小学五年级下册 数学《奥数》知识点讲解第7课 从不定方程的整数解 试题附答案

小学五年级下册数学奥数知识点讲解第7课《从不定方程的整数解》试题附答案

第七讲从不定方程1/n=1/x+1/y的整数解谈起

对于形如工=1+」的方程，寻找整数x、y使之满足方程，称为求不定方

nxy

求不定方程的整数解.这里n是取定的一个自然数.对于方程

111/八

£=一+一,（1）

oxy

显见x=y=12是一个整数解.还有没有别的解？如何求解？有人凭直觉能看

出一些解来，但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题。

由1=1+工，两边减去1,得：

oxyx

11_1

6xy'

通分：^=-;因此y=2,这里x-6大于0.为了使右端的分数形

式更简明，我们不妨把x-6看成一个整体，即令t=x-6,那么x=t+6.因此

y=6x（：+t）=—+6,由于混整数，上式右边也是整数，所以看也

必须是整数，这样我们推知：t是62的因数（约数）。

由于是求不定方程的整数解，这样，原先“漫无边际”的找两

oxy

个未知数X、y的困难问题，转换成找简单的62的因子t的问题了.

一个完全平方数的因子必然是奇数个，如6二有因子6、1和36,2和18,3和

12,4和9.6称为自补的因子.后面的2和18等都称为互补因子，这样，不妨记

为：

t0=6,tx=1,'=36；t:=2,t2'=18；t:=3,tJ=12；t尸4,

z-2z-2

t4'=9也即一=tj；…，一=tj,

匕t4

62.

x=6+t,y=--■1-6=t7+6,

7=—+工的所有解表示成；=二二+

6xy66+t6+t

这里t和t1是6三36的互补因子（当t=t，=6时自补因子也包括在内），

所以

1=1+1的全部整数解为：

oxy

111（11）

t°0=t；=6,------1---；I------1------1

061212\6+66+6）

1

t1=1,t；=36,

6齐看;（去+力）

1_11fl1)

6~8+24!U+2+6+18)

111

t=3,0=12,-=--+,

36918岛+舟

11111

t=4,t；=9,1=--+-------+-----

4610156+46+9

由于“地位对等」《蓑表的解与99*驯情况我们都看

成一种了。

以上情况推广到一般情况：求不定方程

（2）</PGN0195.TXT/PGN>

nxy

的整数解，只要找出n2的全部成组互补因子t和t',则

就可得到全部解。

例如，求不定方程：

1，_=1_+1_

12xy

（BPn=12）的整数解，首先分解122=（22•3）2=24-32,它的因子根

据分解式的结构特点可以排成一个表。

21222324

3°124816

3136122448

329183672144

按照互补或自补因子配对有：（1,144）,（2,72）,（3,48）,

（4,36）,（6,24）,（8,18）,（16,9）,（12,12）。

所以白?产有8种解’12?的因子个数+1

=8

,2

一，+—.++,■,+.

13156,1484'1560’1648

11111111

__-I------+_____+________卜____

1836'2030'2128’2424

以上是讨论LLL的全部解自然会想到如果把上式的,再分解成两彳

nxyx

“单位分数”（分子为1分母为整数）的和，那么我们相当于求：

mxyz

的整数解，例如求解

可以利用己经解过的：=11的5种解，再把其中士分解成~+~,例如|=

6xyyyzo

11

一十一卷+:+焉,如此等等。

1212

总之，求解工=」+L+1也是有路可循的了.特别，如n是质数，n=p,

nxyz

L7L+；=2r+_\.除了p=2以外，p+l是合数.再分裂」7,例如

,利用Cp+1)2有因子1和(p+1)2,因此=-J-2，

P+1P+2(p+1)+(p+1)

-1=_L+_L_+_1_____(4)

PP+2p(p+1)(p+l)(p+2)'

111111

例如，；一+----+-----—+—+—

53x44x551220

J111111

-+----+—+—+—

575x66^773042

111111111

—=-H------------F--------------------F1-.

