新教材2021-2022学年北师大版数学必修第一册学案：第八章 数学建模活动(一)

新课程标准解读核心素养

收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域

中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际数学建模、数据分析、数学运算

问题，感悟数学模型中参数的现实意义

b情境导入

数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国

的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂.经过30多年的发展现在

绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和

讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有

效的途径.大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年在

几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，

而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例.可以说数学建模竞赛是在

美国诞生，在中国开花、结果的.

［问题］你知道什么是数学建模吗？

［内容概述］

数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型

解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、

构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.数学建模活动

是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动.

I数学建模］

数学建模的基本过程如下：

I实际情墙］

I提出问题I

b---------

|建立模型|

I

|求.模型I

■不.乎实际

二^5实际

I实:结果I

数学建模活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的

过程.具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的

思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论.

［实例探究1

牙膏价格与重量关系的数学建模

I选题I在超市购物时，我们注意到大包装商品比小包装商品便宜，比如某品牌牙膏50

g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元.我们可以通过单位商品价格关于商品重量的函

数来分析大包装便宜还是小包装便宜.

［开题］1.分析问题

商品价格是由成本决定的，成本可分为生产成本、包装成本和其他成本.生产成本与重

量w成正比，包装成本与表面积成正比，其他成本与卬无关.单位重量商品价格。=*答.

牙膏可以近似为圆柱体来思考.

2.模型假设

设如下变量：商品价格为C,商品重量为W,单位重量价格为c,商品包装面积为S,

生产成本为C1,包装成本为C2，其他成本为C3.

3.研究的大体思路、方法与步骤

(1)分析商品价格C与商品重量W的关系.价格由生产成本、包装和其他成本等决定，

这些成本中有的与重量卬成正比，有的与表面积成正比，还有与卬无关的因素；

(2)求单位重量价格c与W的关系，可以用简图分析.最后结合实验结论，对商家或顾

客提出合理的建议.

4.研究此问题的意义

实际生活中，经常会遇到大、小包装的问题，如洗衣粉、洗发水、纯净水等.在选择购

买时，可依据下面的数学模型做选择.

［做题］1.模型建立与求解

商品价格由成本决定，商品成本=生产成本+包装成本+其他成本，故C=G+C2+

C3,生产成本与重量W成正比，设©=用卬(心为大于0的常数)，包装成本与表面积S成正

比，商品包装包括牙膏包装和牙膏盒包装，牙膏包装与牙膏表面积有关，牙膏盒为长方体，

设牙膏盒包装面积S2,牙膏可以近似为无底的圆柱体，设牙膏包装面积S1,即圆柱体侧面

积.

设此圆柱体的半径为R,高为3Si=2nRL,①

由题意，我们需要将包装面积与商品重量联系在一起，故我们将牙膏体积V近似为圆

柱体积的一半，则nR?L,②

w

设牙膏密度为0,则V=—,③

一般地，为了美观，牙膏的半径与长度有一定比例关系，在这里：设R=k2L（k2为大于

。的常数），④

根据②③④，可以得出半径R=（甯,⑤

由①©⑤得出，0=等077）"，

可以把牙膏盒看成一个长为L,宽高都为2R的长方体，故牙膏盒包装面积S2=8R2+

8RL,

再根据④⑤求得S2=8（l+J（誓^’,

2

-

32

行，依，公为大于0的常数,

则包装成本c2=fa-

是包装成本与包装面积的比值.其他成本C3为固定常数，与w,s无关.

即C=G+C2+C3=%|W+%3

由于ki，&2,依，鱼，。都是大于零的常数，所以商品价格关于商品重量的函数是单调

增函数，所以商品重量增大，商品价格增大.

对于单位重量价格c与商品重量卬的关系，我们已知。=石，由于心，心，心，自，P

2

都是大于零的常数，所以包装成本与商品重量成正比，可以简化为C2=A5X%（名为大于0

C11

的常数），所以。=而=ki+k'X访.

W5-o--+C3W

加

2.模型解释

c-W的简图如图所示：

020406080100120140W

由函数解+析式及图象可知单位商品价格关于商品重量的函数是一个减函数，即随着w

的增加，c的减少幅度减少，当W很大时，则c,不再减少，所以说，不要盲目追求大包装商

品.

