中考数学全程演练第46课时 二次函数综合型问题

第46课时二次函数综合型问题(50分)一、选择题(每题10分，共10分)图46－11．[2015·嘉兴]如图46－1，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1交x轴于点A(a，0)和B(b，0)，交y轴于点C，抛物线的顶点为D.下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a＝－1，则b＝4；③抛物线上有两点P(x1，y1)和Q(x2，y2)若x1<1<x2且x1＋x2>2，则y1>y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长最小值为6eq\r(2).其中正确判断的序号是(C)图46－1A．① B．② C．③ D．④【解析】①根据二次函数所作象限，判断出y的符号；②根据A，B关于对称轴对称，求出b的值；③根据eq\f(x1＋x2,2)＞1，得到x1＜1＜x2，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出y1＞y2；④作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，连结D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．求出D，E，D′，E′的坐标即可解答．二、填空题(每题10分，共10分)图46－22．[2015·衢州]如图46－2，已知直线y＝－eq\f(3,4)x＋3分别交x轴，y轴于点A，B，P是抛物线y＝－eq\f(1,2)x2＋2x＋5上一个动点，其横坐标是a，过点P且平行y轴的直线交直线y＝－eq\f(3,4)x＋3于点Q，则PQ＝BQ时，a的值是__4，－1，4＋2eq\r(5)或4－2eq\r(5)__.图46－2【解析】P点横坐标为a，因为P点在抛物线y＝－eq\f(1,2)x2＋2x＋5上，所以P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，－\f(1,2)a2＋2a＋5))，又PQ∥y轴，且Q点在函数y＝－eq\f(3,4)x＋3上，所以点Q坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，－\f(3,4)a＋3))，B点坐标为(0，3)，根据平面内两点间的距离公式，可得PQ＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a2＋\f(11,4)a＋2))\s\up12(2))，BQ＝eq\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)a))\s\up12(2))，根据题意，PQ＝BQ，所以eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a2＋\f(11,4)a＋2))\s\up12(2))＝eq\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)a))\s\up12(2))，解得a的值分别为－1，4，4＋2eq\r(5)或4－2eq\r(5).三、解答题(共30分)3．(15分)[2014·内江改编]如图46－3，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，C(0，4)，点B在抛物线上，CB∥x轴．且AB平分∠CAO.(1)求抛物线的解析式；(2)线段AB上有一动点P，过P作y轴的平行线，交拋物线于点Q，求线段PQ的最大值．图46－3解：(1)A(－3，0)，C(0，4)，图46－3∴AC＝5，∵AB平分∠CAO，∴∠CAB＝∠BAO，∵CB∥x轴，∴∠CBA＝∠BAO，∴∠CAB＝∠CBA，∴AC＝BC＝5，∴B(5，4)，A(－3，0)，C(0，4)，B(5，4)代入y＝ax2＋bx＋c得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝9a－3b＋c，,4＝c，,4＝25a＋5b＋c，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,6)，,b＝\f(5,6)，,c＝4.))所以y＝－eq\f(1,6)x2＋eq\f(5,6)x＋4；第3题答图(2)设AB的解析式为y＝kx＋b，把A(－3，0)，B(5，4)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝－3k＋b，,4＝5k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,b＝\f(3,2)，))第3题答图∴直线AB的解析式为y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)；可设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(1,2)x＋\f(3,2)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，－\f(1,6)x2＋\f(5,6)x＋4))，则PQ＝－eq\f(1,6)x2＋eq\f(5,6)x＋4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(3,2)))＝－eq\f(1,6)(x－1)2＋eq\f(8,3)，当x＝1时，PQ最大，且最大值为eq\f(8,3).4．(15分)[2015·福州改编]如图46－4，抛物线y＝x2－4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y＝x＋m与对称轴交于点Q.(1)这条抛物线的对称轴是__x＝2__；直线PQ与x轴所夹锐角的度数是__45°__；(2)若两个三角形面积满足S△POQ＝eq\f(1,3)S△PAQ，求m的值．解：(2)设直线PQ交x轴于点B，分别过点O，A作PQ的垂线，垂足分别为E，F.当点B在OA的延长线上时，显然S△POQ＝eq\f(1,3)S△PAQ不成立．①如答图①所示，当点B落在线段OA上时，eq\f(S△POQ,S△PAQ)＝eq\f(OE,AF)＝eq\f(1,3)，图46－4由△OBE∽△ABF，得eq\f(OB,AB)＝eq\f(OE,AF)＝eq\f(1,3)，图46－4∴AB＝3OB.∴OB＝eq\f(1,4)OA.由y＝x2－4x得点A(4，0)，∴OB＝1，∴B(1，0)．第4题答图①∴1＋m＝0，∴m第4题答图①②如答图②所示，当点B落在线段AO的延长线上时，eq\f(S△POQ,S△PAQ)＝eq\f(OE,AF)＝eq\f(1,3)，由△OBE∽△ABF，得eq\f(OB,AB)＝eq\f(OE,AF)＝eq\f(1,3)，∴AB＝3OB.∴OB＝eq\f(1,2)OA.第4题答图②由y＝x2－4x得点A(4，0)第4题答图②∴OB＝2，∴B(－2，0)．∴－2＋m＝0，∴m＝2.综上所述，当m＝－1或2时，S△POQ＝eq\f(1,3)S△PAQ.