(新高考)高考数学一轮复习讲义+巩固练习2.2《函数的单调性与最值》(原卷版)

第第页§2.2函数的单调性与最值考试要求1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用．知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值常用结论1．∀x1，x2∈D且x1≠x2，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减)．2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝﹣f(x)，y＝eq\f(1,fx)的单调性相反．4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若f(x)的定义域为R，且f(﹣3)<f(2)，则f(x)为R上的增函数．()(2)函数f(x)在(﹣2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(﹣2,3)．()(3)因为y＝x与y＝ex都是增函数，所以y＝xex在定义域内为增函数．()(4)函数y＝eq\f(1,x)的单调递减区间是(﹣∞，0)∪(0，＋∞)．()教材改编题1．下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是()A．y＝|x＋1|B．y＝2﹣xC．y＝eq\f(1,x)D．y＝x2﹣x＋12．函数y＝eq\f(x,x－1)在区间[2,3]上的最大值是________．3．函数y＝eq\f(a,x－1)在(﹣∞，1)上为增函数，则实数a的取值范围是________．题型一确定函数的单调性命题点1求具体函数的单调区间例1(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝ex﹣e﹣xB．y＝|x2﹣2x|C．y＝x＋cosxD．y＝eq\r(x2＋x－2)命题点2判断或证明函数的单调性例2试讨论函数f(x)＝eq\f(ax,x－1)(a≠0)在(﹣1,1)上的单调性．教师备选1．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x﹣1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．2．已知a>0，函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(x>0)，证明：函数f(x)在(0，eq\r(a)]上单调递减，在[eq\r(a)，＋∞)上单调递增．思维升华确定函数单调性的四种方法(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．跟踪训练1(1)函数f(x)＝ln(4＋3x﹣x2)的单调递减区间是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))(2)函数f(x)＝|x﹣2|x的单调递减区间是________．题型二函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(﹣∞，0)，均有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0成立，若a＝f(ln

eq\r(2))，b＝f(SKIPIF1<0)，c＝f(SKIPIF1<0)，则a，b，c的大小关系是()A．c<b<aB．a<c<bC．a<b<cD．c<a<b命题点2求函数的最值例4函数y＝eq\f(\r(x2＋4),x2＋5)的最大值为________．命题点3解不等式例5已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x﹣log2(x＋2)，若f(a﹣2)>3，则a的取值范围是________．命题点4求参数的取值范围例6函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x≥1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)))x＋2，x<1，))且满足对任意的实数x1≠x2都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，则实数a的取值范围是()A．[4,8)B．(4,8)C．(1,8]D．(1,8)教师备选1．函数f(x)＝ln(x2﹣ax﹣3)在(1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()A．(﹣∞，﹣2]B．(﹣∞，﹣2)C．(﹣∞，2]D．(﹣∞，2)2．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a>b.))设函数f(x)＝﹣x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是______．思维升华(1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)求解函数不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝e|x|，记a＝f(log23)，b＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))，c＝f(2.11.2)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<cB．c<b<aC．b<a<cD．b<c<a(2)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋4x，x≤4，,log2x，x>4，))若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是()A．(﹣∞，1]B．[1,4]C．[4，＋∞)D．(﹣∞，1]∪[4，＋∞)(3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，则不等式f(2x﹣1)>f(x＋1)的解集为________．课时精练1．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A．y＝eq\f(1,x)﹣xB．y＝x2﹣xC．y＝lnx﹣xD．y＝ex2．若函数f(x)＝eq\f(2x2＋3,1＋x2)，则f(x)的值域为()A．(﹣∞，3]B．(2,3)C．(2,3]D．[3，＋∞)3．已知函数f(x)在(﹣∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f(1)＝﹣2，则满足﹣2≤f(x﹣2)≤2的x的取值范围是()A．[﹣2,2]B．[﹣1,1]C．[1,3]D．[0,4]4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－e－x，x>0，,－x2，x≤0，))若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，则有()A．f(a)>f(b)>f(c)B．f(b)>f(a)>f(c)C．f(a)>f(c)>f(b)D．f(c)>f(a)>f(b)5．(多选)已知函数f(x)＝x﹣eq\f(a,x)(a≠0)，下列说法正确的是()A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增B．当a＝﹣4时，f(x)的单调递增区间为(﹣∞，﹣2)，(2，＋∞)C．当a＝﹣4时，f(x)的值域为(﹣∞，﹣4]∪[4，＋∞)D．当a>0时，f(x)的值域为R6．(多选)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx＋2x，x>0，,\f(2,1－x)，x≤0，))则下列结论正确的是()A．f(x)在R上为增函数B．f(e)>f(2)C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤﹣1或a≥0D．当x∈[﹣1,1]时，f(x)的值域为[1,2]7．函数y＝﹣x2＋2|x|＋1的单调递增区间为__________，单调递减区间为________．8．已知函数f(x)＝e|x﹣a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．9．已知函数f(x)＝ax﹣eq\f(1,ax)＋eq\f(2,a)(a>0)，且f(x)在(0,1]上的最大值为g(a)，求g(a)的最小值．10．已知函数f(x)＝a﹣eq\f(2,2x＋1).(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)<f(2)的x的取值范围．11．定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M＝max{2x,2x﹣3,6﹣x}，则M的最小值是()A．2B．3C．4D．612．如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”.函数y＝eq\r(x－1)﹣eq\r(2－x)的值域为________，则与y是“同域函数”的一个解析式为________．13．设函数f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2a)在区间(﹣2，＋∞)上单调递增，那么a的取值范围是________．14．设函数f(x)＝x3﹣sinx＋x，则满足f(x)＋f(1﹣2x)<0的x的取值范围是________．15．函数g(x)＝ax＋2(a>0)，f(x)＝x2﹣2x，对∀x1∈[﹣1,2]，∃x0∈[﹣1,2]，使g(x1)＝f(x0)成立，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c