新疆叶城县第六中学2023届高三年级下册高考考前最后一次诊断数学试题（含解析）

新疆叶城县第六中学2023届高三下学期高考考前最后一次

诊断数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知A=kk2_x_6W0},3={HTog2xN2},则6人8=()

A.卜2,0]。(；,3B.卜2,0卜；,3

C.卜3,0]d]；,2D.[-3,0]o1,2

2.已知z=i2W3,贝lJ」一=().

Z+1

A.---iB.-+-iC.gD.0

22222

3.已知“./?=-24，a+2Z>=(-5,2),若a与6模相等，则，卜().

A.3B.4C.5D.6

4.魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺・鲁比克教授于1974

年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，

每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一.已知经典三阶魔方（如图）自由

转动之后的色块组合约有4.3x1019种，现将下图已还原的魔方按5步打乱，且每一步互

相独立，则共有（）种打乱方式.

C.185D.©

则tana=().

B.-1-V2

D.1-V2

6.已知圆C:/+y2+2x-4y=0,直线/：2x-y-l=0,则圆C与直线/()

A.相交B.相切C.相离D.相交且直线过

圆C的圆心

7.已知一立方体刚好可以装下一颗半径为2的球，则此立方体外接球的表面积为()

A.16兀B.24兀C.32兀D.48兀

8.已知/(x)=xsinx,则以下说法正确的是().

A./*)为奇函数B./(x)为周期函数

C./⑴有无数零点D.(图=0

9.在4BC当中NBAC=60,且AB=2AC=4,已知。为BC边的中点，则AO=().

A.2B.75C.瓜D.近

10.在(石-2)5的展开式中，X的系数为()

X

A.-10B.10C.-5D.5

?2

H.已知双曲线c：*-亲其中一条渐近线与直线x+y—1=0垂直，则

c的离心率为()

A.0B.2C.GD.1

12.已知定义在R上的奇函数“X)满足/(x)=/(x+2),则以下说法错误的是()

A./(0)=0B./(x)的周期为2

C./(2023)=1D./(3)=〃4)+〃5)

二、填空题

13.下图是一个半径为2且内接一个正三角形的圆，现随机向圆内内扔一粒米，则米粒

落入三角形区域的概率为.

14.已知向量〃=(2,y),i>=(x,1),且x+2y=孙,(x>0,y>0),则“力的最小值

为.

15.己知p：如果数列｛《,｝是等比数列，那么数列｛(《,)?也是等比数列；q：如果数列｛%｝

是等差数列，那么数列｛(q)?也是等差数歹IJ.以下哪些为真命题___________.

①pf\q

②pVq

③2八q

试卷第2页，共4页

④pvp

16.函数y=2sin3t（0>O）向左平移三个单位长度之后关于x=£对称，则。的最小值

36

为.

三、解答题

17.已知数列｛《,｝的首项为1,前“项和S“=〃2；

（1）求数列｛4｝的通项公式；

⑵若b“=（4+1）-2",求数列｛2｝的前“项和T„.

18.离高考还有最后一周，我校进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现

从高三13个班级每个班随机抽10名同学进行问卷，统计数据如下图，

课余学习时间超过两小时课余学习时间不超过两小时

200名以前35X

200名以后2545

n^ad-bc^2

附：参考公式：K2=（^）（c+d）（a+c）0+d），其中〃=4+b+C+d.

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

⑴求X；

⑵依据上表，判断是否有99%的把握认为，高三学生课余学习时间超过两小时跟学生

成绩有关.

19.如图，在正四棱柱A8CD-A向GD/中,AAi=2AB,E、尸分别为AA/、AC的中点.

(2)求EF与平面O8B/功夹角的余弦值.

20.已知抛物线C:y2=2Pxm°)上任意一点P伉，九)到直线x=-2的距离比到焦点

的距离大1.

