小学奥数题库《数论》因数和倍数-因数-2星题（含解析）

数论-因数和倍数-因数-2星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

因数C1、理解因数的定义少考

2、能够准确找出一个数的所有因

数。

知识提要

因数

・定义对于整数a和b,如果alb,我们就称a是b的因数。

精选例题

因数

1.算式1x2x3x…x10的结果中末尾有个连续的零.

【答案】2个

【分析】此题算式中，有10、5分别有1个因数5,共2个因数5；2、4、6、8、10共有8个因数

2.由于因数5的个数少于因数2的个数，只有2个，所以该算式结果末尾有2两个连续的零.

2.算式333x625x125x25x5x16x8x4x2的结果中末尾有个连续的零.

【答案】10

【分析】乘积末尾0的个数取决于乘数中因数2与因数5的搭配情况.该算式中，625、125、25、

5分别提供4、3、2、1个因数5,一共可以提供

4+3+24-1=10（个）;

16、8、4、2分别可以提供4、3、2、1个因数2,一共可以提供

4+3+2+1=10（个）.

10对因数5和因数2乘积产生10个零，所以该算式结果中有10个连续的零0.

3.两个相邻质数的和乘以它们的差得120,这样的质数有两组，它们分别是（，）和（，）.

【答案】31,29和17,13.

【分析】两个数的乘积是120,可以把120分成以下乘积

120=1x120

=2x60

=3x40

=4x30

=5x24

=6x20

=8x15

=lOx12,

而两个数的和与差的奇偶性是相同的，满足条件的只有2x60,4x30,6x20,10x12.相

应的，得到这两个数分别是31,29；17,13；13,7；11,1.

满足相邻质数这个条件的是前两组，31与29,17与13.

4.2016名同学排成一排，从左至右依次按照1,2,…，n报数⑺之2),假设第2016名同学

所报的数恰是九，那么给这轮中所有报九的同学发放一件新年礼物.那么无论几取何值，有名同

学将不可能得到新年礼物.

【答案】576

【分析】由题目条件可知，n12016,

2016=25x32x7

所以当n=2时，所有编号为2的倍数的同学均能拿到礼向，同理可得编号为3和7的倍数的同学

也能拿到礼物，因此只有编号与2016互质的同学拿不到礼物，小于2016且与2016互质的数的

个数为

111

2016x(l--)x(1--)x(1--)=576(个A).

5.算式2x16x24x5x25x125的计算结果的末尾有个连续的零.

【答案】6

【分析】此题算式中，125、25、5分别有3、2、1个因数5,共6个因数5；2、16、24共有8个

因数2.由于因数5只有6个，少于因数2的个数，所以该算式结果末尾有6个连续的零.算式中

有8个因数2,6个因数5,所以末尾有6个零.

6.4是乘积为2007的5个自然数之和，B是乘积为2007的4个自然数之和.那么4、B两数之差

的最大值是.

【答案】1781

【分析】

2007=1x1x3x3x223

=1x1x1x9x223

=1x1x1x3x669

=lxlxlxlx2007,

所以4的可能值是231或235或675或2011.又

2007=1X3x3X223

=1x1x9x223

=1x1x3x669

=1x1x1x2007,

所以B的可能值是230或234或674或2010,4、B两数之差的最大值为2011-230=1781.

7.大于0的自然数n是3的倍数，3n是5的倍数，那么n的最小值是.

【答案】15

【分析】因为3n是5的倍数，所以ri也是5的倍数，那么n是3和5的共同倍数，那么n最小为15.

8.如图，方格表中己经填入了9个数，其余20个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上

面方格中的数.比方a=5x10=50,b=50x12=600.那么c方格内所填的自然数的末尾

有个连续的0.

【答案】102

【分析】

含有102个2,106个5,所以末尾有102个0.

9.算式25x26x27x…x50的结果中末尾有个连续的零.

