数学九年级上册专题21.1 一元二次方程-重难点题型（人教版）（教师版）

专题21.1一元二次方程-重难点题型【人教版】【知识点1一元二次方程的概念】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.【题型1判断一元二次方程的个数】【例1】（2020秋•昭阳区期末）下列方程中，一元二次方程共有（）①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2−1x=4；④x2﹣3x＝4；⑤xA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．【解答】解：①3x2+x＝20，④x2﹣3x＝4，⑤x2−x②2x2﹣3xy+4＝0中含有两个未知数，不是一元二次方程；③x2−1综上所述，一元二次方程共有3个．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．【变式1-1】（2020秋•扬州期末）下列方程中，一元二次方程共有（）个．①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2+bx+c＝0；③2x2+3x﹣5＝0；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2+y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝A．1 B．2 C．3 D．4【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．【解答】解：①x2﹣2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；②ax2+bx+c＝0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；③2x2+④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程．综上所述，一元二次方程共有2个．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．【变式1-2】（2021春•仓山区校级月考）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+2x−4＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可．【解答】解：①ax2+bx+c＝0，当a＝0时，该方程不是一元二次方程；②x2+2③2x2﹣3x+1＝0符合一元二次方程的定义；④x2﹣2+x3＝0的最高次数是3，属于一元三次方程；综上所述，其中一元二次方程的个数是1个．故选：A．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．【变式1-3】（2020秋•茌平区期末）下面关于x的方程中：①ax2+bx+c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1；③x2+1x+5＝0；④x2+5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据一元二次方程的定义即可解答．【解答】解：关于x的方程中：①ax2+bx+c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1；③x2+1x+5＝0；④x2+5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．【题型2利用一元二次方程的概念求字母的值】【例2】（2020秋•昌图县期末）已知（m﹣1）x|m+1|+2mx+4＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是．【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【解答】解：∵（m﹣1）x|m+1|+2mx+4＝0是关于x的一元二次方程，∴|m+1|＝2，m﹣1≠0，解得：m＝﹣3，故答案为：﹣3．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数是解题关键．【变式2-1】（2020秋•铁锋区期末）若关于x的方程（a﹣1）xa2+1−7x+3＝0是一元二次方程，则a【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：∵关于x的方程（a﹣1）xa2+1−∴a2+1＝2且a﹣1≠0，解得：a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．【变式2-2】（2020秋•扬州期末）已知关于x的方程(a−3)x2+a−1x=3为一元二次方程，则【分析】如果方程是一元二次方程，那么a﹣3≠0，同时a−1有意义，a≥1，可以确定a的取值范围．【解答】解：∵方程是一元二次方程，∴a﹣3≠0，得a≠3，又∵二次根式a−1有意义，∴a﹣1≥0，得a≥1，∴a≥1且a≠3．故本题的答案是a≥1且a≠3．【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，要求二次项系数不能为0，同时要满足二次根式有意义的条件，然后确定a的取值范围．【变式2-3】（2020秋•新都区校级月考）关于x的方程（m2﹣4）x2+（m﹣2）x﹣2＝0，当m满足时，方程为一元二次方程，当m满足时，方程为一元一次方程．【分析】利用一元二次方程定义和一元一次方程定义进行解答即可．【解答】解：由题意得：m2﹣4≠0，解得：m≠±2，由题意得：m2﹣4＝0，且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2，故答案为：m≠±2；m＝﹣2．【点睛】此题主要考查了一元二次方程和一元一次方程定义，关键是掌握一元二次方程的定义和一元一次方程定义．【知识点2一元二次方程的一般形式】一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；项．【题型3一元二次方程的一般形式】【例3】（2021春•拱墅区校级期中）方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是；其中二次项系数是．【分析】一元二次方程的一般式：ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）．ax2叫二次项，a叫二次项系数；bx叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项．把方程（3x+2）（2x﹣3）＝5先去括号，再移项，最后合并即可．【解答】解：（3x+2）（2x﹣3）＝5，去括号：6x2﹣9x+4x﹣6＝5，移项：6x2﹣9x+4x﹣6﹣5＝0，合并同类项：6x2﹣5x﹣11＝0．故一般形式为：6x2﹣5x﹣11＝0，二次项系数为：6．故答案为：6x2﹣5x﹣11＝0；6．【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，通过去括号，移项，合并同类项，可以得到一元二次方程的一般形式，写出二次项系数．【变式3-1】（2020秋•乌苏市月考）将一元二次方程13x（x﹣2）＝5化为二次项系数为“1”的一般形式是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是【分析】首先把方程化成一般式，然后再确定二次项系数、一次项系数、常数项．【解答】解：13x（x13x2−2x2﹣2x﹣15＝0，二次项系数是1，一次项系数是﹣2，常数项是﹣15，故答案为：x2﹣2x﹣15＝0；1；﹣2；﹣15．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．【变式3-2】（2020秋•渝北区校级月考）若关于x的一元二次方程（a+12）x2﹣（4a2﹣1）x+1＝0的一次项系数为0，则a的值为【分析】利用一元二次方程定义进行计算即可．