八年级讲义特殊的平行四边形

/环球雅思教育学科教师讲义讲义编号：副校长/组长签字：签字日期：学员编号：年级：八课时数：3课时学员姓名：TR版辅导科目：数学学科教师：孟彦课题19.2特殊的平行四边形授课日期及时段教学目的重难点教学内容【基础知识巩固】平行四边形判定定理：1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。2、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

4、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

6、两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形。7、相邻两角分别互补的四边形是平行四边形。矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形的性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等；注意：矩形具有平行四边形的一切性质.矩形的判定定理：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2注意：菱形也具有平行四边形的一切性质菱形的判定定理：1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形2、四条边都相等的四边形是菱形3、对角线互相平分的四边形是菱形正方形的定义：有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质正方形的判定定理：1、四条边都相等的平行四边形是正方形2、有一组邻边相等的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形【典型例题分析】矩形1.如图,工人师傅砌门时,常用木条EF固定矩形门框ABCD,使其不变形,这种做法的根据是()A.两点之间线段最短B.矩形的对称性C.矩形的四个角都是直角D.三角形的稳定性解析：因钉上EF后,构成△CEF,根据三角形的稳定性使其不变形.答案:D2.把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM为折痕,折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上,则∠EMF的度数是()A.85°B.90°C.95°D.100°解析：∠EMF=∠EMB′+∠FMB′=∠BMC′+∠CMC′=×180°=90°答案:B3.如图,矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=______________________cm.解析：因为按如题图方式折叠后点B与点D重合，所以DE=BE.设DE=x，则AE=AB-BE=AB-DE=10-x.在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即42+（10-x）2=x2，解得x=5.8.答案:5.84.如图,矩形ABCD中，M是CD的中点.求证：（1）△ADM≌△BCM；（2）∠MAB=∠MBA.答案：证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADM=∠BCM，AD=BC.∵M是CD的中点，∴DM=CM.∴△ADM≌△BCM.（2）∵△ADM≌△BCM，∴MA=MB.∴∠MAB=∠MBA.5.如图,四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点.（1）如果__________________，则△DEC≌△BFA（请你填上能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论.答案：（1）答案:AE=CF（OE=OF；DE⊥AC,BF⊥AC,DE∥BF等等）（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∠DCE=∠BAF.又∵AE=CF,∴AC-AE=AC-CF.∴AF=CE.∴△DEC≌△BFA.6.如图,在平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°，则四边形ABCD是矩形.试说明理由.答案:证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC、BD互相平分.又∵△BED、△AEC是直角三角形，且BD、AC是斜边，∴OE=BD，OE=AC.∴AC=BD.∴平行四边形ABCD是矩形.菱形1.如图,已知菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC,交BC于点E,AD=6cm,则OE的长为()A.6cmB.4cmC.3cmD.2cm解析：OE是Rt△BOC的斜边BC上的中线,故OE=BC=AD=3cm.答案:C2.顺次连结矩形各边中点所得的四边形是()A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形解析：连结矩形的两条对角线，则相邻两边中点的连线是三角形的中位线.由三角形的中位线等于第三边的一半及矩形两条对角线相等可得中点四边形的各边都相等，故顺次连结矩形各边中点所得的四边形是菱形.答案:C3.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是()A.等腰梯形B.