(1)求C的标准方程；

(2)若倾斜角为30。的直线/经过C的焦点并与C相交于4,B两点，求以AB为直径的圆

的标准方程.

21.已知函数〃x)=£.

⑴求出函数〃x)的单调区间；

⑵若g(尤)=ff(x),求g(x)的最小值.

1

x=t+-

22.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为〈’1(r为参数)，以坐标原点

yW了

为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为，=].

(1)写出C的普通方程；

(2)写出直线I的直角坐标方程并判断/与C有无交点,如果有，则求出交点的直角坐标;

如果没有，写出证明过程.

23.已知"x)=|2x-l|.

⑴若〃x)>l，求x的解集；

⑵若/(X)"-x恒成立，求〃的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】先求出集合A,8,再根据补集的定义即可得解.

2

【详解】A={x|x-x-6<0)=[-2,3],S={x|-log2x>2}=^0,l,

所以。8=[-2,0]。(；,3.

故选：A.

2.B

【分析】根据『=-1即可得到12必的值，进而可以用复数的四则运算法则进行计算.

2023210

【详解】z=i=i.(i)"=-i(所以=7=」="=手=；+"

z+11-1(1-1)(1+1)222

故选：B

3.C

【分析】利用坐标求出〃+26的模长，进而根据已知条件可以得到一个关于口的方程，问题

即可得到解决.

【详解】因为。+26=(-5,2),所以卜+20=A/西，

故k+2.+41|+4夕分=29,而又已知“电=-24,且卜卜忖,

所以忖+4忖-96=29,解得忖=5.

故选：C

4.C

【分析】按魔方的正面和侧面进行分析，得到每一次的旋转方式共有18种，即可得到答案

【详解】若以红色的一面为正面，分成三行三列，每一行可以左右旋转，每一列可以上下旋

转，此时有3x2+3x2=12种旋转方式；

接着侧面(以绿色一面为例)，每一列都可以上下旋转，此时有3x2=6种旋转方式，

故每一次旋转魔方，共有12+6=18种旋转方式，

所以按5步打乱，且每一步互相独立，则共有185种打乱方式.

故选：C

5.A

【分析】利用倍角公式结合同角三角关系运算求解.

【详解】因为sin2a=cos2«,2sinacos(z=cos2a-sin2a>

答案第1页，共10页

且a£（0,,贝ijcoscr>0,tancr>0,

可得2tanaH—tan?。，即tan2a+2tana-1=0,

解得1@口二=-1+\/5或1@11二=-1-\/^（舍去）.

故选：A.

6.B

【分析】根据题意只需判断圆心到直线的距离与半径比较大小即可判断.

【详解】由/+丁+2犬-4丫=0可得(x+iy+(y—2)2=5,

故圆心C(-l,2),半径/=6,

I_2-2-115r-

则圆心到直线/：2x—y-l=0的距离d」S+i飞=4=r,

故直线与圆C相切.

故选：B

7.D

【分析】由题意求得立方体的棱长，以及外接球的半径，即可求表面积.

【详解】由题意可知，立方体的棱长为4,所以立方体外接球的半径/■=/>

4=2石,

2

所以外接球的表面积S-4jt/-2=48兀.

故选：D

8.C

【分析】根据定义判断函数的奇偶性和周期性：通过解方程获得函数的零点;导数的计算要

准确.

【详解】易知Ax)的定义域为R,因为/(—尤)=-xsin(-x)=xsinx=/(x),

所以f(x)为偶函数，故选项A错误；

因为V=x不是周期函数，所以/(x)=xsinx不是周期函数，故选项B错误；

令/(x)=0,即xsinx=0,解得犬=%万(&eZ),故选项C正确；

因为f'(x)=sinx+xcosx,所以/"(g)=si吟+]cosq=1,故选项D错误.

故选：C

9.D

【分析】利用三角形边与中线之间的向量关系可以求中线的长.