【解答】解：由题意得：﹣（4a2﹣1）＝0，且a+1解得：a=1故答案为：12【点睛】此题主要考查了一元二次方程，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【变式3-3】（2020秋•南岗区校级月考）阅读理解：定义：如果关于x的方程a1x2+b1x+c1=0（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与a2x2+b2x+c2=0（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b请用以上方法解决下面问题：（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是．（2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值．【分析】（1）根据对称方程的定义可得答案；（2）由题意得m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可．【解答】解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0；（2）由﹣5x2﹣x＝1，移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0，∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程，∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，解得：m＝0，n＝﹣1，∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，答：（m+n）2的值是1．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义．【知识点3一元二次方程的解】能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．【题型4利用一元二次方程的解求字母的值】【例4】（2021春•黄冈月考）关于x的方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15有一个根为﹣2，则m的值等于（）A．2 B．−12 C．﹣2 【分析】把x＝﹣2代入原方程得3×4﹣2（3m﹣1）×（﹣2）+2m＝15，然后解关于m的方程即可．【解答】解：把x＝﹣2代入方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15得3×4﹣2（3m﹣1）×（﹣2）+2m＝15，解得m=1故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．【变式4-1】（2020秋•兰州期末）若2+3是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，cA．2−3 B．2+3 C．﹣1【分析】直接把2+3【解答】解：∵2+3是方程x2﹣4x+c∴（2+3）2﹣4（2+3）+解得：c＝1．故选：D．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，正确解方程是解题关键．【变式4-2】（2021春•东城区期中）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．±2【分析】把x＝0代入方程计算，检验即可求出a的值．【解答】解：把x＝0代入方程得：a2﹣4＝0，（a﹣2）（a+2）＝0，可得a﹣2＝0或a+2＝0，解得：a＝2或a＝﹣2，当a＝2时，a﹣2＝0，此时方程不是一元二次方程，舍去；则a的值为﹣2．故选：A．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．【变式4-3】（2021春•柯桥区月考）若t是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设P＝1﹣ac，Q＝（at+1）2，则P与Q的大小关系正确的是（）A．P＜Q B．P＝Q C．P＞Q D．不确定【分析】利用一元二次方程根的定义得到at2+2t+c＝0，则c＝﹣at2﹣2t，把c＝﹣at2﹣2t代入P＝1﹣ac中得到P＝（at+1）2，从而得到P与Q的大小关系．【解答】解：∵t是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，∴at2+2t+c＝0，∴c＝﹣at2﹣2t，∵P＝1﹣ac＝1﹣a（﹣at2﹣2t）＝a2t2+2at+1＝（at+1）2，而Q＝（at+1）2，∴P＝Q．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．【题型5利用一元二次方程的解求代数式的值】【例5】（2021春•招远市期中）已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则代数式1+6m﹣2m2的值为（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3【分析】根据m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，可以求得所求代数式的值，本题得以解决．【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，∴m2﹣3m﹣2＝0，∴m2﹣3m＝2，∴1+6m﹣2m2＝1﹣2（m2﹣3m）＝1﹣2×2＝1﹣4＝﹣3，故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出代数式的值．【变式5-1】（2021春•阜阳月考）若a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则代数式2−1aA．﹣2 B．﹣1 C．1 D．5【分析】利用一元二次方程解的定义得到a2﹣3a+1＝0，两边除以a得到a+1【解答】解：∵a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，∴a2﹣3a+1＝0，∵a≠0，∴a﹣3+1a=0，即∴2−1a−a＝2﹣（故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．【变式5-2】（2020秋•平邑县期末）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（）A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019【分析】先把a代入对已知进行变形，再利用整体代入法求解．【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣1＝a，﹣a2+a＝﹣1，∴﹣a3+2a+2020＝﹣a（a2﹣1）+a+2020＝﹣a2+a+2020＝2019．故选：C．【点睛】考查了一元二次方程的解的知识，解题关键是把a的值代入原方程，从中获取代数式a2﹣1的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．【变式5-3】（2020秋•麦积区期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，则a2A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【分析】由a是方程x2﹣2010x+1＝0的一个根，将x＝a代入方程，得到关于a的等式，变形后代入所求式子中计算，即可求出值．【解答】解：∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，∴a2﹣2020a+1＝0，即a2+1＝2020a，a2＝2020a﹣1，则a2−2019a+2020a2+1=2020a﹣1﹣2019a故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．