2024年人教版七年级数学寒假提高讲义 第05课 平行线与相交线章节复习及单元测试（原卷版）

第第页第05课平行线与相交线章节复习及单元测试课程标准1.熟练掌握对顶角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；2.区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3.了解命题的概念及构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；4.了解平移的概念及性质.知识精讲知识精讲知识点01相交线1.对顶角、邻补角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角112∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角SKIPIF1<0有公共顶点∠3与∠4有一条公共边，另一边互为反向延长线.邻补角互补即∠3+∠4=180°注意：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线.⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线.⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.2.垂线及性质、距离（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作：AB⊥CD，垂足为O.注意：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.（2）垂线的性质：垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记).垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.注意：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.知识点02平行线1.平行线判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.判定方法2：内错角相等，两直线平行.判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.注意：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2.平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.注意：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点.（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直.3.两条平行线间的距离如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.注意：（1）两条平行线之间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度,平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解“垂线段”与“距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.知识点03命题及平移1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题.每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移.注意：平移的性质：（1）平移后，对应线段平行(或共线)且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行(或共线)且相等；【典例1】如图，已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A=20°，∠C=120°，则∠AED的度数是________.【即学即练1】如图，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠3，你能判断∠C与∠AED的大小关系吗？并说明理由.分类讨论思想【思想解读】分类讨论思想是一种常见的数学思想方法.具体来说，就是把包含多种可能情况的问题，按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行解决.【应用链接】在几何问题中，涉及到图形之间的位置关系不定时，需要应用分情况讨论问题的方法.【典例2】如图，AD∥BC，当点P在射线OM上运动时(点P与点A，B，O三点不重合)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD与∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由.【即学即练2】如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第________秒时，边CD恰好与边AB平行.方程思想【思想解读】方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解的思维方式.【应用链接】在应用垂直、角平分线或角度之间的比值进行角度的计算时，常用方程的思想，构建方程解决问题.【典例3】如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，FO⊥CD于点O，若∠BOD∶∠EOB=2∶3，求∠AOF的度数.平行线与相交线单元检测一、单选题1.下面的四个图形中，能够通过基本图形平移得到的图形有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列命题是真命题的是（）A.如果数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的积SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是正数B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等C.有公共点的两个角是对顶角D.两直线平行，同旁内角互补3.如图，直线a、b被直线c所截，下列选项中不一定能判定a∥b的是（）A.∠1＝∠3B.∠1＝∠4C.∠2＝∠4D.∠2＝∠54.如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点O到PR所在直线的距离是线段（）的长.A.OQB.ORC.OPD.PQ5.下列说法中，错误的是（）A.两点之间线段最短B.若AC＝BC，则点C是线段AB的中点C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D.平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直6.如图所示，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，则下列条件中能判定AB∥CD的是（）A.∠1＝∠2B.∠DAE＝∠BC.∠D＋∠BCD＝180°D.∠3＝∠47.一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（

）A.第一次向右拐50°，第二次向左拐130°

B.第一次向右拐50°，第二次向右拐130°C.第一次向左拐50°，第二次向左拐130°

D.第一次向左拐30°，第二次向右拐30°8.如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A.102°B.108°C.124°D.128°9.如图所示，若AB∥EF，用含SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的式子表示SKIPIF1<0，应为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<010.如图，直线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0、点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0的角平分线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为（）A.26ºB.32ºC.36ºD.42º二、填空题11.如图所示，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是___________________.12.把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是______.13.如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为_____.14.如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为_____________.15.如图，请你添加一个条件使得AD∥BC，所添的条件是__________.16.如图，AB∥CD，则∠1+∠3—∠2的度数等于__________.三、解答题17.如图，l1，l2，l3交于点O，∠1＝∠2，∠3∶∠1＝8∶1，求∠4的度数.18.如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图、解答.（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；（3）若∠DCB=120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由19.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0图中SKIPIF1<0的余角是______SKIPIF1<0把符合条件的角都填出来SKIPIF1<0；SKIPIF1<0如果SKIPIF1<0，那么根据______可得SKIPIF1<0______度；SKIPIF1<0如果SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的度数.20.如图，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试说明SKIPIF1<0的理由.解：把SKIPIF1<0的对顶角记作SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（对顶角相等）.因为SKIPIF1<0（已知），所以SKIPIF1<0（），所以SKIPIF1<0（）.（请继续完成接下去的说理过程）21.如图，点D、E在AB上，点F、G分别在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2.（1）求证：DC∥EF；（2）若EF⊥AB，∠1＝55°，求∠ADG的度数.22.如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC.23.已知：直线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别在直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0为平面内一点.（SKIPIF1<0）如图，SKIPI