【答案】8个

【分析】此题算式中，30、35、40、45分别有1个因数5,25、50分别有2个因数5,共有8个

因数5；此题中含有偶数12个，那么至少含有12个因数2,很明显，因数5的个数少于因数2的

个数，只有8个，所以该算式结果末尾有8个连续的零.算式中有8个因数5(其中25、50分别

含有两个因数5),所以末尾有8个零.

【答案】1763664903

12.24有哪些约数？36有哪些约数？公共的约数有哪些？最大的是多少？

【答案】12

【分析】24的约数1,2,3,4,6,8,12,24；

36的约数1,2,3,4,6,9,12,18,36.

公共的约数为1,2,3,4,6,12.最大的为12.

13.一个自然数N共有9个约数，而N-1恰有8个约数.满足条件的自然数中，最小的和第二小

的分别是多少？

【答案】196；256

【分析】有9个约数的数可以表示为两种形式：或a?xb2.从小往大逐个尝试发现22x72=

196,195=3x5x13,有8个约数.28=256,255=3x5x17,有8个约数.因此最小的

和第二小的分别是196和256.

14.小高把62个奶糖和75个水果糖平均分给他的朋友们，最后剩下2个奶糖，3个水果糖.请问

小高把糖分给了多少个朋友？

【答案】4个、6个或12个

【分析】简答：分出去了60个奶糖和72个水糖果，那么朋友们的个数应该是60和72的公约数,

而且要比3大.所以只能是4个、6个或12个.

15.甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008.请问：满足上述条件的自然数有几组？

［答案］4

【分析】由题目条件得，

甲x甲一甲*乙=甲x(甲一乙)=2008,

将2008写成两个数乘积的形式，有如下几种：

2008=2008x1=1004x2=502x4=251x8.

因此满足条件的甲、乙数为(2008,2007)、(1004,1002),(502,498)、(251,243),共有4组.

16.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数，那么在这些两

位数的约数中，最大的是多少？

【答案】96

【分析】设这个数为4,有4=25x33x56x7,99=3x3x11,98=2x7x7,97均不是

A的约数，而96=25x3为4的约数，所以96为其最大的两位数约数.

17.111111111的第二大的约数是多少？

【答案】37037037

【分析】简答：mmiii第二小的约数为3,因此第二大的约数为11111111+3=

37037037.

18.有一个正整数，它加上100后是一个完全平方数，力口上168后也是一个完全平方数.请问：

这个正整数是多少？

【答案】156

【分析】设这个正整数为n,那么

n+100=b2,n+168=a2,

两式相减得

a2-b2=68,

而

a2-b2=(a+/?)x(a—b),

由于68=lx68=2x34=4x17,由此可得

［a+b=34,

(a—b=2,

解得

(a=18,

w=16,

所以n为156.

19.一个偶数恰有6个约数不是3的倍数，恰有8个约数不是5的倍数.请问：这个偶数是多少？

【答案］1350

【去析】一个偶数恰有6个约数不是3的倍数，满足条件的形式为2$X3X或ax02x3，，前一

种情况不可能满足“恰有8个约数不是5的倍数因此只能取axFx3x的形式，并且x只能等

于3,b只能等于5,再考虑偶数，那么a只能等于2,因此这个数为2x52x33=1350.

20.两个自然数的差为16,它们的最大公因数有几种可能？最大可能是多少？

［答案］5；16

【分析】「大公因数一定是16的因数,16共有5个因数，所以最大是16.

21.对四位数abed,假设存在质数p和正整数k,使axbxcxd=p",Ka+b+c+d=pp—

5,求这样的四位数的最小值，并说明理由。

【答案】1399

【分析】①范围分析：a+b+c+d&36=p=3=a+b+c+d=27-5=22；

②质因子分析：axbxcxd=3k=a、b、c、d为1、3、9…；

③极值突破：a=l,b=3,c=9,d=9=abed,最小是1399.