正方形C.矩形D.菱形解析：因为等边三角形的三条边都相等，所以用它拼成的四边形的四条边都相等，而四条边都相等的四边形是菱形，因此选D.答案:D4.菱形的一个内角是120°，一条较短的对角线的长为10，则菱形的周长是______________.解析：由菱形的邻角互补，可知菱形的另一组内角是60°，60°内角所对的对角线是较短的.根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可推出菱形边长是10，因此菱形周长是40.答案:405.如图所示,在菱形ABCD中,AC、BD相交于O,且AC∶BD=1∶,若AB=2.求菱形ABCD的面积.解：菱形两对角线将其分割为四个全等的直角三角形.设AO=x,因为四边形ABCD为菱形,所以AO=CO,BO=DO,AC⊥BD.又因为AC∶BD=1∶,所以AO∶BO=1∶,BO=.在Rt△ABO中,因为AB2=BO2+AO2,所以AB2=()2+x2=22.所以x=1.所以AO=1,BO=.所以AC=2,BD=.所以菱形的面积为×2×=.6.如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E.又点F在DE的延长线上，且AF=CE.求证：四边形ACEF是菱形.答案:证明：∵∠ACB=90°，DE是BC的中垂线，∴E为AB边的中点.∴CE=AE=BE.∵∠BAC=60°，∴△ACE为正三角形.在△AEF中，∠AEF=∠DEB=∠BAC=60°，而AF=CE，又CE=AE,∴AE=AF.∴△AEF也为正三角形.∴∠CAE=∠AEF=60°.∴ACEF.∴四边形ACEF为平行四边形.又CE=AC，∴平行四边形ACEF为菱形.7.如图,在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），张丰同学按照沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？解：（方案一）S菱形=S矩形-4S△AEH=12×5-4××6×=30（cm2）.（方案二）设BE=x，则CE=12-x,∴AE=.因为四边形AECF是菱形，则AE2=CE2,∴25+x2=(12-x)2.∴x=.∴S菱形=S矩形-2S△ABE=12×5-2××5×≈35.21(cm2).经比较可知，(方案二)张丰同学所折的菱形面积较大.【重点知识巩固】矩形1.如图,矩形ABCG(AB＜BC)与矩形CDEF全等,点B、C、D在同一条直线上,∠APE的顶点P在线段BD上移动,使∠APE为直角的点P的个数是()A.0B.1C.2D.3解析：观察易得只有一个,应选B.答案:B2.如图是一块矩形ABCD的场地，长AB=102m，宽AD=51m，从A、B两处入口的中路宽都为1m，两小路会合处路宽为2m，其余部分为草坪，则草坪面积为()A.5050m2B.4900m2C.5000m2D.4998m2解析：根据平移的性质：平移不改变图形的大小.本题可将两侧的草坪分别向中间平移1m，向下平移1m，三块草坪拼成了一个长为100m，宽为50m的矩形，因此草坪的面积为100×50=5000m2.答案:C3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点G,E为AD的中点,连结BE交AC于F,连结FD,若∠BFA=90°,则下列四对三角形:①△BEA与△ACD;②△FED与△DEB;③△CFD与△ABG;④△ADF与△CFB.其中相似的为()A.①④B.①②C.②③④D.①②③解析：由题意,根据三角形相似的判定方法知,①②③是正确的.答案:D4.如图,矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，则图中阴影部分的面积是___________________.解析：求图中阴影部分的面积，由三角形的面积公式S△=×底×高，只需知道DE、AB即可.由折叠的特性可知∠DBC′=∠DBC，由AD∥BC得∠ADB=∠DBC，因此∠DBC′=∠ADB，故BE=DE.可设AE=x，则BE=4-x，在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB2+AE2=BE2，即32+x2=（4-x）2，解得x=，BE=.因此阴影部分的面积为.答案:5.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE=1∶3，OF=4，求∠ADB的度数和BD的长.解：由矩形的性质可知OD=OC.又由OE∶BE=1∶3可知E是OD的中点.又因为CE⊥OD，根据三线合一可知OC=CD,即OC=CD=OD，即△OCD是等边三角形,故∠CDB=60°.所以∠ADB=30°.又由矩形是轴对称图形得CD=2OF=8,即BD=2OD=2CD=16.6.如图,在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE=DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.答案:证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DC=AB.∴∠DAE=∠AFB.∵DE=DC，∴DE=AB.∵DE⊥AG，∴∠DEA=∠ABF=90°.∴△ABF≌△DEA.7.一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如图（3）的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.