上海市青浦高级中学2022-2023学年高二年级上册12月质量检测数学试题（含答案解析）

上海市青浦高级中学2022-2023学年高二上学期12月质量检

测数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.直线3x-2y+5=O的一个法向量为.

2.抛物线y?=4x的焦点坐标是.

3.点（9,-7,1）关于xQy平面对称点是.

4.若事件A发生的概率为r,则它的对立事件发生的概率为.

5.空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点瓦巴G分别是AB,AD,DC

的中点，则而•通的值为.

6.已知点P和点。的坐标分别为和（1,2）,若直线/：x+，wy+，〃=0与线段PQ相交,

则机的取值范围是

22

7.已知方程工+^^=1表示双曲线，则实数k的取值范围为

k-410-Jt

8.已知口/WC的顶点4（-3,0）、8（6,0）,若顶点C在抛物线y=/上移动，则门A8C的

重心的轨迹方程为.

9.若随机事件AB互斥，A,8发生的概率均不等于0,且分别为P（4）=3-2«,

P（B）=5a-6,则实数。的取值范围为.

22

10.已知椭圆E:=+4=l（a>b>0）的半焦距为C,且C=6b,若椭圆E经过A，B两

a'b'

点，且AB是圆〃：食+2）2+（），-1）2=产的一条直径，则直线AB的方程为.

y+l+>/2

11.设满足/+9一2国一21M=0,则的取值范围为

X+5+V2

12.空间中到正方体ABC。-AAGR棱4。，AB,CG距离相等的点有

个.

二、单选题

13.已知空间任意一点。和不共线的三点4B,C,若

—•—•—•—•/、..31

O£>=，"OA+〃O3+/?OCG??,”,p€R),贝四点共面"是"=5,n=-,P=-1

的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

14.直线/：y-履-1=0与椭圆二+t=1恒有公共点，则"?的取值范围是()

5m

A.(0,1)B.(0,5)C.[1,5)55,+<»)D.[l,+oo)

15.已知点0,43,C为空间不共面的四点，且向量£=3+丽+兀，向量

b=OA+OB-OC,则与肩B不能构成空间基底的向量是()

A.OAB.QBC.OCD.砺或而

16.已知正方体ABC。-ABCA的棱长为3,动点M在侧面8CCg上运动(包括边界),

且则与平面AORA所成角的正切值的取值范围为()

儿何B.[答』[C.悟[]D.[1,715]

三、解答题

17.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作

(1)设5名同学为：甲、乙、人权c,写出这一事件的样本空间；

(2)求甲、乙都入选的概率.

18.如图所示，在平行六面体ABC。-A耳GA中，。为AC的中点.

(1)化简：Afi--AB--AD.

22

__2____

(2)设E是棱。4上的点，且瓦=§函，若西=x^+y而+z丽，试求实数X,

y,z的值.

试卷第2页，共4页

19.在长方体AgCQ中，AD=A4,=1,45=3,点E是棱A3上的点,

AE=2EB.

⑴求异面直线4。与EC所成角的大小;

(2)求点C到平面1DE的距离.

20.折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源

远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸(如

下图)，

步骤1：设圆心是。，在圆内不是圆心处取一点，标记为尸；

步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过B

步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；

步骤4：不停重复步骤2和3,能得到越来越多条的折痕.

所有这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心0的

距离为2,按上述方法折纸.

(1)建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程；

7T

(2)求经过F,且与直线R?夹角为7的直线被椭圆截得的弦长.

4

TT

21.在梯形A88中，AB//CD,ABAD=-,AB=2AD=2CD=4,尸为的中点，

线段/C与。P交于。点(如图1).将AACD沿AC折起到A4C。位置,使得平面D'AC1

平面8AC(如图2).

图1图2

(1)求证：8c〃平面P0。；

(2)求二面角的大小；

(3)线段PO上是否存在点0,使得CQ与平面BCD所成角的正弦值为好？若存在,

8

求出空的值；若不存在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.（3,-2）（答案不唯一）

【分析】根据方程直接写出即可.

