中考数学全程演练第35课时 解直角三角形

第35课时解直角三角形(60分)图35－1一、选择题(每题6分，共24分)图35－11．[2015·长沙]如图35－1，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30m的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为 (C)A.eq\f(30,tanα)m B．30sinαmC．30tanαm D．30cosαm图35－22．[2015·南充]如图35－2，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是 (C)图35－2A．2海里 B．2sin55°海里C．2cos55°海里 D．2tan55°海里【解析】根据余弦函数定义“cosA＝eq\f(AB,PA)”得AB＝PA×cosA＝2cos55°.故选C.图35－33．[2015·济宁]如图35－3，斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝3eq\r(5)m，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB＝10m，则旗杆BC的高度为 (A)图35－3A．5m B．6m C．8mD．(3＋eq\r(5))m【解析】设CD＝x，则AD＝2x，由勾股定理可得，AC＝eq\r(5)x，∵AC＝3eq\r(5)m，∴eq\r(5)x＝3eq\r(5)，∴x＝3m，∴CD＝3m，∴AD＝2×3＝6m，在Rt△ABD中，BD＝8m，∴BC＝8－3＝5m.图35－44．[2015·衡阳]如图35－4，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100m到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB(单位：m)为 (C)图35－4A．50eq\r(3) B．51C．50eq\r(3)＋1 D．101【解析】由矩形CDFE，得DF＝CE＝100m，由矩形EFBG，得CD＝GB＝1m，因为∠ACE＝30°，∠AEG＝60°，所以∠CAE＝30°，所以CE＝AE＝100m．在Rt△AEG中，AG＝sin60°·AE＝eq\f(\r(3),2)×100＝50eq\r(3)m，所以AB＝50eq\r(3)＋1.故选C.二、填空题(每题6分，共18分)图35－5SEQ图表\*ARABIC15．[2015·邵阳]如图35－5，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2000m，则他实际上升了__1__图35－5SEQ图表\*ARABIC1第5题答图【解析】图35－5过点B作BC⊥水平面于点C，第5题答图在Rt△ABC中，∵AB＝2000m，∠A＝30°，∴BC＝AB·sin30°＝2000×eq\f(1,2)＝1000(m)．图35－66．[2015·宁波]如图35－6，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是__9＋3eq\r(3)__m．(结果保留根号)图35－6【解析】在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝eq\f(AD,CD)，∴tan30°＝eq\f(AD,9)，∴AD＝3eq\r(3)m，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝9m，∴AB＝AD＋BD＝3eq\r(3)＋9(m)．图35－77．[2015·潍坊]观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图35－7，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房高AB约是45m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是__135__m.图35－7【解析】∵爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，∴∠ADB＝30°，在Rt△ABD中，tan30°＝eq\f(AB,AD)，∴eq\f(45,AD)＝eq\f(\r(3),3)，∴AD＝45eq\r(3)，∵在楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，∴在Rt△ACD中，CD＝AD·tan60°＝45eq\r(3)×eq\r(3)＝135(m)．三、解答题(共20分)8．(10分)[2015·台州]如图35－8，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知枕头上的点A到调节器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直．现调节靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处．求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米？(结果取整数)(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)图35－8第8题答图解：如答图，过点A′作A′B⊥AO，交AO于B点，在Rt△A′BO中第8题答图cos35°＝eq\f(OB,OA′)，OB＝OA′·cos35°＝80×0.82＝65.6≈66，∴AB＝80－66＝14cm，答：降低了14cm.9．(10分)[2015·遂宁]如图35－9，一数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10m到点D，再次测得点A的仰角为30°，求树高．(结果精确到0.1m．参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)图35－9解：由题意，∠B＝90°，∠D＝30°，∠ACB＝45°，DC＝10m，设CB＝x，则AB＝x，DB＝eq\r(3)x，∵DC＝10m，∴eq\r(3)x＝x＋10，∴(eq\r(3)－1)x＝10，解得x＝eq\f(10,\r(3)－1)＝5eq\r(3)＋5≈5×1.732＋5≈13.7.答：树高为13.7m.(24分)10．(12分)[2015·成都]如图35－10，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．(参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)图35－10解：在直角△ADB中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，AB＝200m，∴BD＝eq\f(1,2)AB＝100m，在直角△CEB中，∵∠CEB＝90°，∠CBE＝42°，CB＝200m，∴CE＝BC·sin42°≈200×0.67＝134m，∴BD＋CE≈100＋134＝234m.答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234m.11．(12分)[2015·泰州]如图35－11，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i＝1∶2，顶部A处的高AC为4m，B，C在同一水平地面上．(1)求斜坡AB的水平宽度BC；(2)矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE＝2.5m，EF＝2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF＝3.5m时，求点D离地面的高．(参考数据：eq\r(5)≈2.236，结果精确到0.1m)图35－11第11题答图解：(1)∵坡度为i＝1∶2，AC＝4m，第11题答图∴BC＝4×2＝8m；(2)作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H.∵∠DGH＝∠BSH，∠DHG＝∠BHS，∴∠GDH＝∠SBH，∴eq\f(GH,GD)＝eq\f(1,2)，∵DG＝EF＝2m，∴GH＝1m，∴DH＝eq\r(5)m，BH＝BF＋FH＝3.5＋(2.5－1)＝5m，设HS＝xm，则BS＝2xm，∴x2＋(2x)2＝52，∴x＝eq\r(5)m，∴DS＝eq\r(5)＋eq\r(5)＝2eq\r(5)≈4.5m.∴点D离地面的高为4.5m.(14分)图35－1212．(14分)[2014·泸州]如图35－12，海中有两个灯塔A，B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继图35－12续向东航行30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A，B间的距离．(计算结果用根号表示，不取近似值)第12题答图解：如答图，作CE⊥AB于点E，AF⊥CD于点F，第12题答图∴∠AFC＝∠AEC＝90°.∵∠FCE＝90°，∠ACE＝45°，∴四边形AFCE是正方形．设AF＝FC＝CE＝AE＝x，则FD＝x＋30，∵tanD＝eq\f(AF,FD)，∠AFD＝90°，∠D＝30°，∴eq\f(\r(3),3)＝eq\f(x,x＋30)，解得x＝15eq\r(3)＋