答案第2页，共10页

11

【详解】因为。为3。边的中点，所以AOM7AB+7AC,

22

,2(IIV121)]

即AZ/=-AB+-AC=-AB~+-AC+-ABAC,

(22J442

而启=网2=16,AC2=|AC|2=4,ASMC=|AB|-|AC|COS60=4,

故人户=4+]+2=7，所以|4。|=近.

故选：D

10.A

【分析】首先求出展开式的通项，再令:-：r=1，即可求出人再代入计算可得；

22

【详解】解：二项式(五展开式的通项为加=由五=卜：]=@泠(-2)‘

令)小・=1,解得r=1,所以(-2)=-10%,所以展开式中”的系数为-10,

故选：A

11.A

【分析】根据直线垂直关系，可以找到。力关系，将其转化为离心率即可.

【详解】由于双曲线C：W-《=l(a>0,b>0)的一条渐近线和直线x+y-l=0垂直,

ab

故该渐近线的斜率2=1,

a

所以双曲线的离心率为e=：==Vm=V2,

故选:A

12.C

【分析】由函数〃x)是R上的奇函数，可得"0)=0,且〃力=-/(-力，即可判断A,

根据〃x)=/(x+2)即可判断B,根据/(x)=-f(-x)=/(x+2),令x=-l,求出”1),再

结合函数的周期性即可判断CD.

【详解】因为函数〃x)是R上的奇函数，

所以“0)=0,且〃X)=-〃T),故A正确；

因为f(x)=〃x+2),所以/(x)的周期为2,故B正确；

答案第3页，共10页

由/(x)=-/(-x)=/(x+2),

令x=-l,则一/。)=/(1),所以"1)=0,

所以“2023)=/。)=0,故C错误;

/(3)=/(5)=/(1)=0,/(4)=/(0)=0,

所以"3)=/(4)+〃5)=0,故D正确.

故选：C.

■13.-----

4兀

【分析】设正三角形的边长为。，通过正弦定理算出a=20，然后算出正三角形的面积和

圆的面积即可求出答案

【详解】设正三角形的边长为“，

由正弦定理可得.兀，解得a=20，

sin—

3

所以正三角形的面积为gx(2百『xsi吟=3石，

所以米粒落入三角形区域的概率为?乌=地

兀x2~4兀

故答案为：—

4万

14.9

【分析】求出a吆，用基本不等式T”的代换求最小值.

12

【详解】由x+2y=xy得一+—=1,因为x>0,y>0,

yx

t^a-b=2x+y=(2x+y]—+—^=5+—+—>9,

k37x)yx

当且仅当x=y=3时等号成立.

故答案为：9

15.②④

【分析】首先根据等差和等比数列的定义，判断两个命题的真假，再根据复合命题真假的判

断方法，即可判断.

答案第4页，共10页

【详解】p:设数列｛4｝的公比为夕，则攀=4。所以数列｛(4“『｝也是等比数列，故命题0

是真命题；

4：设等差数列｛4｝的公差为"，首项为4,则

%-吊=(4+初)2-|>+("-1)疔=2//+(2〃_1/,不是常数,所以数列｛((f｝不是等

差数列，所以命题夕是假命题.

贝ij和是真命题.

故答案为：②④

16.1

【分析】先求平移后的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解.

【详解】y=2sinox向左平移］个单位长度后，得y=2sin0(x+5),

TT

因为函数关于x=m对称，

6

所以。x|工+丁卜彳+E,keZ,

163/22

0=1+23keZ,(9>0

所以。的最小值为1.

故答案为：1

17.⑴4=2〃-1

⑵雹=5-1>2"+2+4

【分析】(1)利用5“与。”之间的关系可得，注意要验证首项是否符合通项公式；

(2)一个等差数列乘以一个等比数列构成一个新数列，利用错位相减法求这个新数列的前"

项和.

【详解】(1)因为S"=/①，所以有'一小⑺-3②，

②-①得即a产21,

经验证4=1符合4,=2〃-I,

所以数列｛«J的通项公式为«„=2/7-1.

