小四奥数(还原问题)

学科教师辅导讲义

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课题还原问题

授课日期及时段

1、熟悉还原问题的各种题型；

教学目的

2、熟悉还原问题的一般方法，并且能够迅速解决还原问题。

教学内容

一、知识点梳理

1、有些题目顺着条件的叙述去求解会感到困难，但如果改变思考的顺序，从最后的结果开始，一步一步倒回去算，

那么问题便容易解决了。如：一个数加上6,乘以6,再减去6,最后除以6,结果还是6,这个数是多少？像这样已

知一个数的变化过程和最后的结果，求原来的数，我们通常把它叫做还原问题。

2、解答还原问题的一般方法是：

(1)从最后得数出发，采用与原题中相关的逆运算，原题加的用减，原题减的用加，原题乘的用除，原题除的用乘。

(2)根据原题的叙述顺序，从正面列出数量关系，再用逆算方法得出原数。

3、在解决数学问题时，除了可以采用从已知条件出发顺着推出所需结果的方法外，还可以采用从结果出发，按照题

目中所叙述过程的相反顺序来思考问题，特别是在顺着推不太容易时，逆着推有时可能帮我们迅速解决问题，这种方

法就叫还原法或逆推法。

二、典型例题

例1、一个数加上7,乘以7,再减去7,结果还是7。这个数是多少？

点拨：还原问题要从最后的结果出发，根据题意依次倒推，变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘，直到退

出最后结果。

变式1-1一个数加上5,除以7,再加上10,最后减去5,结果是8。这个数是多少？

例2、一堆苹果，第一次卖掉一半，第二次又卖掉余下的一半，还剩5kg,这堆苹果多少千克?

点拨：第二次卖掉余下的一半，所以还剩的5kg就是另一半。用5kg乘2就得到第一次卖掉一半后剩下的，再乘2

得到原来的。

变式2-1一根绳子第一次剪去它的一半少3米，第二次剪去剩下的一半多5米，最后还剩下10米。这根绳子长多少

米？

例3、一捆电线用去全长的一半少5米，还剩56米。这捆电线原来长多少米?

点拨：此题的关键是弄清楚还剩的56米，是一半还多5米，从56米中减去5米，才是全长的一半，再用全长一

半乘2得全长

变式3-1一根钢管用去全长的一半多6米，还剩23米。这根钢管原来长多少米？

例4、小明、小强和小亮三个人共有故事书60本，如果小强向小明借3本后，又借给小亮5本。结果三个人的故事

书得本数正好相等。这三个人原来各有多少本?

点拨：从最后三人本数相等，可先求出最后每人平均的本数，再根据条件，倒推回去。

变式4-1三年级一班、二班、三班共有图书120本，如果一班向三班借20本后，又借给二班5本，此时三个班的图

书正好相等。求一班、二班、三班原来各有多少本图书？

例5、书架上分上、中、下三层，共放192本书，现在从上层取出与中层同样多的书放在中层，再从中层取出与下层

同样多的放下层，最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层，这时三层书架所放的书本数相等。这个书架上、