22.如图，依次排列的5个数是13,12,15,25,20.它们每相邻的两个数相乘得4个数.这4

个数每相邻的两个数相乘得3个数.这3个数每相邻的两个数相乘得2个数.这2个数相乘得1个

数.请问：最后这个数从个位起向左数.可以连续地数出几个零？

【答案】10

【分析】如下列图，我们在图中标出每个数含有质因数2、5的个数，除第一行外，每个数都是

上一行左、右上方两数的乘积，所以每个数含有质因数2、5的个数也都是上一行左、右上方两

数含有质因数2、5个数的和.

所以，最后一行的一个数含有10个质因数2,15个质因数5.

而一个数末尾含有连续0的个数决定于质因数2、5个数的最小值，所以最后一行的一个数末尾

含有10个连续的0.

23.n个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到2008.请问：n最小是多少？

【答案】502

【分析】由于2008=2008x1=1004x2=502x4=251x8.

如果这n个数的和为2008,平均数为1,那么n为2008.

如果这n个数的和为1004,平均数为2,那么n为502.

如果这n个数的和为502,平均数为4,那么这不可能.

如果这n个数的和为251,平均数为8,那么这不可能.

因此n最小是502.

24.假设干个连续自然数1,2,3…的乘积的末尾有13个0,这些自然数中最大是？

【答案】59

【分析】每个因数5,与偶数的乘积，会在末尾增加1个0,连续自然数，偶数足

够多，只需要考虑因数5的个数.末尾有13个0,那么就要有13个因数5,每5个连续自然数，

至少含有一个因数5,13x5=65,即1〜65中5的倍数有65+5=13个，25的倍数有25和50

这2个，一共有13+2=15个因数5,所以要去掉65和60,那么最大的一个自然数就是59.

25.把假设干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果这个乘积的最末十三位恰好都是零，那

么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？

【答案】55；59

【分析】乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对2和5乘积末尾就有

一个零.由于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数，而相邻5个数中才有一个5的倍数，所

以我们只要观察因数5的个数就可以了.

5=5x1,10=5x2,15=5x3,20=5x4,25=5x5,30=5x6,……，发现只有

25、50、75、100、……这样的数中才会出现多个因数5,乘到55时共出现11+2=13个因数

5,所以至少应当写到55,最多可以写到59.

26.把假设干个自然数1,2,3,…乘到一起，如果这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最

后出现的自然数最小应该是多少？

【答案】55

【分析】方法一：要求乘积的末十三位均是0,那么这个乘积至少含有13个质因数2,13个质

因数5.

连续的自然数中2的倍数的个数远大于5的倍数的个数.所以只用考虑质因数5的个数，有：

13x5=65,而1〜65中,25、50均含有2个质因数5.

所以只需连乘到(13-2)x5=55即可.也就是说1x2x3x…的积的末十三位均是0,那么

最后出现的自然数最小应是55.

方法二：我们分段考虑质因数5的出现的情况：

在1至9中，有5本身，出现1次因数5；

在10至19中，有10、15,出现2次因数5；

在20至29中，有20、25,由于25=5x5,5出现了2次，所以共出现3次因数5；

在30至39、40至49中，各出现2次5的因子，至此共出现了1+2+3+2+2=10次5的因子.

在50至59中，有50、55、50=2x5x5出现了两次5的次因子，所以这里共有3个5的因子.

所以到55为止，共出现13次5的因子，55为出现的最小自然数，使得2乘到它的结果中末尾有

13个0.

27.把自然数从1开始作连乘积，即：1X2X3X4X5X…当乘到40,乘积的末尾连续出现多

少个“0〃?

【答案】9

【分析】每个因数5,与偶数的乘积，会在末尾增加1个0,连续自然数，偶数足

够多，只需要考虑因数5的个数，1到40中有9个因数5,所以乘积的末尾有9个“0〃.

28.计算：

(1)37x()=666；37x()=888；

(2)8547x()=888888；8547x()=999999.

(3)12345679X()=999999999.

【答案】(1)18;24；(2)104;117；(3)81

【分析】(1〕观察算式发现一个因数是37,而积是重叠数.所以我们可以分析下面算式

37x3=111,

37x3x2=222,

37x3X3=333,

37x3x4=444,

37x3x5=555,

37x3x6=666»

37x3x7=777,

37x3x8=888；

(2)观察算式发现一个因数是8547,积是重置数，当然我们可以用积除以一个因数，该题是

有特点的，我们从下面的式子来分析.

