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文档简介
数论-因数和倍数-因数-2星题
课程目标
知识点考试要求具体要求考察频率
因数C1、理解因数的定义少考
2、能够准确找出一个数的所有因
数。
知识提要
因数
・定义对于整数a和b,如果alb,我们就称a是b的因数。
精选例题
因数
1.算式1x2x3x…x10的结果中末尾有个连续的零.
【答案】2个
【分析】此题算式中,有10、5分别有1个因数5,共2个因数5;2、4、6、8、10共有8个因数
2.由于因数5的个数少于因数2的个数,只有2个,所以该算式结果末尾有2两个连续的零.
2.算式333x625x125x25x5x16x8x4x2的结果中末尾有个连续的零.
【答案】10
【分析】乘积末尾0的个数取决于乘数中因数2与因数5的搭配情况.该算式中,625、125、25、
5分别提供4、3、2、1个因数5,一共可以提供
4+3+24-1=10(个);
16、8、4、2分别可以提供4、3、2、1个因数2,一共可以提供
4+3+2+1=10(个).
10对因数5和因数2乘积产生10个零,所以该算式结果中有10个连续的零0.
3.两个相邻质数的和乘以它们的差得120,这样的质数有两组,它们分别是(,)和(,).
【答案】31,29和17,13.
【分析】两个数的乘积是120,可以把120分成以下乘积
120=1x120
=2x60
=3x40
=4x30
=5x24
=6x20
=8x15
=lOx12,
而两个数的和与差的奇偶性是相同的,满足条件的只有2x60,4x30,6x20,10x12.相
应的,得到这两个数分别是31,29;17,13;13,7;11,1.
满足相邻质数这个条件的是前两组,31与29,17与13.
4.2016名同学排成一排,从左至右依次按照1,2,…,n报数⑺之2),假设第2016名同学
所报的数恰是九,那么给这轮中所有报九的同学发放一件新年礼物.那么无论几取何值,有名同
学将不可能得到新年礼物.
【答案】576
【分析】由题目条件可知,n12016,
2016=25x32x7
所以当n=2时,所有编号为2的倍数的同学均能拿到礼向,同理可得编号为3和7的倍数的同学
也能拿到礼物,因此只有编号与2016互质的同学拿不到礼物,小于2016且与2016互质的数的
个数为
111
2016x(l--)x(1--)x(1--)=576(个A).
5.算式2x16x24x5x25x125的计算结果的末尾有个连续的零.
【答案】6
【分析】此题算式中,125、25、5分别有3、2、1个因数5,共6个因数5;2、16、24共有8个
因数2.由于因数5只有6个,少于因数2的个数,所以该算式结果末尾有6个连续的零.算式中
有8个因数2,6个因数5,所以末尾有6个零.
6.4是乘积为2007的5个自然数之和,B是乘积为2007的4个自然数之和.那么4、B两数之差
的最大值是.
【答案】1781
【分析】
2007=1x1x3x3x223
=1x1x1x9x223
=1x1x1x3x669
=lxlxlxlx2007,
所以4的可能值是231或235或675或2011.又
2007=1X3x3X223
=1x1x9x223
=1x1x3x669
=1x1x1x2007,
所以B的可能值是230或234或674或2010,4、B两数之差的最大值为2011-230=1781.
7.大于0的自然数n是3的倍数,3n是5的倍数,那么n的最小值是.
【答案】15
【分析】因为3n是5的倍数,所以ri也是5的倍数,那么n是3和5的共同倍数,那么n最小为15.
8.如图,方格表中己经填入了9个数,其余20个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上
面方格中的数.比方a=5x10=50,b=50x12=600.那么c方格内所填的自然数的末尾
有个连续的0.
【答案】102
【分析】
含有102个2,106个5,所以末尾有102个0.
9.算式25x26x27x…x50的结果中末尾有个连续的零.
【答案】8个
【分析】此题算式中,30、35、40、45分别有1个因数5,25、50分别有2个因数5,共有8个
因数5;此题中含有偶数12个,那么至少含有12个因数2,很明显,因数5的个数少于因数2的
个数,只有8个,所以该算式结果末尾有8个连续的零.算式中有8个因数5(其中25、50分别
含有两个因数5),所以末尾有8个零.