【题型6赋值法求一元二次方程的定根】【例6】（2021春•余杭区月考）若a﹣b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．无法确定【分析】由a﹣b+c＝0可知把x换成1成立，则可求得答案．【解答】解：∵a﹣b+c＝0，∴a×12﹣b×1+c＝0，∴方程ax2﹣bx+c＝0必有一根为1，故选：B．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等是解题的关键．【变式6-1】（2021春•唐山月考）关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2020＝0满足a+b＝2020，则方程必有一根为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定【分析】由于x＝﹣1时有a+b＝2020，于是可判断此方程必有一根为﹣1．【解答】解：当x＝﹣1时，a+b﹣2020＝0，则a+b＝2020，所以若a+b＝2020，则此方程必有一根为﹣1．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．【变式6-2】（2021春•萧山区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021得到x﹣1＝2021，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2022．【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2即a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1，所以at2+bt+2＝0，而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021，则x﹣1＝2021，解得x＝2022，所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为x＝2022．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．【变式6-3】（2021春•瑶海区期中）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足3a﹣b+13c＝0，则方程必有一根为【分析】把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得9a﹣3b+c＝0，即可得出答案．【解答】解：当把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得出9a﹣3b+c＝0，即3a﹣b+13即方程一定有一个根为x＝﹣3，故答案是：x＝﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的应用．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．【题型7根据面积问题列一元二次方程】【例7】（2020秋•官渡区期末）《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m，宽为20m的矩形场地ABCD（如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行、另一条与AD平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为95m2，求道路的宽度、若设道路的宽度为xm，则x满足的方程为（）A．（32﹣x）（20﹣x）＝95 B．（32﹣2x）（20﹣x）＝95 C．（32﹣x）（20﹣x）＝95×6 D．（32﹣2x）（20﹣x）＝95×6【分析】设道路的宽度为xm，则六块草坪可合成长（32﹣2x）m，宽（20﹣x）m的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合每一块草坪的面积为95m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设道路的宽度为xm，则六块草坪可合成长（32﹣2x）m，宽（20﹣x）m的矩形，依题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝95×6．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式7-1】（2021春•鹿城区校级期中）在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（）A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468 C．30×20﹣2•30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468【分析】根据余田的面积为468列出方程即可．【解答】解：设入口的宽度为xm，由题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝468．故选：A．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．【变式7-2】（2021春•瓯海区期中）如图，在一块长方形草地上修建两条互相垂直且宽度相同的平行四边形通道，其中∠KHB＝60°，已知AB＝20米，BC＝30米，四块草地总面积为503m2，设GH为x米，则可列方程为（）A．（20﹣x）（30﹣x）＝503 B．(20−3C．20x+30x﹣x2＝97 D．20x+30x−【分析】设GH为x米，根据矩形和平行四边形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：过H作HM⊥LG于M，∵∠KHB＝60°，LG⊥KH，∴∠HGM＝∠KHB＝60°，∵∠HMG＝90°，∴HM=32∵长方形的面积＝20×30＝600（cm）2，∴四块草地总面积为503m2，∴通道的面积为：20x+30x−34x故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式7-3】（2021春•蜀山区校级期中）如图，将边长为12的正方形纸片，沿两边各剪去一个一边长为x的长方形，剩余的部分面积为64，则根据题意可列出方程为．（方程化为一般式）【分析】如果设剪去的边长为x，那么根据题容易列出方程为122﹣（12x×2﹣x2）＝64．【解答】解：设剪去的边长为x，那么根据题容易列出方程为122﹣（12x×2﹣x2）＝64，化为一般形式为：x2﹣24x+80＝0，故答案为：x2﹣24x+80＝0．【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是正确的表示出有关线段的长，难度不大．【题型8根据实际问题列一元二次方程】【例8】（2021春•瓯海区期中）某市大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造，2019年投入10亿元，若每年的增长率相同，预计2021年投资14.4亿元，设年平均增长率为x，则由题意可列方程．【分析】首先设每年投资的增长率为x．根据2019年投入10亿元，若每年的增长率相同，预计2021年投资14.4亿元，可列方程．【解答】解：设每年投资的增长率为x，根据题意，得：10（1+x）2＝14.4，故答案为：10（1+x）2＝14.4．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n＝b其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率，b是第三年数据．【变式8-1】（2021春•长兴县月考）2021年元旦，某班同学之