安阳市2021-2022学年高二下学期阶段性测试（五）理科数学试卷 解析版

2021—2022学年高二下学期阶段性测试（五）理科数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先通过解二次不等式和对数不等式得到集合，进而判断两集合的关系.【详解】由可得，所以集合由可得，即，所以集合所以，故选项B正确，选项A,C,D不正确.故选：B2.设复数z满足，则（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】先由复数的除法运算化简复数，再求其模长.【详解】由，则所以故选：C3.观察下列算式：，，，，…，则的个位数字是（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】根据给出的式子归纳出其规律，从而得出答案.【详解】由，，，，，，则这些数的个位数依次为2,4,8,6循环出现，周期为4又；所以的个位数字是4故选：B4.已知随机变量，且对任意，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正态分布的图像的对称性可得结果.【详解】因为随机变量，且符合，所以其图像关于直线对称，即，故选：D5.若曲线在点外的切线与直线垂直，则实数a的值为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求导得到切线的斜率为，解方程即得解.【详解】解：由题得，所以切线的斜率为，因为切线与直线垂直，所以故选：B6.若，则（）A. B. C.或 D.【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式以及弦化切可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】由已知，则，因为，解得.故选：B.7.已知随机变量X服从二项分布，且，，则（）A.3 B.6 C.9 D.12【答案】D【解析】【分析】根据二项分布的均值与方差公式列方程组求解．【详解】由题意，解得．故选：D8.在正三棱柱中，，点、分别为棱、的中点，则和所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取的中点，连接，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得和所成角的余弦值.【详解】取的中点，连接，设，因为是边长为的等边三角形，则，因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，，，，因此，和所成角的余弦值为.故选：A.9.某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为（）A.350 B.500 C.550 D.700【答案】C【解析】【分析】根据分类和分步计数原理即可求得.【详解】所选医生中只有一名男主任医师的选法有，所选医生中只有一名女主任医师的选法有，所选医生中有一名女主任医师和一名男主任医师的选法有，故所选医师中有主任医师的选派方法共有种，故选：C10.已知抛物线C的顶点与坐标原点重合，焦点为.过F且斜率为正的直线l与C交于A，B两点，若，则l的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出抛物线C的方程，设出直线l的方程，与C的方程联立，结合关系求解作答.【详解】依题意，抛物线C的方程：，显然直线l不垂直于y轴，设其方程为：，由消去x并整理得：，设，于是得，而直线l的斜率为正，且，即，有，即有，则，解得，因此，解得，所以直线l的方程为：，即.故选：D11.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若的面积为.则ab的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式，化简计算，可求得角C，根据面积公式及题干条件，计算可得，利用余弦定理及基本不等式，即可得答案.【详解】因为，由正弦定理边化角可得，又，因为，，所以，又，所以.又的面积所以，由余弦定理得，所以，当且仅当时取等号，所以，则的最小值为.故选：C12.已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据恒成立转化不等式为，再分离转化为求最大值，利用导数研究其单调性，即可确定结果.【详解】，，∴令，解得，单调递增，∴令，解得，单调递减，∵因为对，使得成立，所以使得成立，因为，所以，使得成立，令，所以，在单调递增，，因此，在单调递增，，，故选：A【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立与有解问题，考查综合分析求解能力，属较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，的夹角为，且，，若，则_________.【答案】【解析】【分析】先求出的值，再由结合数量积的运算性质可得出答案.【详解】由题意则，则故答案为：14.已知变量y与x线性相关，利用样本数据求得回归方程为，若该方程在样本点和处的随机误差互为相反数，则_________.【答案】0.6##【解析】【分析】将已知样本点代入回归方程，求得相应估计值，进而算出随机误差，再利用随机误差互为相反数即可得解.【详解】解：回归方程在样本点处的估计值为：，随机误差为：，回归方程在样本点处的估计值为：，随机误差为：，因为与互为相反数，所以，解得0.6.故答案为：0.6.15.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P为双曲线上一点，若，且，则双曲线的离心率为_________.【答案】【解析】【分析】结合双曲线的定义以及已知条件求得，由此求得双曲线的离心率.【详解】依题意，所以，，，，，所以，，所以双曲线的离心率.故答案：16.在四棱锥中，底面，，，，且四棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的表面积为_________.【答案】【解析】【分析】如图，过点作,垂足为.过点作,垂足为.证明，再利用模型法求三棱锥外接球的半径即得解.