8547x13=111111,

8547X13X2=222222,

8547x13x3=333333,

8547x13x4=444444.

不难发现8547乘以一个13是111111,乘以两个13是222222,乘以三个13是33333,…，乘以

八个13是888888,乘以九个13是999999,乘以几个13就是市inmm.(九是1至9的自然数)

原式=8547X(13X8)

=8547x104

=888888;

原式=8547X(13X9)

=8547x117

=999999.

(3)观察算式发现一个因数是12345679,积是重叠数，当然我们可以用积除以一个因数，该

题是有特点的，我们从下面的式子来分析.

12345679x9=111111111,

12345679X9X2=222222222,

12345679x9x3=333333333,

12345679x9x4=4444444444,

原式=12345679x9x9

=12345679x81

=99999999.

所以，括号内填81.

29.28有多少个因数？和28因数个数相同的两位数还有那些？

【答案】6个;共16个，分别是：12,18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76,92,98,99.

【分析】28=22x7,共6个因数，枚举6个因数的两位数.6=1x6=2x3,原数为砂或

炉c形式共16个,分别是：12,18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76,92,98,99.

30.有9个分数的和为1,它们的分子都是1.其中的5个是｝i,i,套，5，另外4个数的分母

个位数字都是5.请写出这4个分数.

/I1111\

1-(3+7+9+n+33)

2x101

―3x3x7x11

1010

3x3x5x7x11，

需要将1010拆成4个数的和,这4个数都不是5的倍数，而且都是3x3x7x11的约数.因此,

它们可能是3,7,9,11,21,33,77,63,99,231,693.

经试验得

693+231+77+9=1010.

所以，其余的4个分数是：p卷,卷,壶.

31.试求1981x1982x1983x1984x1985x…x2005这25个数相乘，积的末尾有多少个连

续的“0”?

【答案】7

【分析】其中1985,1990,1995,2000,2005含有因数5分别有1,1,1,3,1个，所以共

W/+14-1+3+1=7（个）因数5；

其中1982,1984,1986,1988,1990,1992,1994,1996,1998,2000,2002,2004含

有因数2,分别有1,6,1,2,1,3,1,2,1,4,1,2个，所以共有1+6+1+2+1+

3+1+2+1+44-1+2=25（个）因数2.

其中因数5较少，含有7个，所以题中25个数的乘积末尾连续的0的个数为7.

32.26460的所有约数中，6的倍数有多少个？与6互质的有多少个？

【答案】36个；6个.

【分析】26460=22x33x5x72,约数是6的倍数，那么因子2可以选21或22,因子3可以选

3乂32或33,5和7可以任意选，因此共有2x3x2x3=36个.与6互质的约数不含有2和3,

因子5和7可以任意选，共有2x3=6个.

33.200以内恰有10个因数的数有多少个？

【答案】5

【分析】10=1x10=2x5,对于第一种情况29=512>200；第二种情况为a，xb,a只能

取2和3：2,x3、24x5、24x7>24x11,24x13=208>200；34x2,34x5=405>

200,综上，共有5个.

34.二表示的是正整数，那么满足要求的正整数X共有多少个？

答哮

1女

、8

1”-

分因为24的因数有：1,2,3,4,6,8,12,24；

当%1

一X=1时，％=2；

一

当%1

X=2时，％=3；

当%

1

一±=3时，x=4；

当x—1=4时，x=5；

当x-1=6时，x=7；

当x—1=8时，x=9；

当％—1=12时，x=13；

当X-1=24时，x=25：故满足要求的正整数X共有8个.

35.猜猜看小侦探柯楠在侦破一个案件的时候，发现与案件有关的一个保险箱设有一个六位数

的密码是：

ABCDEF

他又发现主人为了防范忘记密码在自己的日记本中做了如下的提示，4是5的最大因数，B的所

有因数是1,2,4,8,C是最小的自然数.。只有一个因数，E既是质数，又是偶数，F既是9

的因数又是9的倍数.你能帮助小侦探找到密码翻开这个保险箱吗？并说明你推理的理由是什

么？

【答案】580129；理由见解析.

