高等数学课件-86多元函数极值与最值

高等数学(微积分)课件--86多元函数极值与最值多元函数极值的基本概念多元函数的最值多元函数的极值与最值的求解方法多元函数极值与最值的应用习题与解答多元函数极值的基本概念01定义设$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内有定义，如果对邻域内任意的$(x,y)$，都有$f(x,y)leqf(x_0,y_0)$（或$f(x,y)geqf(x_0,y_0)$），则称$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处取得极小值（或极大值）。性质极值是局部的，即在一个很小的区域内取得，不是整体的；极值是相对的，即在一个确定的区域内比较得出。定义与性质如果$f''(x_0,y_0)>0$，则$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处取得极小值；如果$f''(x_0,y_0)<0$，则$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处取得极大值。二阶导数测试如果函数在区域边界上取得极值，则需要考虑边界条件。边界条件极值存在的必要条件极值存在的充分条件鞍点定理如果函数在某点的偏导数在该点的值异号，则该点为鞍点，函数在鞍点处取得极值。极值的充分条件如果函数在某点的二阶导数等于零，且该点的三阶导数不为零，则该点为极值点。多元函数的最值02最值的定义在闭区域D上，如果存在一点x0，使得函数f(x)在x0处取得的值大于或等于D上任何其他点处的函数值，则称f(x)在D上取得极大值或极小值，极大值和极小值统称为最值。最值的性质最值是局部极值，即在定义域内的一定区域内取得最大或最小值的点；最值也可能在定义域的边界点上取得；最值点处的导数可能为零、变号或不存在。最值的定义与性质无界函数的最大值与最小值函数的取值范围为无穷大或无穷小的函数称为无界函数。无界函数的定义对于无界函数的最大值和最小值，需要特别注意，因为它们可能不存在。例如，函数f(x)=1/x在区间(0,1)上是无界的，因为当x趋向于0时，f(x)趋向于无穷大，所以在这个区间上不存在最小值。无界函数的最大值与最小值有界闭区域的定义在实数轴上被有限区间[a,b]所包含的点集称为有界闭区域。要点一要点二有界闭区域上最值的求解方法对于有界闭区域上的最值问题，可以通过求导数并令其为零，找到可能的极值点；然后检查这些点的函数值，确定是否为最值；最后比较这些最值与区间端点的函数值，确定整个区间上的最大值和最小值。有界闭区域上的最值问题多元函数的极值与最值的求解方法0301梯度法是一种求解多元函数极值的方法，通过计算梯度向量，找到函数值增长最快的方向，从而确定极值点。02梯度向量的计算公式为：$nablaf(x)=left(frac{partialf}{partialx_1},frac{partialf}{partialx_2},ldots,frac{partialf}{partialx_n}right)$。03在极值点处，梯度向量与所有方向导数都相等，即$nablaf(x)=0$。梯度法拉格朗日乘数法01拉格朗日乘数法是一种求解多元函数在约束条件下的极值的方法。02它通过引入拉格朗日函数，将约束条件转化为等式约束，然后求解该等式约束下的极值点。03拉格朗日乘数法的计算公式为：$L(x,lambda)=f(x)+lambdag(x)$，其中$g(x)$是约束条件。03如果梯度向量与某方向正交，则该方向上的方向导数为零，即函数在该方向上没有变化。01方向导数是函数在某方向上的导数，表示函数在该方向上的变化率。02在极值点处，方向导数达到最大或最小值，此时梯度向量与该方向垂直。方向导数与梯度的关系多元函数极值与最值的应用04VS在生产过程中，企业需要最小化生产成本，这可以通过求解多元函数极值来实现，以找到最优的生产方案。投资组合优化在金融领域，投资者需要优化投资组合以实现最大收益，这可以通过求解多元函数的最值问题，找到最佳的投资组合方案。生产成本最小化在经济领域的应用在物理中，弹性力学涉及到物体在外力作用下的变形问题，通过求解多元函数的极值，可以找到物体变形的最优状态。在流体动力学中，需要研究流体在各种条件下的运动状态，通过求解多元函数的最值，可以找到最优的流体运动状态。弹性力学流体动力学在物理领域的应用生物医学在生物医学研究中，多元函数极值与最值的应用也十分广泛，例如在药物研发、疾病诊断和治疗等方面。地理学地理学中涉及到各种空间数据的分析和处理，通过求解多元函数的极值和最值，可以更好地理解和分析地理现象。在其他领域的应用习题与解答05计算下列函数的极值点01习题$f(x,y)=x^2+y^2$在$x^2+y^2leq1$02$g(x,y)=x^2-y^2$在$x^2+y^2leq1$03求函数$f(x,y)=x^2+y^2$在$x^2+y^2leq1$上的最大值和最小值。04求函数$g(x,y)=x^2-y^2$在$x^2+y^2leq1$上的最大值和最小值。05$f(x,y)=x^2+y^2$在$x^2+y^2leq1$的极值点为$(0,0)$和$(pm1,0)$。解析：由于$f(x,y)$是凸函数，其极值点位于边界上，即$(0,0)$和$(pm1,0)$。$g(x,y)=x^2-y^2$在$x^2+y^2leq1$的极值点为$(pm1,0)$。解析：由于$g(x,y)$是凹函数，其极值点位于边界上，即$(pm1,0)$。求函数$f(x,y)=x^2+y^2$在$x^2+y^2leq1$上的最大值和最小值。最大值为$f(0,0)=0$，最小值为$f(pm1,0)=1$。解析：由于$f(x,y)$是凸函数，其最大值和最小值分别出现在极值点和边界上。求函数$g(x,y)=