（1）求证:AB⊥ED；（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明.答案:(1)证明：由题意得∠A+∠B=90°，∠A=∠D，∠D+∠B=90°，∴AB⊥ED.（2）解:若PB=BC，则有Rt△ABC≌Rt△DBP.∵∠B=∠B，∠A=∠D，PB=BC，∴Rt△ABC≌Rt△DBP.注：(图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对：Rt△APN≌Rt△DCN，Rt△DEF≌Rt△DBP，Rt△EPM≌Rt△BFM)8.现有一张长和宽之比为2∶1的长方形纸片,将它折两次(第一次折后也可打开铺平再折第二次),使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分(称为一次操作),如图①(虚线表示折痕).除图①外,请你再给出三种不同的操作,分别将折痕画在图③至图⑤中(规定:一个操作得到的四个图形,和另一个操作得到的四个图形,如果能够“配对”得到四组全等的图形,则就认为是相同的操作,如图①和图②表示相同的操作).解：如下图中任意三个都可.菱形1.下列结论正确的是()A.邻角相等的四边形是菱形B.有一组邻边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形解析：根据菱形的判定定理:对角线互相垂直平分的四边形是菱形.答案:D2.菱形的周长为32cm,一个角的度数是60°,则两条对角线的长分别是()A.8cm和cmB.4cm和cmC.8cm和cmD.4cm和cm解析：因菱形四边相等,所以每边都为8,其对角线平分一组对角,根据一个角是60°,可求得.答案:C3.在平面上,一个菱形绕它的中心旋转,使它和原来的菱形重合,则旋转的角度至少是()A.90°B.180°C.270°D.360°解析：由菱形为中心对称图形可知B正确.答案:B4.在菱形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足为E、F,且BE=EC,CF=FD,则∠AEF等于()A.120°B.45°C.60°D.150°解析：因为AE垂直平分BC,所以AB=AC.又因为AB=BC,所以△ABC为等边三角形.∠BAC=60°,∠EAC=30°.同理可证∠FAC=30°,△AEF是等边三角形,所以∠AEF=60°.答案:C5.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC=4,BD的长为()A.B.C.D.8解析：∵ABCD为菱形,∴AB=BC.又∵∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形.∴AB=BC=AC=4,∠ABO=30°,∠AOB=90°.在△AOB中,OB==.∴BD=BO+OD=.答案:B6.如图,在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由.解：添加条件：对角线相等.理由：连结AC、BD.在△ABC中，∵AE=BE，BF=CF，∴EF为△ABC的中位线.∴EF=.同理可得FG=，GH=，HE=.又∵AC=BD（添加条件）,∴EF=FG=GH=HE.故四边形EFGH为菱形.7.如图,已知过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H.求证：四边形EFGH是菱形.答案:证明：在ABCD中，OD=OB，OA=OC，AB∥CD，∴∠OBG=∠ODE.又∵∠BOG=∠DOE，∴△OBG≌△ODE.∴OE=OG.同理OF=OH.∴四边形EFGH是平行四边形.又∵EG⊥FH，∴四边形EFGH是菱形.8.北京101中学的学生为迎接2008年奥运会,美化校园,在周长为12m,夹角为60°的菱形花坛里栽十株花.试证明:不论如何安排,至少有两株花的距离小于m.答案:证明：如图,把菱形花坛分成9个菱形,由此可得至少有一个小菱形里要栽两株花,因为小菱形的对角线长为m,所以至少有两株花的距离小于m.9.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F.求证:四边形AFCE是菱形.答案:证明：∵EF垂直平分AC,∴EF⊥AC,AO=CO.∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC.∴∠AEO=∠CFO.∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.∴四边形AECF是平行四边形.又∵AC⊥EF,∴四边形AFCE是菱形.【课后强化练习】矩形1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是()A.对角线互相平分B.邻角互补C.对角线相等D.对角相等答案:C2.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是()A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否都为直角D.测量其中三个角是否都为直角答案:D3.如图,在△ABC中，∠C=90°，D是AB边的中点，AC=3，BC=4，则CD=__________.解析：由勾股定理可求AB==5，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出CD=2.5.答案:2.54.矩形ABCD的两对角线AC、BD相交于点O,∠AOB=60°,OA=3,则AC=_______________,AB=_________________.解析：∵矩形对