【答案】1763664903
12.24有哪些约数?36有哪些约数?公共的约数有哪些?最大的是多少?
【答案】12
【分析】24的约数1,2,3,4,6,8,12,24;
36的约数1,2,3,4,6,9,12,18,36.
公共的约数为1,2,3,4,6,12.最大的为12.
13.一个自然数N共有9个约数,而N-1恰有8个约数.满足条件的自然数中,最小的和第二小
的分别是多少?
【答案】196;256
【分析】有9个约数的数可以表示为两种形式:或a?xb2.从小往大逐个尝试发现22x72=
196,195=3x5x13,有8个约数.28=256,255=3x5x17,有8个约数.因此最小的
和第二小的分别是196和256.
14.小高把62个奶糖和75个水果糖平均分给他的朋友们,最后剩下2个奶糖,3个水果糖.请问
小高把糖分给了多少个朋友?
【答案】4个、6个或12个
【分析】简答:分出去了60个奶糖和72个水糖果,那么朋友们的个数应该是60和72的公约数,
而且要比3大.所以只能是4个、6个或12个.
15.甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008.请问:满足上述条件的自然数有几组?
[答案]4
【分析】由题目条件得,
甲x甲一甲*乙=甲x(甲一乙)=2008,
将2008写成两个数乘积的形式,有如下几种:
2008=2008x1=1004x2=502x4=251x8.
因此满足条件的甲、乙数为(2008,2007)、(1004,1002),(502,498)、(251,243),共有4组.
16.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两
位数的约数中,最大的是多少?
【答案】96
【分析】设这个数为4,有4=25x33x56x7,99=3x3x11,98=2x7x7,97均不是
A的约数,而96=25x3为4的约数,所以96为其最大的两位数约数.
17.111111111的第二大的约数是多少?
【答案】37037037
【分析】简答:mmiii第二小的约数为3,因此第二大的约数为11111111+3=
37037037.
18.有一个正整数,它加上100后是一个完全平方数,力口上168后也是一个完全平方数.请问:
这个正整数是多少?
【答案】156
【分析】设这个正整数为n,那么
n+100=b2,n+168=a2,
两式相减得
a2-b2=68,
而
a2-b2=(a+/?)x(a—b),
由于68=lx68=2x34=4x17,由此可得
[a+b=34,
(a—b=2,
解得
(a=18,
w=16,
所以n为156.
19.一个偶数恰有6个约数不是3的倍数,恰有8个约数不是5的倍数.请问:这个偶数是多少?
【答案]1350
【去析】一个偶数恰有6个约数不是3的倍数,满足条件的形式为2$X3X或ax02x3,,前一
种情况不可能满足“恰有8个约数不是5的倍数因此只能取axFx3x的形式,并且x只能等
于3,b只能等于5,再考虑偶数,那么a只能等于2,因此这个数为2x52x33=1350.
20.两个自然数的差为16,它们的最大公因数有几种可能?最大可能是多少?
[答案]5;16
【分析】「大公因数一定是16的因数,16共有5个因数,所以最大是16.
21.对四位数abed,假设存在质数p和正整数k,使axbxcxd=p",Ka+b+c+d=pp—
5,求这样的四位数的最小值,并说明理由。
【答案】1399
【分析】①范围分析:a+b+c+d&36=p=3=a+b+c+d=27-5=22;
②质因子分析:axbxcxd=3k=a、b、c、d为1、3、9…;
③极值突破:a=l,b=3,c=9,d=9=abed,最小是1399.
22.如图,依次排列的5个数是13,12,15,25,20.它们每相邻的两个数相乘得4个数.这4
个数每相邻的两个数相乘得3个数.这3个数每相邻的两个数相乘得2个数.这2个数相乘得1个
数.请问:最后这个数从个位起向左数.可以连续地数出几个零?
