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文档简介

第二节初等函数的导数一、按定义求导数三、反函数的求导法则四、复合函数的导数二、函数四则运算的求导法则五、隐函数的求导法则六、对数求导法七、初等函数的导数八、高阶导数1一、按定义求导数１．常数的导数2．幂函数的导数所以23正弦函数和余弦函数的导数即即同理34．对数函数的导数即特别地，时4二、函数四则运算的求导法则5证(1)6证(3)7推论8例2-5已知函数,求例2-6已知函数,求解解9解例2-7已知函数,求同理可得即10解同理可得即例2-8已知函数,求11例2-9已知函数,求解12三、反函数的求导法则定理2-1即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.13于是有证明即14例2-10解即特别地,当时,15解同理可得例2-11即16四、复合函数的导数定理2-2

即

因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导.(锁链法则)或证明则有17推广则复合函数的导数为或18解解例2-12已知函数,求例2-13已知函数,求19例2-14已知函数,求

比较熟练后,中间变量不必写出来,直接按锁链法则对复合函数求导.解20

例2-15

证明幂函数的求导公式对任意实数指数成立.证明将化为,则例如,21例2-16已知函数,求解为幂指函数,将其化为,则例2-17已知函数,求解22例2-18放射性同位素碘广泛用来研究甲状腺的功能.现将含量为的碘通过静脉推入病人的血液中,血液中时刻碘的含量为(其中为正常数),试求血液中碘的减少速率.解由上可知,这表明碘的减少速率与它当时所存在的量成正比.23解例2-1924五、隐函数的求导法则

如果联系两个变量和的函数式是由方程来确定的，这样的函数称为隐函数.隐函数的显化例如（显化）（不能显化）问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?

直接从方程两边来求导,称为隐函数的求导法则.25

例2-20

已知函数是由椭圆方程所确定的,求解方程两边分别关于求导,由复合函数求导法则和四则运算法则有解得26

例2-21

已知函数是由方程确定的.求和解方程两边分别关于求导,由复合函数求导法则和四则运算法则有解得所以27

例2-22

设生物群体总数的生长规律为其中均为常数,且.试求生长率解将写成如下形式两边对求导得整理得28六、对数求导法

方法:

先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:解两边取对数，得两边对求导，得例2-23已知函数,求29所以解两边取对数，得例2-24已知函数,求301.基本初等函数的导数公式七、初等函数的导数312.函数的和、差、积、商的求导法则设)(),(xvvxuu==可导，则（1）vuvu¢¢=¢)(,（2）uccu¢=¢)(（3）vuvuuv¢+¢=¢)(,（4）)0()(2¹¢-¢=¢vvvuvuvu.(是常数)或3.复合函数的导数32八、高阶导数记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶导数的导数称为三阶导数,33二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.例2-25已知指数函数(为常数),求解例2-26已知次多项式求的各阶导数.解34例2-27

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