【分析】4是5的最大因数，因为5的最大因数是5,所以4是5：B的所有因数是1,2,4,8,

根据一个数最大的因数是它本身，可知B是8；C是最小的自然数，最小的自然数是0,所以C是

0；。只有一个因数，是1；E是2；F既是9的因数又是9的倍数，所以?是9；由此即可写出答案.

36.4,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.数4有12个约数，数B有10个约

数，那么4B两数的和等于多少？

【答案】2550

【分析】方法一：由题意知4可以写成3x52xa,B可以写成3x52x0,其中a、b为整数且

只含质因子3、5.

即A:31+xx52+y,B=31+mx52+n,其中x、y、m,n均为自然数(可以为0)

由4有12个约数，所以

[(1+x)+1]x[(2+y)+1]=(2+x)x(3+y)=12,

所以\[\left\{\begin{gathered)

x=2\hfill\\

y=0\hfill\\

\end{gathered}\right.,\left\{\begin{gathered}

x=1\hfill\\

y=1\hfill\\

\end{gathered}\right.\]

或\[\left\{\begin{gathered)

x=0\hfill\\

y=4\hfill\\

\end{gathered}\right.\]

对应4为31+2X52=675,31+1x52+1=1125,或31+0x52+4=46875；

由B有10个约数,所以

[(1+m)+1]x[(2+n)+1]=(2+m)x(3+n)=10,

所以$$\left\{\begin{gathered)

m=0\hfill\\

n=2\hfill\\

\end{gathered}\right.$$对应B为31+0X52+2=1875.

只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875.

那么4,B两数的和为675+1875=2550.

方法二：由题中条件知4、8中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么，先假设它

出现了N次3,那么约数有：(2+l)x(N+l)=3x(N+l)(个)

12与10其中只有12是3的倍数，所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是4,即4=33x

52=675.

那么B的质数中出现了一次3,多于两次5,那么出现了M次5,那么有：

(1+1)x(M+1)=2(M+1)=10,

M=4.F=3x54=1875.

那么4B两数的和为675+1875=2550.

37.蓝精灵王国的4、B两地的距离等于2010米.国王派1号信使从4地出发以1米/分钟的速度向

B地送信，一分钟后又派出第2号信使用比1号信使快1米/分钟的速度向B送信，……，同样，

第k分钟后又派出第k+1号信使用比第/C号信使快1米/分钟的速度向B送信，直到第2009分钟

后，派出第2010号信使用比第2009号快1米/分钟的速度向B送信.每个信使都是匀速行进.问

其中哪些号的信使能同时到达B地？

【答案】同时到达B地的送信精灵的号数为(1,2010),(2,1005),(3,670),(5,402),(6,335),

(10,201),(15,134),(30,67)共8对.

【分析】设第m号与第n号送信使(m<n)可以同时到达B点.那么它们的速度分别是m米/分钟

和n米/分钟.走完全程的时间分别为理分钟和陋分钟，因为第m号送信精灵比第九号送信精

mn

灵行路中应多用n—m分钟，所以成立等式史竺—型竺=n—

mn

由此得mn=2010=1X2X3X5X67.

所以同时到达B地的送信精灵的号数为(1,2010),(2,1005),(3,670),(5,402),(6,335),

(10,201),(15,134),(30,67)共8对.

38.一个正整数n,它是75的倍数，并且有75个因数，求治的最小值.

【答案］432

【分析】把75分解质因数75=3x52,所以n必含有质因数3、5,且质因数5的个数至少为

2.根据约数个数公式

75=3x5x5=(2+1)x(4+1)x(4+1),

即知，n含有3个不同质因数，次数分别为2、4、4次.所以n可表达为：n=/xy4xz3要

使n最小，显然x=5,y=3、z=2,即

n=52x3,x2'=25x81x16=32400,

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