数学25简单复合函数的求导法则课件北师大版选修2

数学】25简单复合函数的求导法则课件北师大版选修(2)contents目录复合函数的定义与表示链式法则乘积法则与商的求导法则高阶导数与复合函数的关系习题与解析01复合函数的定义与表示复合函数可以表示为$f(g(x))$的形式，其中$f$和$g$是基本初等函数，$x$是自变量。复合函数具有多个中间变量，每个中间变量都是一个函数。复合函数是由多个基本初等函数通过有限次复合运算得到的函数。复合函数的定义可以用嵌套函数的形式来表示复合函数，例如$y=f(g(x))$。可以使用点表示法来表示复合函数，例如$(x,y)=f(g(x))$。可以将复合函数的中间变量表示为$u$，然后写出$u=g(x)$，最后将$u$代入$f(u)$中得到复合函数的解析式。可以使用图示法来表示复合函数，通过画出函数的图像来表示复合函数的关系。复合函数的表示方法02链式法则链式法则的推导链式法则的推导基于函数的复合性质，通过将复合函数分解为多个基本函数的组合，利用基本函数的导数性质，逐步推导出复合函数的导数。链式法则的推导过程需要掌握复合函数、基本初等函数的导数公式以及求导法则，如乘积法则、幂函数法则等。0102链式法则的应用通过链式法则，可以将复合函数的导数问题转化为多个基本函数的导数问题，简化求导过程，提高计算效率。链式法则是求复合函数导数的重要工具，广泛应用于各种复杂函数的求导问题。求函数$f(u)=u^2$在点$u=2$处的导数，其中$u=g(x)=x^3$。实例一求函数$f(u)=e^u$在点$u=lnx$处的导数，其中$u=g(x)=x^2$。实例二链式法则的实例解析03乘积法则与商的求导法则乘积法则的推导基于函数的导数定义和极限的运算法则，通过将复合函数分解为简单函数的乘积，再分别求导，最后将导数相乘得到复合函数的导数。具体推导过程可以通过举例来说明，例如设$u=uv$，对$u$和$v$分别求导，再利用乘法法则得到$(uv)'=u'v+uv'$。乘积法则的推导乘积法则的应用非常广泛，可以用于求各种复合函数的导数。例如，对于函数$f(u)=u^2$和$g(v)=v^3$，可以设$u=uv'$，对$u$和$v$分别求导得到$(uv^2)'=u'v^2+2uv'v=u'v^2+2u'v^2=3u'v^2$。乘积法则的应用商的求导法则的推导基于函数的导数定义和极限的运算法则，通过将复合函数分解为简单函数的商，再分别求导，最后将导数相除得到复合函数的导数。具体推导过程可以通过举例来说明，例如设$u=frac{v}{w}$，对$u$、$v$和$w$分别求导，再利用除法法则得到$(u)'=frac{v'w-vw'}{w^2}$。商的求导法则的推导商的求导法则的应用商的求导法则的应用同样非常广泛，可以用于求各种复合函数的导数。例如，对于函数$f(u)=frac{1}{u}$和$g(v)=v^2$，可以设$u=frac{1}{v}$，对$u$、$v$和$-v$分别求导得到$(uv^2)'=u'v^2-2uv'v=-v'-2uv'=-3uv'$。04高阶导数与复合函数的关系VS一个函数的高阶导数是指该函数的导函数再次对原函数求导的结果。例如，二阶导数是对一阶导数再次求导，三阶导数是对二阶导数再次求导，以此类推。表示方法二阶导数通常表示为$f''(x)$，三阶导数表示为$f'''(x)$，以此类推。定义高阶导数的概念对于复合函数$f(g(x))$，其高阶导数可以通过链式法则进行计算。例如，二阶导数$f''(x)=f'(g'(x))cdotg''(x)$。对于幂函数$x^n$，其高阶导数可以通过二项式定理进行计算。例如，$(x^n)'=nx^{n-1}$，$(x^n)''=n(n-1)x^{n-2}$。复合函数的高阶导数求法幂函数的高阶导数链式法则求极值点通过判断一阶导数的零点附近二阶导数的符号变化，可以判断函数极值点的类型。如果二阶导数在零点附近为正，则该点为极小值点；如果二阶导数在零点附近为负，则该点为极大值点。求拐点通过判断二阶导数的零点，可以找到曲线的拐点。即函数的一阶导数为零的点，且二阶导数在该点附近改变符号。近似计算高阶导数在某些情况下可以用于近似计算复杂的数学问题，例如泰勒级数展开式就是利用高阶导数进行近似计算的。高阶导数的应用举例05习题与解析考察基本概念和公式应用总结词包括简单的复合函数求导、导数的基本公式和四则运算等基础题目，旨在帮助学生掌握求导法则的基本应用。详细描述基础习题总结词提高解题技巧和思维难度详细描述题目难度有所提升，涉及较为复杂的复合函数求导、隐函数求导以及高阶导数等，需要学生灵活运用求导法则和相关公