【答案】10
【分析】如下列图,我们在图中标出每个数含有质因数2、5的个数,除第一行外,每个数都是
上一行左、右上方两数的乘积,所以每个数含有质因数2、5的个数也都是上一行左、右上方两
数含有质因数2、5个数的和.
所以,最后一行的一个数含有10个质因数2,15个质因数5.
而一个数末尾含有连续0的个数决定于质因数2、5个数的最小值,所以最后一行的一个数末尾
含有10个连续的0.
23.n个自然数,它们的和乘以它们的平均数后得到2008.请问:n最小是多少?
【答案】502
【分析】由于2008=2008x1=1004x2=502x4=251x8.
如果这n个数的和为2008,平均数为1,那么n为2008.
如果这n个数的和为1004,平均数为2,那么n为502.
如果这n个数的和为502,平均数为4,那么这不可能.
如果这n个数的和为251,平均数为8,那么这不可能.
因此n最小是502.
24.假设干个连续自然数1,2,3…的乘积的末尾有13个0,这些自然数中最大是?
【答案】59
【分析】每个因数5,与偶数的乘积,会在末尾增加1个0,连续自然数,偶数足
够多,只需要考虑因数5的个数.末尾有13个0,那么就要有13个因数5,每5个连续自然数,
至少含有一个因数5,13x5=65,即1〜65中5的倍数有65+5=13个,25的倍数有25和50
这2个,一共有13+2=15个因数5,所以要去掉65和60,那么最大的一个自然数就是59.
25.把假设干个自然数1、2、3、……连乘到一起,如果这个乘积的最末十三位恰好都是零,那
么最后出现的自然数最小应该是多少?最大是多少?
【答案】55;59
【分析】乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的,有一对2和5乘积末尾就有
一个零.由于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数,而相邻5个数中才有一个5的倍数,所
以我们只要观察因数5的个数就可以了.
5=5x1,10=5x2,15=5x3,20=5x4,25=5x5,30=5x6,……,发现只有
25、50、75、100、……这样的数中才会出现多个因数5,乘到55时共出现11+2=13个因数
5,所以至少应当写到55,最多可以写到59.
26.把假设干个自然数1,2,3,…乘到一起,如果这个乘积的最末十三位恰好都是零,那么最
后出现的自然数最小应该是多少?
【答案】55
【分析】方法一:要求乘积的末十三位均是0,那么这个乘积至少含有13个质因数2,13个质
因数5.
连续的自然数中2的倍数的个数远大于5的倍数的个数.所以只用考虑质因数5的个数,有:
13x5=65,而1〜65中,25、50均含有2个质因数5.
所以只需连乘到(13-2)x5=55即可.也就是说1x2x3x…的积的末十三位均是0,那么
最后出现的自然数最小应是55.
方法二:我们分段考虑质因数5的出现的情况:
在1至9中,有5本身,出现1次因数5;
在10至19中,有10、15,出现2次因数5;
在20至29中,有20、25,由于25=5x5,5出现了2次,所以共出现3次因数5;
在30至39、40至49中,各出现2次5的因子,至此共出现了1+2+3+2+2=10次5的因子.
在50至59中,有50、55、50=2x5x5出现了两次5的次因子,所以这里共有3个5的因子.
所以到55为止,共出现13次5的因子,55为出现的最小自然数,使得2乘到它的结果中末尾有
13个0.
27.把自然数从1开始作连乘积,即:1X2X3X4X5X…当乘到40,乘积的末尾连续出现多
少个“0〃?
【答案】9
【分析】每个因数5,与偶数的乘积,会在末尾增加1个0,连续自然数,偶数足
够多,只需要考虑因数5的个数,1到40中有9个因数5,所以乘积的末尾有9个“0〃.
28.计算:
(1)37x()=666;37x()=888;
(2)8547x()=888888;8547x()=999999.
(3)12345679X()=999999999.
