上海市上海大学附属嘉定高级中学2023届高三年级上册学期期中数学试题

上大嘉高2022学年第一学期期中质量监测

高三年级数学学科试卷

2022年11月

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题填对得4分，否则一律

得零分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分.）

1.若集合，{幻x+1一"，"HxlBx-kz},则=.

【答案】{x|14x<|}

【解析】

【分析】分别求解集合A8,再根据交集运算即可.

[详解]解：4=卜|"?0卜3》<_1或MD，8={x||2x_l|<2}={x|_；<x<4

则4cB=卜11Vx<1}.

故答案为：{x|l<x<|}.

2.若log|22=a,用。表示logp3=.

【答案】l-2a##-2a+l

【解析】

【分析1根据log12（3X4）=logI23+210gl22=1求解即可.

【详解】解：因为log|212=log|2（3x4）=logI23+log]24=log123+log|222=logl23+21og122=l,

^fUllogl23=l-21og122=l-2a

故答案为：1一2a

[28

3.在一ABC中，已知cosA=—,cosB=—，则cosC=.

1317

21

「答案1———

221

【解析】

【分析】根据余弦，求出正弦，结合诱导公式，余弦的和角公式进行计算.

【详解】中，A+B+C^TC,故AB,CA（O,兀）,

]28I_______5/15

因为cosA=—,cosB=一，所以sinA=Jl-cos?A=—,sinB=Jl-cos?B

13171317

所以cosC=cos(7i-A-8)=-cos(4+8)=sinAsin8-cosAcosB

51512821

—X------------X—=----------

21

故答案为:

221

IsinxIcosx八

4.若品7+由=°,则X是—象限角.

【答案】第二或第四

【解析】

【分析】由题目条件判断出sinx,cosx符号，后结合sinx,cosx定义可得答案.

|sinx|cosx八

【详解】因」~!+:------;=。，故sinx,cosx异号.

sin尤|cosx|

又设角x终边与单位圆交于（人〃），则sinx=〃,cosx=加.

当sinx<Ocosx>0时,即九<0,加>0,此时（也冷在第四象限,即s为第四象限角.

当sinx>0,cosx<0时，即〃>0,机<0,此时（根,〃）在第二象限，即x为第二象限角.

故答案为：第二或第四

Y2-4-2x+4

5.若x>0,则%十&的取值范围是.

X

【答案】［6,”）

【解析】

r2+2x4-44/4

【分析】利用基本不等式的性质，可得尢十/*十一=x+4+222jx・？+2=6,取等条件也符合即可得

XXX

解.

【详解】由x>0可得:

X2+2X+44/4.人

-------------=xH-----—F2=6»

XXX

4

当且仅当工=一时，即x=2时取等,

x

故答案为：［6,+8）.

6.已知不等式仅一刑＜1成立的充分不必要条件是二＜x＜1,则根的取值范围是

32

_14

【答案】［-不力

23

【解析】

【分析】先求出不等式的解集8,又设A={x［g＜x＜；},则A是B的真子集，再求得加的取值范围.

详解】由不等式以一〃?|＜1,得一1+m＜彳＜〃2+1,即其解集3={犬|-1+根VXV/72+1},

又设A={x|；＜x＜；},由已知知A是8的真子集，

-1+771＜—

314

得「（等号不同时成立），得一一＜m＜-.

「、123

/n+1＞—

2

14

故答案为：［—，一］

23

【点睛】本题考查了不等式的解法，考查了将充分不必要条件转化为集合的包含关系，属于基础题.

7.设xeR,求方程|x—2|+|2x-3|=|3x-5|的解集.

【答案】b8；［2,+8）

【解析】

【分析】

分四种情况去绝对值求解即可.

【详解】当xWg时，原方程化为：（2-x）+（3—2x）=5—3x,

即5—3x=5—3x,

3

故此时xW-；

2

3s

当■时，原方程化为：（2—x）+（2x—3）=5—3x,

即％-1=5-3%,

故此时x=3,与矛盾，舍掉；

223

当x＜2时，原方程化为：（2-x）+（2x-3）=3x-5,

即x-l=3x-5,

解得x=2,与24x<2矛盾，舍掉；

3

当尤22时，原方程化为：(x-2)+(2x-3)=3x-5,

即3x—5=3x—5,

故此时x22；

综上所述：方程上一2|+|2%-3|=|3%-5|的解集为：｛8,'l,［2,+o>).

