降水量，通常用毫米表示降水量

的单位，1mm的降水量是指单位面积上水深1mm.如图，这是一个雨量筒，其下部是直

径为20cm、高为60cm的圆柱，上部承水口的直径为30cm.某同学将该雨量筒放在雨

中，雨水从圆形容器口进入容器中，24h后，测得容器中水深40cm,则该同学测得的

降水量约为（）

A.17.8mmB.26.7mmC.178mmD.267mm

5.设复数z满足(l+i)z=4—2i,则z=()

A.l-3iB.l+3iC.一l+3iD.-l-3i

6.已知向量£=(2,3),石=(3,2),则|24|=()

A.V2B.2C.5D.5&

7.在三棱锥尸-ABC,若曰_1_平面48(7,ACLBC,|ACj=5,|BC|=V1T,

|/训=8,则三棱锥P-ABC外接球的表面积是（）

A.1007rB.50兀C.144兀D.72K

8.过双曲线。一gTS＞。力＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于4B

两点，若双曲线的对称中心不专以线段48为直径的圆内部，则双曲线离心率的取值范

围为（）

A.(1,72)B.

x+2,(x<0),

9.已知函数〃x)=1.八、则〃〃。))=2,则。=(

XH--,(X>0),

-%

A.0或1B.-1或1C.0或-2

10.已知函数f(x)=2sin下列结论错误的是（

A.“X）的值域为

B.的图象关于直线x=-亍对称

/（x）的图象关于点（与

C.

/（6的图象可由函数＞=2sin[x+1）-1图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为

D.

原来的2倍得到

11.如图，在正方体AB8-ABCR中，点尸是线段8G上的一个动点，有下列三个

结论:

□4尸〃平面4。。1；

口若点P与8不重合，则平面AP8JL平面BQ。.

其中所有正确结论的序号是（）

A.□□□B.□□C.□□D.□□

12.抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对

称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如图所示，从抛物线V=2px(p>0)的焦

点产发出的两条光线mb分别经抛物线上的48两点反射，已知两条入射光线与x

轴的夹角均为60。，且两条反射光线优和，之间的距离为26,则。=()

C.3D.4

二、填空题

13.为调动我市学生参与课外阅读的积极性，我市制定了《进一步加强中小学课外阅

读指导的实施方案》，有序组织学生开展课外阅读活动，某校语文老师在班里开展了一

次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如下图.若规定得分不低于85分

的学生得到“诗词达人”称号，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”称号，

其他学生得到“诗词爱好者，，称号，根据该次比赛的成绩，按照称号的不同，进行分层

抽样抽选15名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为.

912568

800124578

702233345569

6022344457789

56689

3

14.已知ae(O,/),cosa=——

5

15.已知等比数列｛叫的前〃和为s“，若%gg成等差数列，且s*=22,

既+i=Y3,则Sk+2的值为.

16.已知Ax)是定义在R上的偶函数，其导函数为尸(x).若x>0时，/'(x)>2x,则

不等式/(2x)-<3X2+2X-1的解集为.

三、解答题

17.如图，在平面四边形Z8CD中，BCDCD,AC=43,AD=\,口。。=30。.

'c

⑴求/CD；

(2)若口48c为锐角三角形，求8C的取值范围.

18.如图，在直四棱柱A3CO-A4G。中，底面N8CZ)为菱形，且NBAZ)=60。，E为

N8的中点，产为BG与BQ的交点.

(1)求证：平面DEF，平面CDD、G;

(2)若DR=AD=2,求三棱锥Q-REF的体积.

19.某县充分利用自身资源，大力发展优质李子树种植项目.该县农科所为了对比4

8两种不同品种脆红李的产量，各选20块试验田分别种植了48两种脆红李，所得

的20个亩产数据(单位：100kg)都在［40,64］内，根据亩产数据得到频率分布直方

图如下图：

(1)从2种脆红李亩产量数据在［44,52)内任意抽取2个数据，求抽取的2个数据都在

［48,52)内的概率;

(2)根据频率分布直方图，用平均亩产量判断应选择种植/种还是8种脆红李，并说明

理由.