【答案】(1)18;24;(2)104;117;(3)81
【分析】(1〕观察算式发现一个因数是37,而积是重叠数.所以我们可以分析下面算式
37x3=111,
37x3x2=222,
37x3X3=333,
37x3x4=444,
37x3x5=555,
37x3x6=666»
37x3x7=777,
37x3x8=888;
(2)观察算式发现一个因数是8547,积是重置数,当然我们可以用积除以一个因数,该题是
有特点的,我们从下面的式子来分析.
8547x13=111111,
8547X13X2=222222,
8547x13x3=333333,
8547x13x4=444444.
不难发现8547乘以一个13是111111,乘以两个13是222222,乘以三个13是33333,…,乘以
八个13是888888,乘以九个13是999999,乘以几个13就是市inmm.(九是1至9的自然数)
原式=8547X(13X8)
=8547x104
=888888;
原式=8547X(13X9)
=8547x117
=999999.
(3)观察算式发现一个因数是12345679,积是重叠数,当然我们可以用积除以一个因数,该
题是有特点的,我们从下面的式子来分析.
12345679x9=111111111,
12345679X9X2=222222222,
12345679x9x3=333333333,
12345679x9x4=4444444444,
原式=12345679x9x9
=12345679x81
=99999999.
所以,括号内填81.
29.28有多少个因数?和28因数个数相同的两位数还有那些?
【答案】6个;共16个,分别是:12,18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76,92,98,99.
【分析】28=22x7,共6个因数,枚举6个因数的两位数.6=1x6=2x3,原数为砂或
炉c形式共16个,分别是:12,18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76,92,98,99.
30.有9个分数的和为1,它们的分子都是1.其中的5个是}i,i,套,5,另外4个数的分母
个位数字都是5.请写出这4个分数.
/I1111\
1-(3+7+9+n+33)
2x101
―3x3x7x11
1010
3x3x5x7x11,
需要将1010拆成4个数的和,这4个数都不是5的倍数,而且都是3x3x7x11的约数.因此,
它们可能是3,7,9,11,21,33,77,63,99,231,693.
经试验得
693+231+77+9=1010.
所以,其余的4个分数是:p卷,卷,壶.
31.试求1981x1982x1983x1984x1985x…x2005这25个数相乘,积的末尾有多少个连
续的“0”?
【答案】7
【分析】其中1985,1990,1995,2000,2005含有因数5分别有1,1,1,3,1个,所以共
W/+14-1+3+1=7(个)因数5;
其中1982,1984,1986,1988,1990,1992,1994,1996,1998,2000,2002,2004含
有因数2,分别有1,6,1,2,1,3,1,2,1,4,1,2个,所以共有1+6+1+2+1+
3+1+2+1+44-1+2=25(个)因数2.
其中因数5较少,含有7个,所以题中25个数的乘积末尾连续的0的个数为7.
32.26460的所有约数中,6的倍数有多少个?与6互质的有多少个?
【答案】36个;6个.
【分析】26460=22x33x5x72,约数是6的倍数,那么因子2可以选21或22,因子3可以选
3乂32或33,5和7可以任意选,因此共有2x3x2x3=36个.与6互质的约数不含有2和3,
因子5和7可以任意选,共有2x3=6个.
33.200以内恰有10个因数的数有多少个?
【答案】5
【分析】10=1x10=2x5,对于第一种情况29=512>200;第二种情况为a,xb,a只能
取2和3:2,x3、24x5、24x7>24x11,24x13=208>200;34x2,34x5=405>
200,综上,共有5个.
34.二表示的是正整数,那么满足要求的正整数X共有多少个?
答哮
1女
、8
1”-
分因为24的因数有:1,2,3,4,6,8,12,24;
当%1
一X=1时,%=2;
一
当%1
X=2时,%=3;
当%
1
一±=3时,x=4;
当x—1=4时,x=5;
当x-1=6时,x=7;
当x—1=8时,x=9;
当%—1=12时,x=13;
当X-1=24时,x=25:故满足要求的正整数X共有8个.