中、下各层原来各放多少本书？

点拨：对于比较复杂的还原问题，我们除了用倒推法列式解题还可通过列表来帮助理清题目中数量间的变化关系。

从最后一次变化结果出发，分析清楚每一位的数量关系，逐一向前推出最初的结果。____________________________

变式5-1有甲、乙、丙三桶油，共重216千克。现在从甲桶取出与乙桶同样多的油放入丙桶中，再从乙桶取出与丙

桶同样多的油放入乙桶中，再从丙桶中取出与甲桶剩下的同样多的油放入甲桶中。这时三桶油的重量相等。那么，甲、

乙、丙三桶原来各有多少千克油？

例6将一个数扩大为原来的7倍后，减去5,再除以5,最后加上最大的一位数，得22.这个数是多少？

点拨：本题在还原时，我们运用了加与减，乘与除之间的互逆关系，从后往前一步一步地推算的方法。

变式6-1一个数加5,乘5,再减去5,最后除以5,结果还是5,这个数是几？

变式6-2一个数的4倍加上8,减去20,再乘2,得72,求这个数。

变式6-3春天，小明和小亮到林中采蘑菇，小明问小亮采了多少个蘑菇，小亮回答：“我采的蘑菇个数，除以6,再

加上5,最后除以4,正好是3。”想一想，小亮采了多少个蘑菇？

例7五个猴子相约到海滩上去分香蕉，一个猴子早到了，它将香蕉分成相等的五份，多出一根扔到海里，留下一份,

拿着其他的四份找同伴去了；第二个猴子到了海滩，又将香蕉分成了相等的五份，多出一根扔到海里，留下一份，拿

着其他的四份找同伴去了；第三、第四个猴子都如此办理，最后第五个猴子来到海滩，同样将香蕉分成五份，扔掉多

出的一根，拿走了四份，海滩上只留下1根香蕉，问最初海滩上有多少根香蕉？

点拨：将结果作为推导的起点，要注意每一次推导的结果所表示的意义。

变式7-1袋子里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作5次，袋子里还有3个球，那么

袋中原有多少个求？

变式7-2老奶奶卖西瓜，第一次卖了全部的一半又半个，第二次卖了余下的一半又半个，第三次卖了第二次余下的

一半又半个，第四次卖了第三次余下的一半又半个，最后还剩下一个西瓜，问老奶奶原来有多少个西瓜？

变式7-3有一篮苹果，第一次吃去它的一半少一个，第二次吃去它余下的一半多一个，第三次吃去余下的一半，还

剩3个，这篮苹果共有多少个？

例8福娃做数学游戏：三只盒子里总共放着36枚棋子，如果第一只盒子里拿出4枚棋子放入第二只盒子，再从第

二只盒子里拿出6枚棋子放入第三只盒子，那么三只盒子里的棋子同样多。原来三只盒子里各有多少枚棋子？

点拨：”三只盒子里的棋子同样多”这是最后的结果，但是每只盒子里的棋子到底有多少枚呢？我们还要结合前面

的“三只盒子里总共放着36枚棋子”这个条件去想。

变式8-1三筐苹果共重90千克，如果从甲箧取出15千克放入乙筐，从乙筐取出20千克放入丙筐，从丙筐取出17

千克放入甲筐，这时，三筐苹果就同样重，甲、乙、丙原来各有苹果多少千克？

例9一堆火柴有30根，两人轮流从中拿取1~3根，不能多拿也不能不拿，规定谁拿到最后一根谁赢，先拿的同学第

一次要拿几根才能保证获胜？

变式9-1甲、乙两个小朋友玩“抢四十二”的游戏，即两人从1开始轮流报数，每次可报1~3个数（不能不报）,

这样下去，谁报到42就胜了，甲先报，甲要保证获胜，第一次要报几？

变式9-22009个空格排成一排，第一格中放有一枚棋子，现有2个人做游戏，轮流移动棋子，每人每次可前移1格,

2格或3格，谁先到最后一格，谁为胜，问确保获胜的方法是什么？

变式9-3有100根火柴，甲、乙两人轮流取火柴，规定每人每次可取10根以内（包括10根）的任何根火柴，谁取

完最后一根火柴即为胜者。如果开始由甲先取，谁一定能取胜？怎样才能取胜？

例10甲、乙、丙各有球若干个，甲给乙、丙一些球，使乙、丙的球是原来的2倍；然后乙也给甲、丙一些球，使