797x88x995672

在这些基本训练基础上，我们很容易把整数1分拆为若干个单位分数之

和。

分成两部分，唯一方式：1=：+，,

分成三部分，只有3种方式：明显的有1=：+；+：,先有1=£+；,再

1111

借用：---+----=----+----这两种分解形式（因为2?有互补因子

2+12+42+22+2

（1,4）,（2,2）.可有

1=i+i+i=ia+i,

244236

1=1+1+1,

333

并且可断言只有这三种形式.为证明这一论断，先介绍“推广的抽屉原

理''（称之为平均值原理更确切）：一个（正）数，分放于几个抽屉中，必有

一个抽屉内存放的数大于或等于平均值.（注意，这里的数不局限于整数）

1分拆为三个单位分数之和，必有一部分＞提而的单位分数只有

只有《和!不妨设则1=:或2问题转化成：

23xyzx2x3

i=:+LL或T+1+L

2yz3yz

对于前一种情况，1-4=<=1+工，再用推广的抽屉原理，工、工中，不

22yzyz

妨设,必有一个》只有。和13两种情况（显然1声J）.对于

yz4y43y2

y=?和，，分别必有Lg和；归类成1=：+和1=：+J+；的情况。

34z64236244

对于后一种情况，=-+同样用推广的抽屉原理，有又

3yzy2

-<-4*所以卜;由|」+工得心当;T也归类成三种形式之中.

yx3333yzz333

故推断正确。

在某些问题研究中，并不要求马上找出全部解，只要能将一个单位分数分

拆为两个单位分数之和即可，这里我们介绍另一种技巧，先看

—1=--1--+----1---

nn+1n(n+1)⑸

（我们这里是在讨论单位分数问题时用到（5）式.其实（5）式又可以改

变形式写成：

111

n（n+1）nn+1,

它在计算中也有巧妙应用，为保持原问题讨论的连续性，它的具体应用请

看习题）。

公式（5）在将整数1分裂成若干个单位分数和的求解中，用起来很方便.

例如可将1分裂为3个分母不等的单位分数之和。

而且，只要不计较分母太大看起来不直观，我们可以把1分裂成任意多个

单位分数之和，如

1=（2项）

iii

—-+—+—(须)

236

1111

=—+—+——+—（4项）

24126

1

11±1（5项）

2+4+12+7+42

111111

=—+—+——+——+—+——（6项）

252012742

11111111

=—+—+——+——+——+—+——+—（8项）

2630201285642

111111111

=—+―+--+--+--+-+--+--+--（9项）

263020129725642

—+-++++++++（10项）。

263020121090725642

如果要求你用两种不同的方式把1写成10个单位分数之和，你不妨在分裂成

9项时，另选一种方式用公式1,如选奈奈焉，即可。

nn+1n(n+1)

实际上，公式工=1=1+

只是最初讲的」L+_l：的

nn+1n(n+1)nxyn+tn+t

特殊情况，只是的互补因子选为1和Y而已所以基本功在于1=2+1的

nxy

分解。

上述基本分解还有一种简便一些的算法，它不必分解n2的因子，而只要

求分解n的所有因子,还以数字12为例：+5把］2（注意不是12%

）的所有因子由小到大排列：1、2、3、4、6,12,6个因子任取2个配成

一个组合，共有15种：

（1,2）,（1,3）,（1，4）,（1,6）,（1,12）

（2,3）,（2,4）,（2,6）,（2,12）

（3,4）,（3,6）,（3,12）

（4,6）,（4,12）

（6,12）

对于每一组合（a,b）,写成1=3+工，则有：

a+ba+b

1ab

12=12（a+b）+12（a+b）

11

=------------------+------------------

（-）（a+b）空）（a+b）

ab

（2'3）'看

例如

----+--=--+--

6x54x53020

所以白=1+工有15种方式，但这里有重复，如由(1,2)配出的

12xy1212x(1+2)

和由(2,4)配出的是相同的,只要在因子的配组中筛去这

种情况即可.

以上讨论相应于不定方程L11对于其他分数形式的不定方程，分

nxy

子不是1的，例如

_2=-1+-1

3xy'

一般同学都可"猜''出2Y+L当然还有";

326333

那么请问是否只有两种方式？答：是.理由呢？因为由推广的抽屉原理,

工和1中至少有一个(1=ix(|)),也即至少有一个或为工，或

xy33232

为!从而归于两种形式那么难度再增加一些，对不定方程求整数

35xy

求整数解呢？

用“灵感来禳!■=言是一种解，最容易的是!•=,

32)X311ID5J

;+［那么还有第三种解吗?