35.猜猜看小侦探柯楠在侦破一个案件的时候,发现与案件有关的一个保险箱设有一个六位数
的密码是:
ABCDEF
他又发现主人为了防范忘记密码在自己的日记本中做了如下的提示,4是5的最大因数,B的所
有因数是1,2,4,8,C是最小的自然数.。只有一个因数,E既是质数,又是偶数,F既是9
的因数又是9的倍数.你能帮助小侦探找到密码翻开这个保险箱吗?并说明你推理的理由是什
么?
【答案】580129;理由见解析.
【分析】4是5的最大因数,因为5的最大因数是5,所以4是5:B的所有因数是1,2,4,8,
根据一个数最大的因数是它本身,可知B是8;C是最小的自然数,最小的自然数是0,所以C是
0;。只有一个因数,是1;E是2;F既是9的因数又是9的倍数,所以?是9;由此即可写出答案.
36.4,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.数4有12个约数,数B有10个约
数,那么4B两数的和等于多少?
【答案】2550
【分析】方法一:由题意知4可以写成3x52xa,B可以写成3x52x0,其中a、b为整数且
只含质因子3、5.
即A:31+xx52+y,B=31+mx52+n,其中x、y、m,n均为自然数(可以为0)
由4有12个约数,所以
[(1+x)+1]x[(2+y)+1]=(2+x)x(3+y)=12,
所以\[\left\{\begin{gathered)
x=2\hfill\\
y=0\hfill\\
\end{gathered}\right.,\left\{\begin{gathered}
x=1\hfill\\
y=1\hfill\\
\end{gathered}\right.\]
或\[\left\{\begin{gathered)
x=0\hfill\\
y=4\hfill\\
\end{gathered}\right.\]
对应4为31+2X52=675,31+1x52+1=1125,或31+0x52+4=46875;
由B有10个约数,所以
[(1+m)+1]x[(2+n)+1]=(2+m)x(3+n)=10,
所以$$\left\{\begin{gathered)
m=0\hfill\\
n=2\hfill\\
\end{gathered}\right.$$对应B为31+0X52+2=1875.
只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875.
那么4,B两数的和为675+1875=2550.
方法二:由题中条件知4、8中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它
出现了N次3,那么约数有:(2+l)x(N+l)=3x(N+l)(个)
12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是4,即4=33x
52=675.
那么B的质数中出现了一次3,多于两次5,那么出现了M次5,那么有:
(1+1)x(M+1)=2(M+1)=10,
M=4.F=3x54=1875.
那么4B两数的和为675+1875=2550.
37.蓝精灵王国的4、B两地的距离等于2010米.国王派1号信使从4地出发以1米/分钟的速度向
B地送信,一分钟后又派出第2号信使用比1号信使快1米/分钟的速度向B送信,……,同样,
第k分钟后又派出第k+1号信使用比第/C号信使快1米/分钟的速度向B送信,直到第2009分钟
后,派出第2010号信使用比第2009号快1米/分钟的速度向B送信.每个信使都是匀速行进.问
其中哪些号的信使能同时到达B地?
【答案】同时到达B地的送信精灵的号数为(1,2010),(2,1005),(3,670),(5,402),(6,335),
(10,201),(15,134),(30,67)共8对.
【分析】设第m号与第n号送信使(m<n)可以同时到达B点.那么它们的速度分别是m米/分钟
和n米/分钟.走完全程的时间分别为理分钟和陋分钟,因为第m号送信精灵比第九号送信精
mn
灵行路中应多用n—m分钟,所以成立等式史竺—型竺=n—
mn
由此得mn=2010=1X2X3X5X67.
所以同时到达B地的送信精灵的号数为(1,2010),(2,1005),(3,670),(5,402),(6,335),
(10,201),(15,134),(30,67)共8对.
38.一个正整数n,它是75的倍数,并且有75个因数,求治的最小值.
【答案]432
【分析】把75分解质因数75=3x52,所以n必含有质因数3、5,且质因数5的个数至少为
2.根据约数个数公式
75=3x5x5=(2+1)x(4+1)x(4+1),
即知,n含有3个不同质因数,次数分别为2、4、4次.所以n可表达为:n=/xy4xz3要
使n最小,显然x=5,y=3、z=2,即
n=52x3,x2'=25x81x16=32400,
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