随机过程课件-马尔可夫链VIP

随机过程课件-马尔可夫链马尔可夫链简介马尔可夫链的性质马尔可夫链的转移概率马尔可夫链的收敛性马尔可夫链的模拟与实现马尔可夫链的扩展与改进contents目录01马尔可夫链简介定义马尔可夫链是一种随机过程，其中下一个状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。特性马尔可夫链具有无记忆性，即未来状态与过去状态独立，只与当前状态有关。此外，马尔可夫链还具有状态空间有限或可数、转移概率矩阵一致等特性。定义与特性用于词性标注、句法分析等任务。自然语言处理用于分类、聚类、强化学习等任务。机器学习用于股票价格预测、风险评估等任务。金融用于基因序列分析、蛋白质结构预测等任务。生物信息学马尔可夫链的应用领域描述马尔可夫链可能处于的状态的集合。状态空间描述从当前状态转移到下一个状态的相对概率。转移概率描述在马尔可夫链达到稳态后，各个状态被访问的概率。平稳分布描述马尔可夫链从任意状态出发，经过有限步后能够到达任意其他状态的性质。遍历性马尔可夫链的数学模型02马尔可夫链的性质马尔可夫链的状态集合是有限的，每个状态都有明确的概率转移。有限状态空间状态空间是可数的，即存在一个自然数集合作为状态集合，通常用于离散时间的马尔可夫链。可数状态空间状态空间是连续的实数集合，通常用于描述连续时间的马尔可夫过程。连续状态空间状态空间的分类不可约性不可约性是指马尔可夫链的状态转移图是一个不可约图，即从任意状态出发，经过有限步可以到达任意其他状态。不可约性是马尔可夫链具有唯一平稳分布的必要条件。周期性是指马尔可夫链的状态转移具有一定的周期性，即存在一个正整数d，使得从任意状态出发，经过d步后又回到该状态。周期性会影响马尔可夫链的平稳分布的性质和计算。周期性状态空间的分解是将状态空间划分为若干个子集，每个子集内的状态具有相似的性质和转移概率。通过状态空间的分解，可以简化马尔可夫链的分析和计算，同时有助于理解和描述马尔可夫链的行为。状态空间的分解遍历性是指马尔可夫链的状态转移图是一个遍历图，即从任意状态出发，经过无数步后，最终会以概率1到达目标状态。遍历性是马尔可夫链达到平稳分布的必要条件之一，也是判断马尔可夫链是否具有唯一平稳分布的重要依据。遍历性03马尔可夫链的转移概率转移概率的定义与性质马尔可夫链中，给定当前状态$i$，未来状态$j$在某个时间步长内发生的概率称为转移概率，记作$P(i,j)$。定义转移概率具有非负性、归一性和时齐性。非负性指$P(i,j)geq0$；归一性指对于每个状态$i$，所有可能转移到该状态的转移概率之和为1，即$sum_{j}P(i,j)=1$；时齐性指对于任意状态$i,j$和任意时间步长$n$，转移概率都相同，即$P(i,j)=P(X_n=j|X_{n-1}=i)$。性质将所有状态对的转移概率排列成的矩阵称为转移概率矩阵，记作$P$。定义根据实际数据或实验结果，统计从一个状态转移到另一个状态的事件数，然后除以初始状态的事件数，得到转移概率。例如，若初始状态为$A$的事件数为100，其中有30个事件转移到状态$B$，则$P(A,B)=frac{30}{100}=0.3$。计算方法转移概率矩阵的计算描述马尔可夫链初始时刻各个状态的概率分布。通常表示为向量$pi$，其中$pi_i$表示初始时刻处于状态$i$的概率。在马尔可夫链的长期运行中，各个状态出现的概率分布称为平稳分布。若转移概率矩阵为$P$，则平稳分布向量$pi$满足$piP=pi$。初始分布与平稳分布平稳分布初始分布04马尔可夫链的收敛性

极限分布的概念极限分布定义当马尔可夫链的状态转移次数趋于无穷时，链中各个状态出现的相对频率趋于一个稳定的状态分布，这个稳定的状态分布称为极限分布。存在性对于某些特定的马尔可夫链，其极限分布可能不存在。唯一性对于具有有限状态空间的马尔可夫链，其极限分布通常是唯一的。对于具有有限状态空间的马尔可夫链，可以通过直接计算每个状态的相对频率来得到极限分布。直接计算迭代法概率生成函数法对于某些马尔可夫链，可以通过迭代状态转移矩阵来逼近极限分布。通过计算概率生成函数的根来求解极限分布。030201极限分布的计算收敛定理定理一对于具有有限状态空间的马尔可夫链，其极限分布存在且唯一。定理二对于不可约的马尔可夫链，其极限分布是遍历的，即极限分布与初始状态无关。05马尔可夫链的模拟与实现VS使用数学公式和种子值生成一系列近似随机的数列。真随机数生成器利用物理现象（如电路噪音）产生真正的随机数。伪随机数生成器随机数生成通过多次重复模拟马尔可夫链的路径来估计某个事件的概率或某个参数的值。随着模拟次数的增加，估计值逐渐接近真实值。采样分布收敛性马尔可夫链蒙特卡洛方法决策树将马尔可夫链应用于决策分析中，帮助决策者评估不同策略的风险和收益。要点一要点二强化学习在强化学习中，马尔可夫链用于描述环境状态转移和奖励函数。马尔可夫链在决策分析中的应用06马尔可夫链的扩展与改进时齐马尔可夫链是指时间参数为离散的马尔可夫链，其状态转移概率不随时间而变化。定义时齐马尔可夫链具有时间一致性，即在不同时刻的转移概率相同。特点时齐马尔可夫链广泛应用于排队论、可靠性理论和统计学等领域。应用时齐马尔可夫链特点非齐次马尔可夫链的状态转移概率与时间有关，因此具有时间依赖性。应用非齐次马尔可夫链在物理学、化学和生物学等领域有广泛应用，如放射性衰变、化学反应和生态种群动态等模型。定义非齐次马尔可夫链是指时间参数为连续的马尔可夫链，其状态转移概率随时间而变化。非齐次马尔可夫链123时齐马尔可夫链和非齐次马尔可夫链各有其优缺点，选择哪种模型取决于具体问题的特性