故答案为：l［2,+oo).

8.若函数y=a'(a>O,aHl)在区间［L2］上的最大值和最小值之和为6,则实数。=.

【答案】2

【解析】

【分析】

对a>1和0<。<1两种情况进行讨论，根据单调性得到最值，再根据条件列关系计算即可.

【详解】当。>1时，函数y=av在区间［L2］上是增函数，

所以X™x="2，ymin=a，由于最小值和最大值之和6,即：/+。=6，

解得：。=2或-3(负值舍去)；

当函数y=a”在区间［1,2］上是减函数，

所以乂a=。，人>,=〃，由于最小值和最大值之和6,即：。2+々=6，

解得：〃=2或-3,而0<a<1,故都舍去.

故答案为：2.

【点睛】利用指数函数单调性研究最值时，要注意对底数a>l和两种情况分类讨论，这是本题的

易错点.

9.设函数y=/(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=\gx,则满足/(x)»0的X取值范围是

【答案】［―

【解析】

【分析】根据奇函数的性质求得f(x)的解析式，分别解不等式即可得解.

【详解】当x>0时，/(x)=lgxNO,解得x2l,

当x=0时，/(。)=0,

当x<0时，f(x)=-/(-%)=-lg(-%)>0,

解得0<—xWl,-1<x<0.

故x取值范围是[—l,()]u[l,+s),

故答案为：[—l,0]u[l,+8).

10.设/(力是R上的奇函数，且〃x+3)=—〃x),当04x41时，〃X)=X,贝4/(22)=

【答案】-1

【解析】

【分析】推导出函数/(x)为周期函数，且周期为6,利用函数/(力的周期性和奇偶性可求得."22)的值.

【详解】由题意可得/(x+6)=—/(x+3)=/(x),所以，函数/(力为周期函数，且周期为6,

所以，〃22)=〃3x6+4)=/(4)=—〃l)=T.

故答案为：-1.

11.若函数/(x)=mx2+x+l在[—1,0)上有零点，则实数机的取值范围是.

【答案】(-8,0]

【解析】

【分析】首次按钮根据零点定义可得/。)=侬2+1+1=0在[-1,0)上有解，参变分离可得

/〃=——通过换元可得/=1€(—8,—1],由机=—『—f求范围即可得解.

XXX

【详解】由/(x)=m2+x+l=0,

得3加=—1-—1,

XX

得m=-t2-t，

所以加£(-8,0].

故答案为：(』,()]

kx+2,(x<0)

12.已知函数y=/(x),其中/(x)=,(keR),若方程I/(x)|+左=0有三个不同的实数根,

Inx,(x>0)

则实数后的取值范围

【答案】k<-2

【解析】

【分析】根据题意，讨论%>0,左<0与左=0时，y=|.f(x)的图像与y=­Z的的图像的交点问题，利

用数形结合，即可得到答案.

|Ax+2|,(x<0)

如图，攵>0,则=<(%>0)的图像如上，明显地,)=-攵与y=|/(x)|不可能有

|lnx|,(x>0)

交点，故上>0时不符题意;

|Ax+2|,(x<0)

如图，k<0,则必)卜(&<0)的图像如上,明显地,)=—%与y=|/(x)|有三个不

|lnx|,(x>0)

同交点时，必有一女之2,解得AW—2,

而人=0时，明显不符题意；

故答案为：k<—2

二、选择题(本大题共4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相

应编号上，填写正确答案，填对得5分，否则一律得零分.

13.已知陈述句a是4充分非必要条件.若集合满足a},N={x|无满足万}，则〃与N的关

系为()

A.MuNB.MnNC.M=ND.McN=0

【答案】A

【解析】

【分析】根据充要条件和集合的包含关系可得.

【详解】因为a是尸的充分非必要条件，所以a成立时〃一定成立

所以x满足a时，X—■定满足/，所以MuN,

又用成立时推不出a成立，即x满足〃时x不一定满足a,所以N不是M的子集.