20.已知椭圆C:5+，=l(a>b>0)的离心率为乎，过焦点且与长轴垂直的直线被

椭圆截得的弦长为行.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设不过点T(-2,l)的直线/与C相交于4B两点,直线左，万分别与x轴交于

M,N两点，且|7加|=|77Vl.求证直线/的斜率是定值，并求出该定值.

21.已知函数/(x)=，-l)(ox+l).

⑴若曲线y=/(x)在点处的切线/与y轴垂直，求实数。的值：

(2)当。>0时，若函数F(x)在》=占处取得极大值，求证,“司)20.

JVt

一，”为参数)，曲线C的参数

{y=kt

fx=2+COS0

方程为.为参数)，以坐标原点为极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐

[y=sin。

标系.

(1)求直线/的普通方程和曲线C的极坐标方程；

(2)若直线/和曲线C交于A,8两点，且丽=3原，求实数〃的值.

23.已知函数，。)=|%-。|+》+’.

a

(1)若。=1,求不等式/(幻44的解集；

(2)若存在%,使得了(%)42成立，求“的取值范围.

参考答案：

1.C

【解析】

【分析】

根据题意先求得集合4={0,1,2},再求子集的个数即可.

【详解】

由4={x|-l<x<3,xeN},得集合A={0,l,2}

所以集合A的子集有23=8个，

故选：C

2.D

【解析】

【分析】

根据"或命题''的定义即可求得答案.

【详解】

“至少一位同学解出试题''的意思是“甲同学解出试题，或乙同学解出试题

故选：D.

3.B

【解析】

【分析】

根据题意，作出可行域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结果.

【详解】

x-y-1<0

根据题意，作出实数X,y满足约束条件741的可行域，如下图所示:

x>0

答案第1页，共16页

直线y=-gx+；z的截距最大，此时z取得最值，

又/'解得/'即A3)，

所以z的最大值为4.

故选：B.

4.C

【解析】

【分析】

首先根据题意确定24h降水的体积，再根据降水量的定义计算该同学测得的降水量即可.

【详解】

解：由题意，水的体积y=7txl0xl0x40=40007t(cm3),

容器口的面积S=ix15?=2257t(cm?).

□降雨量="kl7.8(cm)=178mm.

2257r

□该同学测得的降水量约为178mm.

故选：C.

5.A

【解析】

【分析】

根据复数代数形式的除法法则计算可得；

答案第2页，共16页

【详解】

.、4-2i2-6i

解：因为(l+i)z=4—2i,所以z=~—==^~=1-31；

\/14i-12

故选：A

6.A

【解析】

【分析】

首先求出£_石的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得；

【详解】

解：由向量。=(2,3),%(3⑵,可得1。=(2,3)—(3,2)=(—1,1),所以

卜-q={(-1丫+仔=>/2.

故选：A

7.A

【解析】

【分析】

根据三棱锥的几何特征，可将三棱锥放于长方体内，三棱锥的外接球就是长方体外接球.

【详解】

如图，将三棱锥放于一个长方体内：

则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，口尸8为三棱锥产一/8C外接球的直径,

口|PB|=752+(VH)2+82=10,

答案第3页，共16页

口外接球的表面积为：4〃x［万J=100%.

故选：A.

8.B

【解析】

【分析】

将x=c代入双曲线方程，求得|4叫，根据双曲线的对称中心不在以线段A8为直径的圆内

部，可得|AB|4c,得出a,c的齐次式，从而可得出答案.

【详解】

A2

将X=C代入双曲线方程得y=土土，

a

□A2

所以

因为双曲线的对称中心不专以线段AB为直径的圆内部，

所以|A8|4c,即±4c,即/vac,

a

所以cJ^vac，从而e2-e-”0,解得匕土叵，

22

又因为双曲线离心率e>l,所以l<e4生5,

2

所以双曲线离心率的取值范围为［1,上半］

故选：B.

9.D

【解析】

【分析】

根据一次函数的性质，结合基本不等式的性质，运用换元法分类讨论进行求解即可.

【详解】

当X40时，函数单调递增，有/(x)V/(0)=2,

当x>0时，X+1>2JT^=2,当且仅当工=:时取等号，即x=l时取等号，

因此有〃0)=/(1)=2,

令/(。)=乙则/⑺=2,因此f=0,或f=l,

答案第4页，共16页

当r=o时，即/(。)=0,显然。40,因此。+2=0=。=-2,

当f=l时，即f(a)=l,显然aMO,因此。+2=1=>。=-1,

综上所述：。=-2或-1,

故选：D

10.C

【解析】

【分析】

直接求出正弦函数的值域即可判断选项A；利用代入验证法即可判断选项B、C；根据三角

函数的平移伸缩变换即可判断选项D.