(30分)图46－55．(15分)[2015·株洲]如图46－5，已知抛物线的表达式为y＝－x2＋6x＋c.图46－5(1)若抛物线与x轴有交点，求c的取值范围；(2)设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，若xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝26，求c的值；(3)若P，Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA，QB都垂直于x轴，垂足分别为A，B，且△OPA与△OQB全等，求证：c>－eq\f(21,4).解：(1)∵y＝－x2＋6x＋c与x轴有交点，∴－x2＋6x＋c＝0有实数根，∴b2－4ac≥0，即62－4×(－1)×c≥0，解得c≥－9；(2)∵－x2＋6x＋c＝0有解，且xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝26，∴c≥－9，(x1＋x2)2－2x1x2＝26，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,－1)))eq\s\up12(2)－2×eq\f(c,－1)＝26，解得c＝－5；(3)设P的坐标为(m，n)，则Q点坐标为(n，m)，且m>0，n>0，m≠n，将这两个点的坐标代入方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－m2＋6m＋c＝n，①,－n2＋6n＋c＝m，②))①－②得n2－m2＋7(m－n)＝0，(m－n)(m＋n－7)＝0，∴m＋n＝7，∴n＝7－m，代入方程①得，－m2＋7m＋(c－7)＝0，∵存在这样的点，∴以上方程有解，∴72－4×(－1)×(c－7)≥0，解得c≥－eq\f(21,4)，而当c＝－eq\f(21,4)时，m＝eq\f(7,2)，此时n＝eq\f(7,2)，故c>－eq\f(21,4).图46－66．(15分)[2015·温州]如图46－6抛物线y＝－x2＋6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B，过点C(2，0)作射线CD交MB于点D(D在x轴上方)，OE∥CD交MB于点E，EF∥x轴交CD的延长线于点F，作直线MF.图46－6(1)求点A，M的坐标；(2)当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？(3)当BD＝1时，①求直线MF的解析式，并判断点A是否落在该直线上；②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S1，S2，S3，则S1∶S2∶S3＝__3∶4∶8__.解：(1)令y＝0，则－x2＋6x＝0，解得x1＝0，x2＝6，∴A(6，0)，∴对称轴是直线x＝3，∴M(3，9)；(2)∵OE∥CF，OC∥EF，C(2，0)，∴EF＝OC＝2，∴BC＝1，∴点F的横坐标为5，∵点F落在抛物线y＝－x2＋6x上，∴F(5，5)，BE＝5.∵eq\f(BD,DE)＝eq\f(CB,OC)＝eq\f(1,2)，∴DE＝2BD，∴BE＝3BD，∴BD＝eq\f(5,3)；(3)①当BD＝1时，BE＝3，∴F(5，3)．第6题答图设MF的解析式为y＝kx＋b，将M(3，9)，F(5，3)代入，第6题答图得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9＝3k＋b，,3＝5k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－3，,b＝18，))∴y＝－3x＋18.∵当x＝6时，y＝－3×6＋18＝0，∴点A落在直线MF上；②∵BD＝1，BC＝1，∴△BDC为等腰直角三角形，∴△OBE为等腰直角三角形，∴CD＝eq\r(2)，CF＝OE＝3eq\r(2)，∴DP＝eq\f(1,2)eq\r(2)，PF＝eq\f(3,2)eq\r(2)，根据MF及OE的解析式求得点G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，\f(9,2)))，作GN⊥EF交EF于点N，则EN＝GN＝eq\f(3,2)，所以EG＝eq\f(3,2)eq\r(2)，S△FPG，S梯形DEGP，S梯形OCDE的高相等，所以三者面积比等于底之比，故S△FPG∶S梯形DEGP∶S梯形OCDE＝PF∶(DP＋EG)∶(DC＋OE)＝eq\f(3,2)eq\r(2)∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(3,2)))eq\r(2)∶(3＋1)eq\r(2)＝eq\f(3,2)∶2∶4＝3∶4∶8.(20分)7．(20分)[2015·成都]如图46－7，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.图46－7备用图(1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k，b用含a的式子表示)；(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为eq\f(5,4)，求a的值；(3)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．解：(1)令ax2－2ax－3a＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A点坐标为(－1，0)；∵直线l经过点A，∴0＝－k＋b，b＝k，∴y＝kx＋k，令ax2－2ax－3a＝kx＋k，即ax2－(2a＋k)x－3a－k＝0，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴－3－eq\f(k,a)＝－1×4，∴k＝a，∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a；(2)如答图①，过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E(x，ax2－2ax－3a)，则F(x，ax＋a)，EF＝ax2－2ax－3a－(ax＋a)＝ax2－3ax－4a，第7题答图①S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝eq\f(1,2)(ax2－3ax－4a)(x＋1)－eq\f(1,2)(ax2－3ax－4a)x＝eq\f(1,2)(ax2－3ax－4a)＝eq\f(1,2)aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(25,8)a，第7题答图①∴△ACE的面积的最大值为－eq\f(25,8)a.∵△ACE的面积的最大值为eq\f(5,4)，∴－eq\f(25,8)a＝eq\f(5,4)，解得a＝－eq\f(2,5)；(3)令ax2－2ax－3a＝ax＋a，即ax2－3ax－4a＝