同济大学概率论与数理统计

同济大学概率论与数理统计汇报人：AA2024-01-19目录课程介绍与教学目标概率论基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布数理统计基础参数估计方法论述假设检验原理及应用举例方差分析与回归分析初步了解CONTENTS01课程介绍与教学目标CHAPTER概率论与数理统计是数学的一个重要分支，它研究随机现象的数学规律，为各领域的科学研究提供有效的数学工具。通过学习概率论与数理统计，可以培养学生的逻辑思维能力和数据分析能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。在现代社会中，概率论与数理统计的应用越来越广泛，涉及到金融、医学、工程、计算机科学等众多领域。课程背景及重要性掌握概率论与数理统计的基本概念、基本理论和基本方法。能够运用所学知识分析和解决实际问题，具备一定的数学建模能力。培养学生的创新思维和实践能力，提高学生的数学素养和综合素质。教学目标与要求教材及参考书目教材《概率论与数理统计》（同济大学出版社）参考书目《概率论与数理统计教程》（高等教育出版社）、《概率论与数理统计学习指导》（清华大学出版社）等。02概率论基本概念CHAPTER123在一定条件下并不总是发生，也不总是不发生的现象。随机事件描述随机事件发生的可能性大小的数值，取值范围在0到1之间。概率等可能事件的概率计算，通过事件包含的基本事件个数与样本空间基本事件总数的比值来计算。古典概型随机事件与概率条件概率在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。事件的独立性两个事件相互独立，当且仅当其中一个事件的发生不影响另一个事件的发生概率。乘法公式计算两个事件同时发生的概率，即条件概率与无条件概率的乘积。条件概率与独立性如果事件B1、B2、...、Bn构成一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为全集；并且P(Bi)大于0，则对任一事件A有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)。全概率公式描述了两个条件概率之间的关系，也称为逆概率公式。在已知某些条件下，某一事件发生的概率，以及这些条件本身发生的概率时，可以计算得到在这些条件下该事件发生的概率。贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式03随机变量及其分布CHAPTER随机变量定义随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。随机变量分类根据取值的不同，随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量。随机变量定义及分类离散型随机变量取值可数的随机变量称为离散型随机变量。分布律离散型随机变量的分布律可用概率质量函数来描述，它给出了随机变量取各个值的概率。常见离散型随机变量分布二项分布、泊松分布、几何分布等。离散型随机变量及其分布律030201概率密度函数连续型随机变量的概率分布可用概率密度函数来描述，它在某个区间内的积分给出了随机变量落在这个区间内的概率。常见连续型随机变量分布正态分布、均匀分布、指数分布等。连续型随机变量取值充满某个区间的随机变量称为连续型随机变量。连续型随机变量及其概率密度函数04多维随机变量及其分布CHAPTER描述二维随机变量在某一取值范围内的概率累积情况。联合分布函数刻画二维随机变量在某一取值点的概率分布情况。联合概率密度函数针对离散型二维随机变量，给出所有可能取值的概率。联合分布律二维随机变量联合分布边缘分布函数边缘分布与条件分布通过联合分布函数，可以得到二维随机变量中任一变量的分布函数，即边缘分布函数。边缘概率密度函数由联合概率密度函数对另一变量积分得到，描述某一变量的概率分布情况。在已知二维随机变量中某一变量的取值时，另一变量的分布情况。条件分布03相关系数计算利用样本数据计算相关系数，进而判断二维随机变量之间的相关程度。01独立性检验通过检验二维随机变量的联合分布是否等于其边缘分布的乘积，来判断两个随机变量是否独立。02相关性分析研究二维随机变量之间的线性相关程度，通过相关系数进行量化分析。独立性检验和相关性分析05数理统计基础CHAPTER总体研究对象的全体个体组成的集合，具有共同的性质。样本从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体性质。