9I1,

用推厂的抽屉原理分析：称分拆成两个部分，当LHL时，（不妨设

Jxy

设L〉L即x<y）必有!〉葭工只有2种可能［，<|•<J］：j,从而

xyx5x（x52134

-=I4>或1=4-9,合理情况只有在前一种中的工=1一种，所以

y53y54y15

当」+工的整数解只有1•4+聂卜；+白两种。

5xy5555315

五年级奥数下册：第七讲从不定方程1/n=1/x+1/y的整数解习题

习题七

M1WZS11

1.求不定方程5x丁的全部整数解。

.^1―=-1~+-1

2.求不定方程3。xy的整数解中，使x+y为最小以及最大的两组解。

3.应用公式"8+D«附+1（5）,证明:

111199

---+----+----+...+-------=---

1x22x33x499x100100o

4.证明：

--=—+—+—

5.求不定方程1°xyz的整数解，你能求出全部整数解并证明再没

有别的角吗？

6.计算

+・・・+

1x2x32x3x43x4x598x99x100

五年级奥数下册：第七讲不定方程1/n=1/x+1/y的整数解习题解答

习题七解答

,11111

_=__+__=_+__

■51010630

2.301=22X32X52,为找出它的全部因子，我们这里介绍“字典法则”:

2o.3o.50=1,20•30•51=5,20•3°•52=25,

20•31•5°=3,20•31*5E5,20•3X•5J75,

2。•32♦50=9,20•3:•5f,2。•32•5三225,

2-3。♦5°=2,21•30•5i=10,21.3。♦52=50,

21•31•5°=6,21♦31•5i=30,21*31*5:=150,

21♦32•50=18,21•32•51=90,21♦32♦5F0

22•3°•5M,22•3°♦51=20,22.30.52=100,

2;•31•50=12,2:•31•51=60,22•31•52=300,

22

2：.32.5°=36,2•3•51=180,22•32.52=900

大家都知道英语字典排序规则，先有a部，再看第二个字母的顺序，第二个

字母相同时，看第三个字母的顺序，等等.这里因子的嘉值正好借用作顺序编

号.(当然上题每个因子恰好是2次得，如别的也一样，如：23X22X51的因子

字典法排序为：

2°•3°♦5°,2°•3°•5°,'

2°♦31♦50,20*31♦51,I先排2。的有6个

再排戏的也有6个

21•3°•5°,21•30•51

23•3°•5°,23•3°•51

最后2s的也有6个

23•31•5°,23•31•51,共有4X3X2=24个.)

23•32*5°,23•32•51

回到本题，302的27个因子从小到大按方向”排序为:

123456910121518202530

AAJ.A小小

■..

VTTTT

90045030022518015010090756050453630

其实只要排出30以下，另一头用30；的互补因子即可，利用

11111

--=------+-------—+—

3030+t30+t'xy

立即知x+y=60+t+<现在问题转化成求t+t的最大最小值问题了.这里要求小

学生会联想和类比，大家知道等积问题的一种结论：面积固定的长方形中，正

方形的周长最小.或者两数乘积不变的情况下，两数相等时和最小。

现在t<=3()2固定，要t+f最小，当然是t=f=30,所以x、最小为120。

那么x+y最大，也即60+t+t最大，经前面t,t排成二行的表一看就知为

60+90044=961。

3.按照公式〒1^=1-2可得:

n(n+1)nn+1

1_11

-i---=i__—i_

i^2'=i-2

2x323

1_11111

3><4~3~4,，99x100-99~100

因此

----+-----+-----++---------

1x22x33x499x100

+------+--------

2233~4989999100

1_99

100-ioo

1111111111

.=_—_

4.—+—=1-—10+15=I-3*2?+28

36234

111111111111

364545'556656’789167’

11_11

105+120=7-8*

因此

11111111111111

—+—+—+—+—+——+——+—+—+——+——+—+-----+------

3610152128364555667891105120

,17

=1--=­O

88

5.首先设x<z,因为显然不会有x=y=z的解.由推广的抽屉原理:

10x^3(ioj30

.10彳/30，2

———=4+y,

又因迦须是整数，所以x可能的值只有：2、3、4o

Zr.71111

①如X1=2,-.......=y=—+—,

10X]5yz

利用前面知识52只有两组互补