【详解】

ITT11T

A：因为sin(不元+工)w[—1,1]，2sin(—x+—)—1€[—3,1],

2828

即fM的值域为r-3,1],故A正确；

5415乃71

B：当戈=一一^时，/(%)=2sin(--x—+—)-1=-3,

4248

故函数f(x)的图象关于》=-半对称，故B正确；

4

77二2乃

C：若函数/(力的图象关于(J,O)对称，由=~=兀，

42

，白廿7乃T3兀、[/丁日日/土

得其一条对称轴为工=二;---7=丁，当％=3工TT时，f(丁)=<F2T—1.,不是取值，

44444

所以x=T34不是函数/(X)的对称轴，即函数不关于7(7丁r,0)对称，故C错误；

44

7T

D：将函数y=2sin(x+£)-l图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到

8

y=2sin(4x+g)-l,故D正确.

2o

故选：C

11.A

【解析】

【分析】

先证面AC田〃平面AC。，即可证得AP〃平面AC。，」正确；

由ACLO4，42，。与证得。耳，面4。。，进而得到」正确；

答案第5页，共16页

由OC_L3P,BPICB\证得BP，平面B£D得到□正确.

【详解】

A----------------B

连接A8，AG，A，,CR,AC,易知||AC,AG<Z面AC。，ACu面AC。，〃平

面ACDt,

同理可得48〃平面4C。，又AGnA8=a，.•.面AGB〃平面4CR,又A/U面

AGB,故AP〃平面4CR；

故口正确；

连接AA，AC,Cn，BQ,B。,由AC1B£),4C_LB耳,B£>cBB1=B,..AC，面。8月，

.-.ACLDBt,同理AR，£)B1,AC\ADt=A,.•.。4，面ACO-又由口知A/〃平面

ACR,

故□正确；

答案第6页，共16页

连接AB,B|C,8Q,由£）。_1面8。6与，可得OC_LBP,又BP1.CB、,CBgDC=C,

二族，平面8。。，又3Pu平面APB,故平面4/8,平面BCD,一正确.

故选：A.

12.C

【解析】

【分析】

依题意设/”：*=-专）'+缶，联立直线与抛物线方程，消元，即可求出力，同理求出

%,即可得到方程，解得即可；

【详解】

解：可设心:户-9y+合，与丁=2px联立消元得V+皆y-p?=0,解得y=去、

3Pp

同理/小x=ty+称，与y2=2px联立消元得y2-用'.y-p?=0,解得力=82、

为=一卡，LIyR=V3p,Cp_-^=卷=26,p=3

故选：C

13.6

【解析】

【分析】

根据题中条件，先分别得到各称号的总人数，根据分层抽样的方法即可得出结果.

【详解】

由茎叶图可得，获得“诗词爱好者”称号的学生总数为16；获得“诗词能手''称号的学生总数

为16：获得“诗词达人''称号的学生总数为8人;

因此，按照称号的不同，进行分层抽样抽选15名学生，抽选的学生中获得“诗词能手''称号

16

的人数为15x=6.

16+16+8

故答案为：6.

14.—##0.1

10

【解析】

答案第7页，共16页

【分析】

根据同角的三角函数关系式，结合降嘉公式、诱导公式进行求解即可.

【详解】

15.107

【解析】

【分析】

根据等比数列和等差数列的通项公式，根据题意列方程可得=“4+4/,从而求出

4=-2或q=l,再根据&句=-63,确定q=-2,进而求出4度==—2x(-85)=170,

代入记得：\+2=%+ak+2=-63+170=107.

【详解】

由题意可设等比数列｛q｝的公比为4,首项为4,

由%,生,生成等差数列可得：

243=%+”5，代入可得：

234

2atq=atq+atq,解得：夕=-2或q=l,

又因为S“|=-63,易知q=-2,

又因为&=22,

aSS

k+\=M~t=-85,

所以aM=qa*+1=-2X(-85)=170,

§皿=57+，+2=-63+170=107，

故答案为：107.