个体组成总体的每一个基本单位。总体与样本概念引入统计量样本的函数，用于描述样本特征。统计量的性质无偏性、有效性、一致性等。常用统计量样本均值、样本方差、样本标准差、样本矩等。统计量及其性质卡方分布用于描述正态总体的样本方差的分布，常用于假设检验和置信区间的构建。t分布用于描述正态总体样本均值的分布，当总体标准差未知时，可用于假设检验和置信区间的构建。F分布用于比较两个正态总体的方差是否相等，常用于方差分析。三大抽样分布介绍06参数估计方法论述CHAPTER矩估计法用样本矩作为总体矩的估计量，适用于总体分布形式已知但参数未知的情况。最大似然估计法根据样本观测值出现的概率最大原则来估计总体参数，适用于总体分布形式已知且样本量较大的情况。最小二乘法通过最小化误差平方和来估计参数，常用于线性回归模型的参数估计。点估计方法论述容忍区间法在给定置信水平下，构造一个包含总体参数的区间，使得该区间长度最短。预测区间法利用样本数据对未来观测值进行预测，并给出预测值的置信区间。置信区间法利用样本数据构造一个包含总体参数的区间，并给出该区间包含总体参数的可信程度。区间估计方法论述评价估计量好坏标准无偏性估计量的数学期望等于被估计的总体参数，即估计量在多次重复抽样下的平均值等于总体参数真值。有效性对于同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。一致性随着样本量的增加，估计量的值逐渐接近总体参数的真值。充分性如果样本中包含关于总体参数的全部信息，则称该样本是充分的。一个好的估计量应该充分利用样本中的信息。07假设检验原理及应用举例CHAPTER010203原假设与备择假设在假设检验中，原假设（$H_0$）通常表示总体参数等于某个特定值或属于某个特定范围，而备择假设（$H_1$）则表示总体参数不等于该特定值或不属于该特定范围。检验统计量与拒绝域检验统计量是根据样本数据计算出的一个统计量，用于判断原假设是否成立。拒绝域是在原假设下，检验统计量取值的极端区域，如果检验统计量的观测值落入拒绝域，则拒绝原假设。显著性水平与P值显著性水平（$alpha$）是事先设定的一个概率值，表示在原假设成立的情况下，错误地拒绝原假设的概率。P值是在原假设下，检验统计量取值比观测值更极端的概率，如果P值小于显著性水平，则拒绝原假设。假设检验基本原理单侧检验和双侧检验实施步骤单侧检验02确定原假设和备择假设，选择合适的检验统计量。03根据显著性水平和样本数据计算检验统计量的观测值和对应的P值。01单侧检验和双侧检验实施步骤单侧检验和双侧检验实施步骤01双侧检验02确定原假设和备择假设，选择合适的检验统计量。03根据显著性水平和样本数据计算检验统计量的观测值和对应的P值。04将P值与显著性水平进行比较，如果P值的两倍小于显著性水平，则拒绝原假设。第一类错误第二类错误两类错误的关系假设检验中两类错误分析拒真错误，即原假设为真时错误地拒绝了原假设。犯第一类错误的概率等于显著性水平$alpha$。取伪错误，即原假设为假时未能拒绝原假设。犯第二类错误的概率用$beta$表示，与样本量、总体分布和显著性水平等因素有关。在样本量固定的情况下，减小犯第一类错误的概率$alpha$会导致犯第二类错误的概率$beta$增大；反之亦然。因此，在实际应用中需要在两类错误之间进行权衡和选择。08方差分析与回归分析初步了解CHAPTER0102方差分析思想方差分析是一种通过比较不同组别数据的方差来推断各因素对结果影响显著性的统计方法。它基于组内差异小、组间差异大的原则，通过计算F统计量进行假设检验。建立假设确定原假设和备择假设，通常原假设为各组均值相等。构造检验统计量计算各组数据的均值、方差和总方差，进而构造F统计量。确定显著性水平根据研究问题和实际情况选择合适的显著性水平，如0.05或0.01。作出决策将计算得到的F统计量与临界值进行比较，若大于临界值则拒绝原假设，认为不同组别对结果有显著影响。030405方差分析思想及实施步骤回归分析思想回归分析是一种研究自变量与因变量之间关系的统计方法。它通过建立数学模型来描述自变量对因变量的影响程度，并可用于预测和控制。根据研究目的和实际情况选择合适的自变量和因变量。根据自变量和因变量的关系，选择合适的回归模型，如线性回归、非线性回归等。利用最小二乘法等方法对模型参数进行估计，得到回归方程。对回归方程进行显著性检验、拟合优度检验等，以评估模型的可靠性和适用性。确定自变量和因变量参数估计模型检验建立回归模型回归分析思想及实施步骤假设条件不同方差分析要求各组数据服从正态分布且方差齐性，而回归分析则要求误差项服从正态分布且独立同分布。应用场景不同方差