【详解】解：如图，过点作,垂足为.过点作,垂足为.由题得.所以.因为，所以,.由题得.所以.所以.所以可以把三棱锥放到一个长为宽为1，高为1的长方体中，此时长方体的外接球的直径.所以三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知是递增的等差数列，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求证：.【答案】（1）（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据等差数列的基本量以及等比中项的关系即可求解.（2）根据裂项相消求和，即可求出，然后根据单调性即可证明.【小问1详解】设的公差为，因为，，成等比数列，所以，因为是递增，所以，故，所以.【小问2详解】,所以，因为单调递减，所以单调递增，故当时，，而，故.18.如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰直角三角形，，.（1）证明：平面；（2）若棱AC的中点为M，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明详见解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面得到，在结合等腰直角三角形特点即可得证；（2）确定为二面角的平面角，计算可求得二面角的余弦值.【小问1详解】解：∵和都是等腰直角三角形，，，∴，又∵平面平面，面面，面，∴面，∵面，∴，∵，∴平面【小问2详解】∵AC的中点为M，，∴∵平面平面，面面，面，∴面，∴，∴为二面角的平面角，设，则，，∴，故二面角的余弦值为19.某厂生产、两种产品，对两种产品某项指标进行检测，现各随机抽取件产品作为样本，其指标值的频率分布直方图如图所示：

以该项指标作为衡量产品质量的标准，产品的等级和收益率（收益率利润投资额）如下表，已知一、二、三等品的收益率依次递减.等级一等品二等品三等品指标值收益率（1）分别估计该厂生产的产品和产品为一等品的概率；（2）以样本中不同等级产品的频率分布代替总体的概率分布.如果该厂计划明年将资金全部投入到产品或中的一种上，以平均收益率的数学期望为依据，则应该投资哪种产品?【答案】（1）该厂生产的产品和产品为一等品的概率分别为、（2）投资产品较好【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图可计算出该厂生产产品和产品为一等品的概率；（2）计算出产品和产品的平均收益率，比较大小后可得出结论.【小问1详解】解：由频率分布直方图可知，该厂生产的产品的一等品的概率为，该厂生产的产品的一等品的概率为.【小问2详解】解：由已知可得，可得，由题可知，产品为一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，产品为一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，产品的平均收益率为，产品的平均收益率为，，所以，投资种产品较好20.已知椭圆的离心率，且过点.（1）求的方程；（2）已知点，直线与交于、两点，若的平分线垂直于轴，证明：过定点.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件可出关于、、的方程，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；（2）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，分析可知，可得出、所满足的等式，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标.【小问1详解】解：由已知可得，解得，因此，椭圆的方程为.【小问2详解】解：由题意可知，直线、的斜率互为相反数.若直线的斜率不存在，直线、关于轴对称，此时的平分线为轴，不合乎题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，联立可得，，可得，由韦达定理可得，，，，所以，，所以，，可得，所以，直线的方程为，此时直线过定点.综上所述，直线过定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.21.已知函数，.（1）若在定义域上单调递减，求的取值范围；（2）若，，证明：当时，.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分析可知对任意的，恒成立，可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围；（2）将所证不等式变形为，令，其中，利用导数求得，即可证得结论成立.【小问1详解】解：函数的定义域为，，由题意可知，对任意的，恒成立，则，解得.因此，实数的取值范围是.【小问2详解】证明：当时，，要证，即证，令，其中，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，则，因此，当时，，对任意的，.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴，建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.（1）写出的直角坐标方程和的普通方程；（2）已知点，与相交于、两点，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得出曲线的直角坐标方程，利用参数方程与普通方程之间的转换关系可得出曲线的普通方程；（2）将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，列出韦达定理，利用的几何意义可求得的值.【小问1详解】解：曲线的极坐标方程为即为，则曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为.【小问2详解】解：易知点在直线上，且该直线的斜率为，倾斜角为，则曲线的参数方程为（为参数），联立曲线的参数方程与曲线的普通方程得，，设点、在直线上对应的参数分