【详解】直线At+B.y+C=O的一个法向量为（AS）

所以直线3x-2y+5=0的一个法向量为（3,-2）.

故答案为：（3,-2）.（答案不唯一）

2.（1.0）

【详解】抛物线y2=4x的焦点在X轴上，Kp=2,.-.1=所以抛物线y2=4x的焦点坐标

为（1,0）,故答案为。,0）.

3.（9,-7,-1）

【分析】根据关于什么对称什么不变来得答案.

【详解】点（9,-7,1）关于x0y平面对称点是（9,-7,-1）

故答案为：（9,-7-1）

4.+1

【分析】直接根据互为对立事件的概率和为1得答案.

【详解】若事件A发生的概率为，，则它的对立事件发生的概率为1-r

故答案为：I-/

5.-##0.25

4

【分析】由题意，四面体是正四面体，每个三角形都是等边三角形，利用向量的数量积的定

义解答.

【详解】FGAB=-ACAB=-xlxlxcos60°=-

224

故答案为：7.

4

答案第1页，共12页

A

【解析】根据题意，点P，Q在直线/两侧或在直线/上，BP（-1+2/H）-（1+3/M）＜0,求解即可.

【详解】若直线//+四-〃，=0与线段尸。相交，

则点P,。在直线/两侧或在直线/上，

则有（-1+2m）-（1+3〃。40,

解得：，

所以用的取值范围是,

故答案为：•

7.坪<4或%>10}

【分析】根据双曲线的尤2,丁项的系数异号列不等式求解.

，2

【详解】方程F+」一=1表示双曲线，则（"4）（10-％）＜0,

k―410—/r

解得Z＜4或Q10

故答案为：坪＜4或00}

8.y=3（x-l）~1

xr=3x-3

【解析】设的重心G（X»）,c（y,y）,x^o,由重心的性质可得,,，代入抛

7=3y

物线方程化简即可得解.

【详解】设J3C的重心G(x,y),C(x',y'\x'^0,

x=

xf=3x-3

则有，,即所以XHl,

y'=3y

y=

答案第2页，共12页

因为点C在曲线y=f上,

所以有3y=（3x—3）~,即y=3（x—i,

故答案为：y=3（x—

64

9.-<a<-

53

【分析】由随机事件A3互斥，根据互斥事件概率的性质列不等式组求解.

【详解】因为随机事件A8互斥，A3发生的概率均不等于0,且分别为P（A）=3-2匹

P(B)=5a-6

0<P(A)<l0<3-2«<1

则0<P(B)<l,叫0<5〃-6<1,

P(A)+P(B)<13a-3<l

64

解得

64

故答案为：

10.x-2y+4=0

【解析】设4（外,凹）,3（七,必），代入椭圆方程做差，根据直线的斜率公式及AB的中点M,

求出直线斜率，即可得到直线方程.

【详解】设4/必）,8（々,必）,

2222

代入椭圆方程可得:%+A口,

口一口得:必一乂=

马一百^（当+必）

由c=®可得”2—6="=36,即与=L

a4

又AB的中点M(—2,1),

y2f/（/+为）

所以原8==一■-x(-2)=-

马一%/（%+乂）42

所以直线A5的方程为y-l=；（x+2）,

即x-2y+4=0.

故答案为：x-2y+4=0

答案第3页，共12页

【点睛】方法点睛：点差法是解决涉及弦的中点与斜率问题的方法，首先设弦端点的坐标,

代入曲线方程后做差，可得出关于弦斜率与弦中点的方程,代入已知斜率，可研究中点问题，

代入已知中点可求斜率.