故选：A

14.若函数/(x)=lnx—^+a在区间(l,e)上存在零点，则常数。的取值范围为()

x

1C1,,1,

A.0<a<IB.—<a<lC.---l<a<lD.—F1<<2<1

eee

【答案】C

【解析】

【分析】

先利用导数判断出函数/(X)在区间(1,6)上为增函数，再解不等式/(l)=lnl-l+avo,

/(e)=Ine-1+a>0,即得解.

e

【详解】由题得/'*)=4+4>0在区间(1,0)上恒成立，

XX

所以函数/(x)=lnx-'+a在区间(l,e)上为增函数，

所以/(l)=lnl-l+a<。，f(e)=lne--+a>Q,

e

可得

e

故选：C.

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

15.下列函数中，既是(0,+°。)上的增函数，又是偶函数的是().

A.y=-B.y=2xC.y=l-|x|D.y=lg|x|

x

【答案】D

【解析】

［分析］对选项的函数的单调性和奇偶性作判断.

【详解】对A奇函数；对B非奇非偶函数；对C：是偶函数，在(0,+8)是减函数.

故选：D

【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，属于容易题.

|x|+2,x<l

11x

16.已知函数/(%)=12.设。£氏，若关于x的不等式/(x)2|—+。|在R上恒成立，则。的取

x+—,x>12

值范围是

A.[-2,2]B.[-273,2]

C.[-2,2>/3]D.[-273,273]

【答案】A

【解析】

Y

【详解】满足题意时/(X)图象恒不在函数旷=-+«下方，

当。=26时，函数图象如图所示，排除CD选项；

当a=-2百时，函数图象如图所示，排除B选项,

本题选择A选项.

三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域

内写出必要的步骤.

17.(1)若〃为锐角，sine=«，,cos(a+/)=，求角/；

(2)如图，圆心在原点，半径为2的圆与x正半轴交于A点，P,。是圆上的两动点，它们同时从A点

TTTT

出发沿圆周作匀速运动，点P逆时针方向每秒转三，点。顺时针方向每秒转7，当它们出发后第2次相遇

【分析】(1)给值求角问题，结合同角三角函数的平方公式以及两角差的正弦公式求解即可得角/;

(2)根据题意确定P,Q一次相遇所需时间，则可知相遇两次后按逆时针旋转的P点走过的弧度，再利用三

角函数的定义确定相遇点的坐标即可.

【详解】解：（1）因为方为锐角，sina="，,cos（a+6）=一4

所以a+夕£(0,兀)，贝iJcosa=Jl-sin2a=y,sin(<2+^)=^/1-cos2(fz+/7)=~^~

所以sin/=sin[(a+/)一二]=sin(a+6)cosa—cos(a+〃)sina

因为乃为锐角，所以/?=;7T.

-rr-TT^rr<rr*rr________/［

（2）由于点P逆时针方向每秒转士，点。顺时针方向每秒转乙，=乙，即三一，

36362-

二第一次相遇时需要4秒，

它们出发后第2次相遇时需要8秒，则此时尸走过的弧度为二x8=—

33

（8兀8兀、

，此时该点的坐标为（rcos-y/sin?_J,其中半径1=2,

d8兀2兀1.8兀.2兀G

乂cos—=cos——=——,sin—=sm—=——，

332332

则当它们出发后第2次相遇时，该点坐标为（-1,6）.

18.（1）已知集合4=｛司上一4<2｝,8=｛司三总<1｝且4勺8,求实数”的取值范围；

（2）已知函数丁=竺担（常数aeZ）问：是否存在整数。，使该函数在区间口,+<，。）上是严格减函数，并

x+2

且函数值不恒为负？若存在，求出符合条件的“，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）［0,1］；（2）a=—l或a=0.

【解析】

【分析】（1）求解绝对值不等式与分式不等式可得集合AB,再根据集合的包含关系列不等式组求解。；

（2）利用分离常数法将函数丁=竺担化为y=a+f,由函数单调递减，根据反比例函数的性质可得

x+2x+2

l-2a>0,再将函数值不恒为负转化为/（行20在U,x。）上有解，从而得ar+120在口,48）上有解，即得

42-工在口,长。）上有解，求解得。的范围，再结合aeZ可求解出。值.

