能力提升精练课件：3 勾股定理的应用

第一章勾股定理3勾股定理的应用能力提升精练3勾股定理的应用1.[2021北京四中月考]《九章算术》内容丰富,与实际生活联系紧密,在书上讲述了这样一个问题:“今有垣高一丈.倚木于垣,上于垣齐.引木却行一尺,其木至地.问木几何.”其意大致为:有一道墙高一丈,一根木棒靠于墙上,木棒上端与墙头齐平,若木棒下端向后退,则木棒上端会随着往下滑,当木棒下端向后退了一尺时,木棒上端恰好落到地上,则木棒长(1丈=10尺)(

)A.50.5尺 B.50尺

C.45.5尺 D.45尺【解析】如图,设木棒AB长为x尺,则木棒下端B离墙的距离BC的长为(x-1)尺.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2+BC2=AB2,即102+(x-1)2=x2,解得x=50.5,所以木棒长50.5尺.故选A.2.[2021湖北武汉江岸区月考]一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中,牙刷露在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是(

)A.5<h≤7 B.6<h≤7C.5≤h≤6 D.5≤h<6【解析】根据题意,易得杯子中牙刷长度的最小值等于杯子的高12cm.设杯子中牙刷长度的最大值为xcm,由勾股定理可得,52+122=x2,所以x=13.因为牙刷的长为18cm,所以h的取值范围是18-13≤h≤18-12,即5≤h≤6.故选C.立体图形中可放入物体最大长度的求法

(1)圆柱体:构建由底面直径、高及物体长度为三边的直角三角形,利用勾股定理求解;(2)长方体或正方体:首先利用勾股定理求出底面对角顶点连线的长度,再构建由底面对角顶点连线、高及物体长度为三边的直角三角形,利用勾股定理求解.归纳总结3.如图所示,有一个由传感器A控制的灯,要装在门上方离地面4.5m的墙上,任何东西只要移到离该灯5m及5m内的位置,灯就会自动发光.若小明身高1.5m,则他走到离墙

m的地方灯刚好发光.

【解析】如图,设小明走到点C的位置时,头顶D与传感器A的距离是5m,灯刚好自动发光,过点D作DE⊥AB于点E,则AE=4.5-1.5=3(m).在Rt△ADE中,DE2=AD2-AE2=52-32=16,所以DE=4m,所以身高1.5m的小明走到离墙4m的地方灯刚好发光.4.如图所示是一棱长为3cm的正方体,把其中两面(下底面和右面)分别均分成3×3个小正方形,其边长都为1cm.假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的点B处,最少要用

s.

【解析】因为爬行路径不唯一,所以分情况分别计算,再通过比较确定最短路径.(1)展开前面和右面,由勾股定理,得AB2=(2+3)2+22=29;(2)展开下底面和右面,由勾股定理,得AB2=32+(2+2)2=25;(3)展开下底面和后面,由勾股定理,得AB2=(3+2)2+22=29.因为25<29,所以最短路径为第(2)种情况,所以最短路程为5cm,所以最少要用5÷2=2.5(s).5.[2018湖北黄冈中考]如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为

cm(杯壁厚度不计).

【解析】如图,将杯子侧面的一半展开,作点A关于EF的对称点A',连接A'B,则A'B即最短距离.在Rt△A'DB中,由勾股定理,得A'B2=A'D2+BD2=162+122=202,所以A'B=20cm.6.[2021四川内江期末]台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成气候风暴,有极强的破坏力.如图,有一台风中心沿AB方向由点A向点B移动,已知点C为一海港,AC=300km,BC=400km,AB=500km,若台风的速度为20km/h,以台风中心为圆心,周围250km以内为受影响区域.(1)求∠ACB的度数;(2)海港C受台风影响吗?为什么?若受影响,台风影响该海港持续的时间有多长?【解析】(1)因为AC=300km,BC=400km,AB=500km,所以AC2+BC2=AB2,所以△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.

【解析】卡车能通过该工厂的厂门.理由如下:如图,点D距厂门的中心线0.8m,过点D作CH⊥AB,与地面交于点H,与厂门上方圆弧交于点C,连接OC.易知OC=1m,OD=0.8m.在Rt△OCD中,由勾股定理,得CD2=OC2-OD2=12-0.82=0.36,所以CD=0.6m,所以CH=0.6+2.3=2.9(m),因为2.9>2.5,所以这辆卡车能通过该工厂的厂门.7.一辆装满货物的卡车,其外