11.[0,1]

【解析】由题意，得到(|x|-l)2+(|y|-l)2=2,根据对称性，作出方程对应的图像，根据

y+1+0

表示点(x,y)与点加卜5-0,-1-应)连线的斜率，结合图像,即可得出结果.

x+5+>/2

【详解】由V+y2-2凶一23=0可得

(|X|-1)2+(|>'|-1)2=2,

根据对称性，作出此方程对应的图象,

J+I+A/2表示点(x,y)与点仞(-5-夜,-1-右)连线的斜率,

X+5+V2

由图像可得，直线y=x+4与圆(x+l)2+(y-1)2=2显然相切，且y=x+4过点

M(-5-V2-1-5/2),所以41；

''X+5+V2

直线y=-1-应与圆(x+1『+(y+lf=2相切，且y=-1-&过点旭(-5-夜,-1-a),所

以叫斗*

X+5+V2

v+1+

因此-A的取值范围为[o,i],

X+5+J2

故答案为：[0,11.

【点睛】思路点睛:

答案第4页，共12页

非线性目标函数的常见类型及解题思路：

1.斜率型：2=/普=,•一/（公工0）表示的是可行域内的点（x,y）与点连线所

C

在直线的斜率的3倍；

C

2.距离型：（1）z=（x-4+仃-4表示的是可行域内的点（x,y）与（a⑼之间距离的平方；

（2）z=|Ax+8），+C|=y]A2+B2-牛'）：。表示的是可行域内的点（x,y）到直线

VA+B'

Av+3y+C=O的距离的店万倍.

12.无数

【分析】由于点。，用显然满足要求，猜想线段。片上任一点都满足要求，然后证明结论.

【详解】在正方体ABC。-A4G"上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长

为1,连接。与，并在。片上任取一点

因为函=（1,1,1）

所以设P（a,a,a）,其中04a41,

作PE_L平面垂足为E,再作EFLAQ,垂足为G

则4。1PE,AR1EF,PE口£尸=E,PE,EFu面EFP,

，A。，面EFP,又FPu面EFP,

•••A。1FP,则PF是点、p到直线AR的距离，

所以PF=J/+（i-02,

同理点P到直线AB、CC,的距离也是扬+（一）2,

所以。上任一点与正方体ABC。-A蜴G"的三条棱A。，AB,CG所在直线的距离都相

等，

所以与正方体ABCO-ABCQi的三条棱AR,AB,CG所在直线的距离相等的点有无数个.

答案第5页，共12页

故答案为：无数

13.A

【解析】根据空间向量的共面定量，结合充要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由题意，空间中四点4B,C,D,若诙=加砺+〃而+p反

若4B,C,。四点共面，根据空间向量的共面定量，只需，"+〃+〃=1,

31

又由僧=一，H=-,p=-l,可得〃2+〃+p=l,

22

31

所以=耳，n=-9p=T”时，4,B,C,。四点共面，即必要性成立，

反之不一定成立，即充分性不成立，

所以B,C,。四点共面”是=,，〃=g，2=7"的必要不充分条件.

故选：A.

14.C

【解析】由于直线/：y-履-i=o恒过点(0,1),所以要使直线/：>-日-i=o与椭圆工+汇=1

5m

恒有公共点，只要点(0,1)椭圆上或椭圆内即可，从而可求得m的取值范围

【详解】解：直线/：y-丘-1=0恒过点(0,1),

因为直线/：y-丘-1=。与椭圆片+《=1恒有公共点，

5m

所以点(0,1)椭圆上或椭圆内即可，

m>0

所以,解得机之/且用。5,

M<i

、5m

所以加的取值范围是［1,5)=(5,E),

故选：C

答案第6页，共12页

15.C

【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出.

［详解】OC=-(a-b)=-(OA+OB+OC)--(OA+OB-OC),

二反与1、b不能构成空间基底；

故选：C.

16.B

【分析】找到点M在平面ADRA的投影为点M在平面平面上，建立平面直角坐标

系，求出点N的轨迹方程，进而数形结合求出。从而求出答案.

