人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第12课 平面向量的应用 三（原卷版）

第第页第12课平面向量的应用三解三角形（重难点题型精讲）1.余弦定理(1)余弦定理及其推论的表示(2)对余弦定理的理解①余弦定理对任意的三角形都成立.

②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量.

③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角.

④余弦定理的另一种常见变式：SKIPIF1<0+SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0＝2bcSKIPIF1<0A，SKIPIF1<0+SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0＝2acSKIPIF1<0B，SKIPIF1<0+SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0＝2abSKIPIF1<0C.2.正弦定理(1)正弦定理的表示在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.(2)正弦定理的常见变形在△ABC中，由正弦定理得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝k(k＞0)，则a＝kSKIPIF1<0A，b＝kSKIPIF1<0B，c＝kSKIPIF1<0C，由此可得正弦定理的下列变形：①SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，aSKIPIF1<0B＝bSKIPIF1<0A，aSKIPIF1<0C＝cSKIPIF1<0A，bSKIPIF1<0C＝cSKIPIF1<0B；

②SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0；

③a:b:c＝SKIPIF1<0A:SKIPIF1<0B:SKIPIF1<0C；④SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝2R，（R为△ABC外接圆的半径）.(3)三角形的边角关系

由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系.3.解三角形(1)解三角形的概念一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.(2)余弦定理在解三角形中的应用利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：

①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角；

③已知三边，求三角形的三个角.(3)正弦定理在解三角形中的应用公式SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0反映了三角形的边角关系.

由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.上述的每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：

①已知两角和任意一边，求其他的边和角，

③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角.4.测量问题(1)测量距离问题的基本类型和解决方案

当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：(2)测量高度问题的基本类型和解决方案

当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：(3)测量角度问题测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.5.对三角形解的个数的研究已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.

已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.

(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明.

由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：

①若SKIPIF1<0B＝SKIPIF1<0＞1，则满足条件的三角形的个数为0；

②若SKIPIF1<0B＝SKIPIF1<0＝1，则满足条件的三角形的个数为1；

③若SKIPIF1<0B＝SKIPIF1<0＜1，则满足条件的三角形的个数为1或2.

显然由0＜SKIPIF1<0B＝SKIPIF1<0＜1可得B有两个值，一个大于SKIPIF1<0，一个小于SKIPIF1<0，考虑到“大边对大角”、“三角形内角和等于SKIPIF1<0”等，此时需进行讨论.(2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下：6.三角形的面积公式(1)常用的三角形的面积计算公式①SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0aSKIPIF1<0SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0bSKIPIF1<0SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0cSKIPIF1<0SKIPIF1<0(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分别为边a,b,c上的高).

②将SKIPIF1<0＝bSKIPIF1<0C，SKIPIF1<0＝cSKIPIF1<0A，SKIPIF1<0＝aSKIPIF1<0B代入上式可得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0abSKIPIF1<0C＝SKIPIF1<0bcSKIPIF1<0A＝SKIPIF1<0acSKIPIF1<0B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半.(2)三角形的其他面积公式①SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0r(a+b+c)＝SKIPIF1<0rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长.

②SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【题型1三角形的解的个数问题】【方法点拨】方法一：从代数的角度分析，利用正弦定理进行分析；方法二：从几何的角度分析，结合几何图形进行分析求解.【例1】在△ABC中，a＝18，b＝24，∠A＝45°，此三角形解的情况为（

）A.一个解B.二个解C.无解D.无法确定【变式1﹣1】在△ABC中，若b=3，c=322，B=A.无解B.两解C.一解D.解的个数不能确定【变式1﹣2】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则下列条件能确定三角形有两解的是（

）A.a=5,b=4,A=π6B.a=4,b=5,A=π4C.a=5,b=4,A=【题型2利用正弦定理解三角形】【方法点拨】事实上，所谓解三角形本质上就是解基于边角的内蕴方程，已知三角形的两角与一边解三角形时，(1)由三角形内角和定理A+B+C＝SKIPIF1<0，可以计算出三角形的第三个角；(2)由正弦定理SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，可计算出三角形的另两边.【例2】在△ABC中，sinA=13，b=3sinA.32B.33C.3D【变式2﹣1】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=2,b=5,B=45∘，则A.25B.105C.55【变式2﹣2】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，cosB=13，则△ABCA.324B.322C.2【题型3利用余弦定理解三角形】【方法点拨】根据具体题目，利用余弦定理或其推论，进行转化求解即可.【例3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a:b:c=3:7:2，则B等于（A.π6B.π4C.π3【变式3﹣1】在△ABC中，a=7,b=43,c=13A.π3B.π4C.π6【变式3﹣2】在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若sinA=32，b=3，c=5，则a=A.7B.19C.7或19D.19【题型4三角形的面积问题】【方法点拨】根据具体条件，结合三角形面积公式，进行转化求解即可.【例4】（已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=217,b=52,cosA.362B.183C.27D【变式4﹣1】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinB=bsinC，则A.a2sin2C2B.b2sin2A2【变式4﹣2】已知△ABC中，sinA＝3sinCcosB，且AB＝2，则△ABC的面积的最大值为（

）A.3B.33C.9D.【题型5正、余弦定理在几何图形中的应用】【方法点拨】正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.【例5】如图，在锐角△ABC中，B=π4，AB=36，AC=6，点D在BC(1)求∠ACB；(2)求△ACD的周长.【变式5﹣1】在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a=3，b=2，cosA=(1)求c的值；(2)求sinC的值及△ABC【变式5﹣2】在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sinA−(1)求角B的值；(2)若a=2，求△ABC的周长的取值范围.【题型6解三角形的实际应用】【方法点拨】正、余弦定理在解决实际问题中的应用，本质上还是正、余弦定理在解决几何图形(主要是三角形与四边形)问题中的应用，因此利用几何图形本身及实际问题中涉及的术语(如方位角等)构建恰当的三角形，在三角形中运用正弦定理或余弦定理即可.【例6】某景区的平面示意图为如图的五边形ABCDE，其中BD，BE为景区内的乘车观光游览路线，ED，DC，CB，BA，AE是步行观光旅游路线（所有路线均不考虑宽度），经测量得：∠BCD＝135°，∠BAE＝120°，∠CBD＝30°，CD=32，DE＝8，且cos(1)求BE的长度；(2)景区拟规划△ABE区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域△ABE面积最大，并求此最大值.【变式6﹣1】江西浮梁地大物博，山清水秀；据悉，某建筑公司在浮梁投资建设玻璃栈道､摩天轮等项目开发旅游产业，考察后觉得当地两座山之间适合建造玻璃栈道，现需要测量两山顶M，N之间的距离供日后施工需要，特请昌飞公司派直升机辅助