答案第5页，共10页

nnn+

(2)bn=(a„+Y)-2=2n-2=n-2',

所以q=1x22+2x23+3x2*++小2向①，

27；,=1X23+2X24+3X25++止2-2②,

①一②可得-7；=22+23+2"++2"+'-n-2n+2,

即工=2F-2")_nr+2,化简得7；=(“一1).2"2+4,

所以数列｛“｝的前”项和7；=(〃-1)・2-2+4.

18.(l)x=25

(2)有99%的把握认为高三学生可与学习时间超过两小时跟学生成绩有关.

【分析】(1)由题意可得抽取的学生为130名，列等式即可；

(2)利用~‘、/"“『')、/,八,求得K?，与临界表对照下结论.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【详解】(1)由题意可得高三13个班级共抽取13x10=130名，

所以35+25+x+45=130,解得x=25

⑵利用列联表可得J3°(35x45-25x25)-^664;>6.635，

60x70x60x70

所以有99%的把握认为高三学生可与学习时间超过两小时跟学生成绩有关.

19.⑴证明见解析

⑵如

3

【分析】(1)利用线面平行的判定，只要证明EF平行于平面CD4/B/内一条直线即可;

(2)如图，利用面面垂直确定线面角为NEFG,解三角形即可.

【详解】(1)由F为AC交点，连接AC,8。交于点尸，

连接A。，由E为AA中点，

则£尸〃AtC,

由平面CDA/Bi,A。u平面CDAIBI,

答案第6页，共10页

所以所〃平面CDAiBi；

(2)连接AC，8a交于点”，连接〃尸,

由AAJ_平面ABCD,则AA1BD，

又ACLBD,且AAAC=A,

所以即工平面4CGA，

所以平面58Q0,ACGA,

又平面BBQ、D平面ACGA=HF,

作EG，狼于G,则EG_L平面84R。且G为HF中点,

则/EFG为E尸与平面DBBiD,所成角，

由A4/=2A8,不妨设AA=2AB=2,

贝ijFG=l,EF=>JAE2+AF2=Jl+1=.y-,

,„„„_FG_1_V6

r-r-cosNEFG==—==—

所以EFg3.

T

20.(l)/=4x

⑵(X-7)2+(>-2厨=64

答案第7页，共10页

【分析】(1)根据题意可得点P到直线4-1的距离等于到焦点的距离，然后利用抛物线的

定义进行求解即可：

(2)将直线/的方程与抛物线C的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式和中

点坐标公式可求得结果.

【详解】⑴由抛物线C：V=2px(p>0)可得与20,

故点P到直线x=-2的距离比到焦点的距离大1,即点尸到直线户-1的距离等于到焦点的

距离，

所以日=1,即。=2,所以C的标准方程V=4x

(2)抛物线C：V=4x的焦点为*1,0),设点网与必)，

A=142—4x1>0>所以％+*2=14,

所以|A四=百+电+2=16,+y2-l)+^(x2-I)=^y(x,+x2-2)=473,

所以线段AB的中点为(7,26),

所以以AB为直径的圆的标准方程为(x-7『+卜-2打丫=64

21.(1)单调递减区间为(f,0),(0,1),单调递增区间为(0,+8)

(2)--

e

【分析】(1)先求出函数的定义域，求导，再根据导数的符号即可求得函数的单调区间；

(2)求导，根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可求得函数的最

小值.

答案第8页，共10页

【详解】(1)函数〃x)=£的定义域为(f,O)U(O,M),

no=1，

令r(x)<0,则xvO或Ovxvl时，令/<x)>0,贝ijx>l时，

所以函数/(司的单调递减区间为(F,0),(0,1),单调递增区间为(。,+8)；

(2)g(x)=x2/(x)=xe\(x#0),

令人(%)=旎*,%eR,则7z,(x)=(x+l)e