X

【详解】（1）求解|x-a|<2,得一2+a<x<2+a,

所以集合A={R-2+a<x<2+a},

2尤一1

求解-----<1,得—2<x<3,

x+2

所以集合8={乂-2<尤<3},

[-2+a>-2

因为所以〈..，解得

2+a<3

所以实数。的取值范围为［0」］.

以+1。（元+2）+1-2〃1—2。

（2）因为函数y=-----=--------------=a+-----

x+2x+2x+2

要使该函数在［1,+8)上是严格减函数，

由反比例函数的性质可得，1—2a>0,得a<‘.

2

要使函数值不恒为负，则〃x)±0在［1,+8)上有解，

即竺士120在［1,一)上有解，因为％+2>0,

x+2

只需ax+120,即a2—在［1,+°。)上有解，

x

解得ai—1,又。<一且aeZ,

2

所以a=-l或a=0

19.在AABC中，cos/!=-.

3

(1)求sir?'10+cos2A的值;

2

(2)若。=百，求be的最大值.

19

［答案】(1)—(2)—

94

【解析】

【分析】

(1)用降暴公式、二倍角公式、诱导公式化式子为cosA的代数式，再代入计算；

(2)用余弦定理建立关系，用基本不等式求得最大值.

【详解】解：(1)sin2——FCOS2A=-^［1-COS(B+C)1+(2COS2A-l)=^(l+cosA)+2cos2A-l.

=—I—x—F2X——1=—

323⑶9

(2)由余弦定理，得cosA=,

2bc

又cosA=L••竺^二82+-a2..一片

33

,32

:.bc,,—a

4

又。=瓜:・bc、,-

4

39

当且仅当匕=c=—时;be--,

24

9

故be,的最大值为一.

4

【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式，考查余弦定理及基本不等式.难度不大.属于中档题.

20.已知函数/(x)=2'+晟.

(1)若/(。)=7,解关于x的方程/(x)=5；

(2)讨论f(x)的奇偶性，并说明理由；

(3)若/(x)<3在xe[l,3]上恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)x=l或％=log23

(2)当。=一1时，/5)为奇函数；当。=1时，J"。)为偶函数；当aw±l时，函数/⑴为非奇非偶函数;

(3)“JO

【解析】

【分析】(1)由题意/(0)=7,代入即可求解；

(2)要判断函数的奇偶性，只有检验/(-x)与f(x)的关系即可；

(3)根据原不等式，分离参数，构造函数求最小值，即可得实数”的取值范围.

【小问1详解】

解：由题意/(0)=l+a=7,

.'.a—6,/(x)--2'+—>

2

由2'+(=5可整理得：(2')2-5x2,+6=0,则可得2'=2或2'=3，

，x=l或％=匾3；

【小问2详解】

解：函数定义域R，

①当/5)为奇函数时，/(-x)=-/(%),

2-”+&=-(2*+色)，

2-vT

.•.(l+a)(2*+L)=0,

2・

a=-1；

②当/(X)为偶函数时，/(一x)=/(x),

2--v+—=(2V+—),

2T2，

a=1；

③当aw±l时，函数，a)为非奇非偶函数；

综上，当a=—1时，/*)为奇函数；当a=l时，/(x)为偶函数；当aH±l时，函数/“)为非奇非偶函数.

【小问3详解】

解：若/(幻<3在xe[l,3]上恒成立，则2"+£<3,整理得a<-(2。'+3x2*

令/=2"，由xe[l,3],则te[2,8],

(q、2q

又令〃⑺=—产+3仁一z--+-,re[2,8],所以妆。是fe[2,8]上的减函数

、2)4

所以如n⑺=〃⑻=-82+3X8=T。

故实数a的取值范围为a<-40.

,1,

21.己知函数/(x)=耳厂+alnx.

(1)若a=2,求函数y=/(x)在x=l处的切线方程；

(2)若"=1,求函数y=/(x)在[l,e]上的最大值和最小值；

2

(3)若“=1,求证：在区间口,+8)上函数y=f(x)的图像在函数g(x)=§x3的下方.

【答案】(1)6x-2y-5=0

A

(2)、=/(犬)的最大值为一+1,最小值为1；