［结题］对于商家，一般来说，小包装商品的利润较高，但成本也相应的增多，所以应

该包装大小适宜，在适当情况下，可以尽量生产小包装的商品；

对于顾客，在用得完的情况下，尽量买较大的包装，可以节省包装的费用，但是也不能

盲目地认为越大包装的商品就越便宜，可能会有其他消耗，如用不完的情况.

数学建模参考选题

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法、数学模型解

题的过程.在构建模型时，经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数据，

再进行分析、建模.

下面摘录一些中学生曾经研究过的问题供参考，同学们可根据情况组织团队进行建模活

动.

［生活方面的问题］

1.未成年男性体重(kg)与身高(cm)关系；

2.太阳能电池板发电设备优化；

3.区域养老院规划；

4.老年人免费乘公交车的社会成本.

|社会方面的问题|

1.对小区学生择校问题的研究；

2.如何使防护林达到最佳防护效果；

3.保安巡更路线方案及软件流程设计；

4.高峰期学校门前十字路口红绿灯周期时间的设计.

［自然方面的问题］

1.公路上雪的融化速度：

2.水草治理问题.

［以未成年男性体重(kg)与身高(cm)关系为例］

数学建模建立函数模型解决实际问题

1.课题名称关于未成年男性体重(kg)与身高(cm)关系的函数建模

成员：指导教师和全班同学；

2.课题组成员及分工分工：指导教师负责选课题方向，并对所得模型进行评

价.全班分成4个小组，每个小组分别独立完成课题研究

3.选题的意义

通过这一个课题使学生熟悉函数建模的一般过程，并能培养同学们的团队协作的意识和勇

于探索的精神.通过整个建模流程的参与，让同学们认识到很多实际问题最终可以用函数模

型来刻画，对未成年男性的身高与体重的关系有更深入的理解

4.研究计划（包括对选题的分析，解决问题的思路等）

关于身高与体重的话题可以说是我们身边经常聊到的，但如何用函数来刻画这两者之间的内

在的规律性就需要我们进行理性分析，为了得到较为理想的函数模型，首先要对适宜群体进

行数据采集，然后结合散点图对数据的变化趋势进行分析，再选用我们已学过的能拟合这一

变化规律的函数模型，最后对获得的模型进行验证，并能解决有关未成年男性身高和体重的

定量分析等问题

5.研究过程(收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程，以及过程中出现的难点及解

决方案等)

(1)收集数据

表中是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表:

身高

60708090100110120130140150160170

(cm)

体重:12.115.017.520.926.831.138.847.255.0

6.137.909.99

(kg)520261555

说明：初始阶段每个小组单独去采集数据，最后在教师指导下对身高以10cm为间隔进彳

并且数据要有代表性，以方便计算和整体规律的体现.根据表中提供的数据，要求我们/

学过的一种函数，使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系，：

这个函数的解+析式.

(2)分析数据

根据图表我们可以知道，本题属于拟合问题.但体重y关于身高x的函数关系，没有现

成的函数模型，为此可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助

我们选择函数模型.根据表中提供的数据可得如下散点图：

60-

50-/

40-・

30.■

20-.•

10..**

0____111111b

6080100120140160180工

(3)建立模型

观察散点图的分布情况，并结合已学过的基本初等函数的图象与性质特点，可选择指

数函数模型.设函数关系式为y=ae3其中a,b满足。6(0,+«,),+8)(可通过

matlab软件进行计算)，可得出a=e06952,4=0.0197.

教师点评：如果再换一组数据，得出结果可能不完全相同，但只要能基本吻合数据即

可.代入函数式得y=e°6952+0.019lx.

考虑到考察对象为未成年男性，因此可限定50cmWxW180cm.

因此所得函数模型为y=e°6952+o.oi97.\(5oWxW18O).

(4)检验模型

将已知数据代入上式或画出函数模型对应的图象，可以发现，这个函数模型可以反映

表中数据的变化规律.这说明可以用该模型来反映未成年男性体重y(kg)随身高x(cm)的变化

规律.

一

0I11I，11A

60