【点睛】

答案第8页，共16页

本题考查了等差中项和等比数列的通项公式，考查了。“和S,的关系，同时考查了计算能

力，属于中档题.

16-[-4_

【解析】

【分析】

构造函数g(x)=/(X)--,根据g(x)的单调性和奇偶性解不等式.

【详解】

f'(x)>/'(x)-2x>0[/(x)-x2]>0,□g(x)=/(x)—x2在[0,+oo)上是增函数,且

8(尤)为偶函数，

由f(2x)-/(A-1)<3X2+2X-1«f(2x)-(2x)2</(x-l)-(x-l)2

□I2x|<|x-l|,解得-lx],□解集为

故答案为：

17.(1)30°

⑵停2指

【解析】

【分析】

(1)在△AC。中，由余弦定理求得。C=l,根据AD=1,得到NACD=/C4O,即可求

解；

(2)在AABC中，由正弦定理求得/=心手工=61"^+]，根据A"C为锐

sinB(2tanB2；

角三角形，求得30。<8<90。，得至UtanB>1,进而求得BC的取值范围.

(1)

解：在/XAC。中，由余弦定理得：DC2=AC2+AD2-2AC-AD-cosZCAD

=(A/3)2+12-273X^I=I,所以。C=l,

2

又因为AO=1,所以NACD=NC4T>=30。.

⑵

答案第9页，共16页

解：由3C_LCD,且ZA8=30。，可得NACB=60。,

BCAC

在△43C中，由正弦定理得

sinZBACsinB

ACsinN&AC&sin（20°-8）

所以5C=

sinBsinB

因为△MC为锐角三角形，0°<ZBAC=120°-B<90°,0°<B<90°,

所以30°<B<90°,可得tanB>—,

3

则0<—〈石，所以1■〈心_+_l<2,所以迫<8C<2百，

tanB22tanB22

所以8c的取值范围为26.

I2)

18.(1)证明见解析

⑵当

2

【解析】

【分析】

(1)如图，连接8D,根据题意可得。EDCD,利用线面垂直的性质和判定定理可得DE「平

面C»0G，进而即可证明面面垂直;

(2)结合(1)和线面垂直的性质和判定定理可得C£>J_平面。。E,取RE的中点G,连接

GF,进而可得GFL平面ROE,求出。。、DE、FG,利用三棱锥的体积公式计算即可.

(1)

如图，连接8D

在菱形/8CD中，BAD=60°,所以△M£)为正三角形，

因为£为N8的中点，所以。EE4A

因为AB//CD,所以DEnCD

因为。。J.平面428,£石匚平面488,所以。RLDE,

而。。cDC=。，且。"，OCu平面CDDC，

所以Z)E口平面CD。G.又因为DEu平面DEF,

所以平面OE尸□平面CDD,C,.

答案第10页，共16页

（2）

由（1）知

因为。。_L平面N2CD,DCu平面N8C。，所以。R_LQC.

而。。nOE=。，且。R,DEu平面ROE,所以平面。QE.

如图，取RE的中点G,连接GE

因为尸为BC的中点，所以G尸〃。G〃OC,所以GF_L平面

由条件知0R=RG=2,BE=l,DE=与AB=g,FG=咒。£=|,

所以三棱锥力-REF的体积Y=.G尸=1X1X6X2X3=3.

33222

3

19.（1）—

10

（2）应选择种植8种脆红李，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）B种脆红李亩产量数据在K4,52）内的有5个，其中数据在［44,48）的有2个，数据

在［48,52）的有3个，从B种脆红李亩产量数据在口4,52）内任意抽取2个数据，基本事

件总数"=C；=10,抽取的2个数据都在［48,52）内包含的基本事件个数机=C；=3,由此

能求出抽取的2个数据都在［48,52）内的概率；（2）根据频率分布直方图，分别求出工种

脆红李平均亩产量和B种脆红李平均亩产量，从而得到用平均亩产量来判断应选择种植B

种脆红李.