甲、丙的球增加1倍；最后丙也给甲、乙一些球，丙给甲的球的个数与甲己有球的个数一样多，丙给乙的球的个数也

与乙已有球的个数一样多，此时，三人共有72个球，且每人一样多，问甲、乙、丙原来各有球各多少个？

点拨：在倒推的过程中，用“拿来的还原，拿走的取回”的方法解答时，要逐步弄清求得什么，循环渐“退”，化

难为易，化繁为简。

变式10-1有81千克水分装在甲、乙、丙三个瓶中，先从甲瓶中倒出一些水给乙、丙两瓶，使乙、丙两瓶的水变为

原来的3倍；再把乙瓶的一部分水倒入甲、丙两瓶，使甲、丙两瓶的水变为原来的3倍；最后，再将丙瓶的水倒入甲、

乙两瓶，使甲、乙两瓶的水变为原来的3倍，现在3个瓶子中的水一样多，问甲、乙、丙三瓶中原来各有多少千克水？

变式10-2甲、乙、丙三个班共有学生144人，先从甲班调出与乙班相同的人数到乙班，再从乙班调出与丙班相同

的人数到丙班，最后从丙班调出与这时甲班相同的人数到甲班，这样，甲、乙、丙三个班人数相等，原来甲班比乙班

多多少人？

变式10-3甲、乙、丙三个盒子中各有若干个小球，从甲盒内拿出4个放入乙盒，再从乙盒内拿出8个放入丙盒后,

三个盒子内的小球个数相等，原来乙盒比丙盒多几个球？

三、课后习题

1、一个数加上3,乘以2,再减去3,最后除以3,结果还是3,。这个数是多少？

2、一块布，第一次剪去全长的一半，第二次剪去余下的一半，还剩8米。这段布原来长多少米?

3、甲、乙、丙三人各有一些连环画，甲给乙4本，乙给丙6本后，三个人书得本数同样多。乙原来比丙多多少本？

4、甲、乙、丙三个小朋友各有年历卡若干张，如果甲给乙13张，乙给丙23张，丙给甲3张，那么他们每人各有30

张。问原来三人各有年历卡多少张？

5、某人乘车从甲地到乙地，行了全程的一半时开始睡觉，当他醒来发现车又行了剩下的一半，这时离乙地还有40

米。问：甲、乙两地相距多少米？

6、小英读一本书，第一天读了全书的一半少15页，第二天读了余下的一半多10页，还剩下65页没有读。这本书一

共有多少页？

7、甲、乙两个鱼塘各有若干条鱼，如果从甲鱼塘捞出和乙鱼塘同样数量的鱼放入乙鱼塘；再从乙鱼塘捞出和甲鱼塘

剩下的同样数量的鱼放入甲鱼塘。这时，两个鱼塘数目都是76条。两个鱼塘原来各有多少条鱼？

8、三个篮子共装60个鸡蛋，王大妈从甲篮子里取出6个鸡蛋放入乙方篮子中，又从乙篮子中取出8个放入丙篮子中,

此时三个篮子里鸡蛋的数量正好相等。甲、乙、丙三个篮子里原来有多少个鸡蛋？

9、修路队修一条公路，第一天修了这段路的一半又50米，第二天修了剩下的一半又50米，第三天将剩下的100米

全部修完。这段公路全长多少米？

10、“老百姓”超市有A、B、C三箱糖果，一共120千克，售货员阿姨从C箱中取出与A箱同样多糖果放入A箱中；

再从A箱中取出与B箱同样多的糖果放入B箱；再从B箱中取出与C箱剩下的同样多的糖果放入C箱，此时三箱

糖果的重量相等。原来A、B、C三箱各有糖果多少千克？

II、某数加上6,乘6,减去6,除以6,其结果等于6,则这个数是多少？

12、科学家培育一种有益的菌种，每小时增长1倍，现有一批这样的细菌，10小时后达到100万个，当它们达到25

万个时，经历了多少时间？

13、中百超市出售一种VCD,上午售出总数的一半少10台，下午售出剩下的一般多20台，还剩95台，超市里原有

VCD多少台？

14、有一篮鸡蛋，甲取走一半多1个，乙取走余下的一半多1个，丙取走再余下的一半多1个，这时筐里只剩下1

个鸡蛋，这篮鸡蛋共值6元6角，间平均每个鸡蛋值多少钱？

15、求某数的4倍加8,一个学生错误地计算成某数先加8再乘4,结果得968,正确的计算结果是多少？

16、两个人轮流数数，每人每次可以数1个、2个或3个，但是不能不数也不能多数，例如第一个人数1,2,第二个

人接着