高等数学教学课件第1章.函数与极限

高等数学》(同济六版)教学课件★第1章.函数与极限xx年xx月xx日目录CATALOGUE函数概念函数的极限无穷小与无穷大函数的连续性01函数概念函数是数学上的一个概念，它是一种特殊的对应关系，这种关系使得对于数集A中的每一个元素，按照某种法则，数集B中都有唯一确定的元素与之对应。函数的定义函数可以用解析式、表格、图象等方式来表示，其中解析式是最常用的一种表示方法。函数的表示法函数的性质函数具有一些基本的性质，如奇偶性、单调性、周期性等，这些性质对于研究函数的性质和变化规律非常重要。02函数的极限VS当自变量趋近某一值时，函数值无限接近于某一常数，称该常数为函数的极限。极限的精确定义对于任意小的正数$varepsilon$，存在相应的正数$delta$，当$0<|x-x_0|<delta$时，有$|f(x)-L|<varepsilon$，其中$x_0$是自变量的某一值，$L$是常数，$f(x)$是函数。极限的描述性定义极限的定义有界性若函数在某点的极限存在，则函数在该点的附近是有界的。局部保号性若函数在某点的极限大于0，则函数在该点的附近大于0；若函数在某点的极限小于0，则函数在该点的附近小于0。唯一性一个函数的极限是唯一的。极限的性质03指数函数的极限对于形如$a^x$的指数函数，当$a>1$时，有$lim(a^x)=+infty$；当$0<a<1$时，有$lim(a^x)=0$。01四则运算法则对于两个函数的极限，有加法、减法、乘法和除法的运算法则。02复合函数的极限若$lim(g(x))=a$且$lim(f(a))=L$，则$lim(f(g(x)))=L$。极限的运算03无穷小与无穷大无穷小是极限为零的变量，具有传递性、局部有界性和可模性等性质。总结词无穷小是高等数学中一个非常重要的概念，它是当一个变量在某极限过程中趋于零时所对应的量。无穷小具有一些重要的性质，如传递性、局部有界性和可模性等。这些性质在研究函数的极限和连续性等问题时起着重要的作用。详细描述无穷小的定义与性质总结词无穷大是极限为无穷的变量，具有倒数性质、可模性质和局部有界性等性质。详细描述无穷大是相对于无穷小的另一个重要概念，它是当一个变量在某极限过程中趋于无穷大时所对应的量。无穷大具有一些与无穷小类似的性质，如倒数性质、可模性质和局部有界性等。这些性质在研究函数的极限和连续性等问题时同样起着重要的作用。无穷大的定义与性质总结词无穷小和无穷大是相互对立的概念，它们在一定条件下可以相互转化。要点一要点二详细描述无穷小和无穷大是高等数学中两个核心概念，它们在一定条件下可以相互转化。例如，当一个数列的项趋近于正无穷时，该数列的倒数趋近于零，即无穷大转化为无穷小；反之，当一个数列的项趋近于零时，该数列的倒数趋近于正无穷，即无穷小转化为无穷大。这种相互转化的关系在研究函数的极限和连续性等问题时具有重要的应用价值。无穷小与无穷大的关系04函数的连续性连续性是指函数在某一点或某一区间内的极限值等于函数值，即函数在该点或该区间内是平滑的，没有间断点。在高等数学中，连续性是指函数在某一点或某一区间内的极限值等于函数值。如果一个函数在某一点或某一区间内的极限值存在且等于该点的函数值，则称该函数在该点或该区间内连续。连续性的定义是高等数学中函数极限理论的基础之一，也是研究函数性质的重要依据。总结词详细描述连续性的定义总结词连续性具有一些重要的性质，如局部保号性、局部有界性、介值定理等。详细描述连续性具有一系列重要的性质。例如，如果一个函数在某一点的连续，那么在该点的附近一定存在与该点函数值相同或相反的函数值，即局部保号性。此外，连续函数在闭区间上一定有界，即局部有界性。介值定理也是连续性的一重要性质，它表明如果一个连续函数在一个区间上改变符号，那么在这个区间内一定存在至少一个点使得函数值为零。这些性质在研究函数的性质和变化规律时具有重要的应用价值。连续性的性质总结词连续性与可导性是两个密切相关的概念，一个函数在某点连续是该函数在该点可导的必要条件。详细描述连续性与可导性是两个密切相关的概念。一个函数在某点连续是该函数在该点可导的必要条件。如果一个函数在某一点可导，那么该函数在该点一定连续。这是因为函数的导数是在该点的极限，而函数的连续性是极限