【详解】设点M在平面的投影为点N,则|MN|=3,所求线面角为，，则

幽3

因为用耳=2MB,所以NA=2NA,在平面A。。0上，以/为坐标原

'|RN||AN「

点，NC为X轴，A4为y轴建立平面直角坐标系,

22

则4(0,0),4(0,3),设N(x,y),次+(—『=2々+/,化简得：x+(y+l)=4,

(x>0,y>0),故点N的轨迹为以为圆心，半径为2的且位于第一象限的圆弧ST,

如图所示，连接"A，与圆弧ST相交于点N',此时AN=〃N'取得最小值，由勾股定理得：

"4=历话=5,所以RM=5-2=3,当点N与S重合时，RN=RS取得最大值，由

答案第7页，共12页

勾股定理得：D,S=>/9+4=Vi3,

故选：B.

【点睛】立体几何中轨迹问题，建立合适的坐标系，求出轨迹方程是解决问题的重要方法,

将几何问题代数化，数形结合解决问题.

17.(1)答案见解析

【分析】(1)直接5个里面选3个即可写出样本空间；

(2)根据古典概型的概率公式可得答案.

【详解】(1)5名同学为：甲、乙、

从中随机选3名参加社区服务工作这一事件的样本空间为：

｛甲乙甲乙b,甲乙c,甲4b,甲ac,甲乙ab,乙ac,乙bc,abe].

(2)甲、乙都入选的基本事件有3个：甲乙甲乙匕，甲乙c,

3

故甲、乙都入选的概率为伍.

答案第8页，共12页

―.112

18.(1)\A；(2)%=-xy=-->z=--.

【分析】(1)根据空间向量的线性运算求解；

(2)用基底衣，而，丽表示出访后可得x，%z的值.

【详解】⑴而-g(而+砌=必-正=-西+砺=电

________1__________2___

(2)EO=AO-AE=-(AB+AD)-AD——AA

23

^^AB--AD--AX,

223

112

,“5、---

19.(1)1

⑵至

【分析】（1）先作出异面直线AR与EC所成角，再去求其大小即可

（2）依据三棱锥等体积法去求点C到平面DQE的距离.

【详解】（1）在平面力内作AS7/CE交C£＞于£,连接RE',

则ZDtAE'为异面直线AD,与EC所成角或其补角.

因为AB=3,AE=2EB,所以£8=1,所以。£=1,

因为AO=OA=1,所以AE'=RE=Q,

而明=0,所以口4£＞卢'为正三角形，NRAE'=/,

从而异面直线A。与EC所成角的大小为半

答案第9页，共12页

(2)设点C到平面。ER的距离为力,

SGED,=；D\D.DE=gx\"^=与,S.DEC=/x3xl=彳,

由匕'-。卬=匕5,-0«7得！x@/j=Lxaxl,所以〃

32325

22

20.(1)X—+^v-=1；(2)2—4.

437

【分析】(1)建立直角坐标系后，由椭圆的定义即可得解；

(2)联立方程组，由韦达定理结合弦长公式即可得解.

【详解】(1)如图，以FO所在的直线为x轴，尸。的中点/为原点建立平面直角坐标系,

设P(x,y)为椭圆上一点，由题意可知|勿|+归。=|40|=4且忻。=2,

所以尸点轨迹以F,。为左右焦点，长轴长2a=4的椭圆，

因为2c=2,2〃=4,所以c=1,4=2,=3,

所以椭圆的标准方程为二+£=1;

43

(2)如图，不妨令过F(TO)的直线交椭圆于C,，且倾斜角45。,

所以直线C£）:y=x+1,设C（%,yJ,£）（%,%），

联立]3x+4.y-12,消元得7丁+8》_8=0,△>（）,

[y=x+l

..88

所以玉+九2=-->X\X2=_1，

所以|C£）|=J1+].J（X]+%）2_4/工2+4xg=?.