（1）

（1）8种脆红李亩产量数据在144,52）内的有：

(0.025+0.0375)x4x20=5,

答案第11页，共16页

其中数据在由，48)的有：0.025x4x20=2个，

数据在［48,52)的有：0.0375x4x20=3个，

从B种脆红李亩产量数据在144,52)内任意抽取2个数据,

基本事件总数〃=C；=10,

抽取的2个数据都在［48,52)内包含的基本事件个数机=C；=3,

m3

••・抽取的2个数据都在［48,52)内的概率为P=-=~.

n10

(2)

根据频率分布直方图，

A种脆红李的平均亩产量为：

=42x0.0375x4+46x0.05x4+50x0.075x4+54x0.05x4+58x0.025x4+62x0.0125x4

=50.2,

B种脆红李的平均亩产量为：

xB=42x0.0125x4+46x0.025x4+50x0.0375x4+54x0.0875x4+58x0.05x4+62x0.0375x4=54,

A种脆红李平均亩产量小于B种脆红李的平均亩产量，

用平均亩产量来判断应选择种植B种脆红李.

22

20.(1)—+^-=1

82

(2)证明见解析：定值

【解析】

【分析】

£=正

(1)依题意得到"一2,再根据02=储—〃，即可求出从，即可求出椭圆方程;

2b=25/2

(2)首先说明直线斜率存在，设直线/：y=h+m、A(X|，X),川々,必)，联立直线与椭

圆方程，消元、列出韦达定理，由|7N|=|7W|,可得L+%=0,即可得到

"+”1=0,整理再将韦达定理代入，整理得(2%+1)(机-2%-1)=0,即可得证：

(1)

解：由e=g=且且c2=/-b2,得>4=3,

a2a24

答案第12页，共16页

又因为26=2&,所以b=J5，解得/=8,及=2,

故椭圆C的方程为目+*=1；

82

(2)

解：当直线/的斜率不存在时，设直线//=毛($二-2),

设/与C相交于A(%,"),两点，

"-1~ri—1

直线771:y-+直线TB:y-1=-^。+2)分别与％轴相交于两点

%+2演)+2

川-2-皆"+2+彩。)，

因为|加|=|3|,所以,2—++(0-1)2=[-2+^^+2]+(0-1)2,

即/=-2,与已知矛盾，故直线/斜率存在,

r2v2

设直线/：y=Ax+"?,代入匕+工1整理得：(l+4%2)x2+8hnx+4〃a-8=0,

82

设人(芭,乂)，8(々,%),贝！]A>0,且占+/=]&黑W-8

1十QK\+4k2

因为|7M|=|77V|,所以%+以=0,即铝+三|=°，

所以&+2)(>2-1)+(与+2)(>-1)=0,

即+2)(仇+w-l)+(x2+2)(Axj+/w-l)=0.

所以2h如二"+(22+机-1)•二^M(〃?-l)=0,

1+4r1+4M

整理得：(2%+1)(所21)=0,

所以2%+1=0或，〃一2左一1=0,

当,〃=24+1时，直线/：y=%(x+2)+l过点7(-2,1),不合题意，故舍去.

所以24+1=0,B|U=-1,即直线/的斜率是定值.

21.(1)1

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)由导数的几何意义列方程求解

(2)由导数研究单调性后用々表示。，代入解析式计算证明

答案第13页，共16页

(1)

因为/.(x)=(x2-1)(奴+1)=奴3+x?-ax-\,

所以/'(x)=3++2x-a,依题意得f'(-l)=2a-2=0,解得a=l.

(2)

令r(x)=0,即又£+2X_A=0,

因为△=4+12标>0,所以上述方程有两不等实根占，巧，且%&=-；，

不妨设为<0<超，因为”>0,

所以，当xe(-8,xj时，/'(x)>0,/(X)单调递增；

当工«司,々)时，/''(x)<0,/(x)单调递减.

所以，f(x)在》=七处有极大值.

由/(药)=0可得3鬲+2%—a=0,

2x.°

因此〃=]_3工2,由X<。及〃>0可得3石一1>0,所以

/(%))=(%1-l)[ar,2+(a+l)x+1]=(百一1)(玉+1)(叫+1)

—­)(总+/(e"S；)=(W产叽。.得证

\13X]j1—3%13Xj~-1

22.⑴y=丘；p2-4pcos0+3=0；

⑵土限

【解析】

【分析】

(I)消去参数f得直线/的普通方程；消去参数夕得曲线C