北理工《概率论与数理统计》题库复习资料

PAGE北理工《概率论与数理统计》FAQ（一）【古典概型】把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），计算：（1）无空盒的概率；（2）恰有一个空盒的概率.解：4个球任意投入4个不同的盒子内有44种等可能的结果.（1）其中无空盒的结果有A种，所求概率P==.答：无空盒的概率是.（2）先求恰有一空盒的结果数：选定一个空盒有C种，选两个球放入一盒有CA种，其余两球放入两盒有A种.故恰有一个空盒的结果数为CCAA,所求概率P（A）==.答：恰有一个空盒的概率是.【条件概型】盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。解设Ai为第i次取球时取到白球，则 求得：3/70【条件概型＋全概型】市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。解 设B买到一件次品，A1为买到甲厂一件产品A2为买到乙厂一件产品A3为买到丙厂一件产品可得：＝0.00225【贝叶斯公式】商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.B0,B1,B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品 已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1由Bayes公式:【伯努利概型】在体育比赛中，若甲选手对乙选手的胜率是0.6，那么甲在五局三胜与三局两胜这两种赛制中，选择哪个对自己更有利解：在五局三胜赛制中，甲获胜的概率为P5(3)+P5(4)+P5(5) =0.6826在三局两胜赛制中，甲获胜的概率为P3(2)+P3(3)=0.648甲应选择五局三胜制。设随机变量的分布密度为：试求：（1）；（2）分布函数解：(1)P(-1/2<<1/2)=当x<-1时F(x)=当时F(x)=当x时F(x)=（2）故分布函数为F(x)=已知随机变量X的所有可能取值是0,1,2,3,取这些值的概率依次为0.1,0.2,0.3,0.4,试写出X的分布函数.解答：由分布函数的定义可得三、一工厂生产的电子管寿命服从参数为和的正态分布，，若要求，问最大允许为多少？解：，从而，，即允许最大为31.25。一、设随机变量服从参数为的0-1分布，求.解：依题意，的分布律为011-由，有二、袋中有张卡片，记有号码.现从中有放回地抽出张卡片来，求号码之和的数学期望.解：设表示第次取得的号码，则，且，其中，，故，，从而.三、设随机变量的分布律为-2020.40.30.3求，，.解：，，.四、设随机变量的概率密度为，求.解：概率密度可转化为，五、设随机变量的概率密度为，求：（1）的数学期望；（2）的数学期望.解：（1）（2）六、设随机变量服从泊松分布，且，求的期望与方差.解：的分布律为，于是由已知条件得，即，解之得（舍去），，故七、设随机变量，，相互独立，且有，，设，求.解：八、设服从参数为2的泊松分布，，试求，，，.解：，，，九、设随机变量的方差，随机变量的方差，又与的相关系数，求与.解：十、设随机变量的分布律为-101-1001试验证和是不相关的，且和不相互独立.解：先求，的边缘分布律-101，-101因为，所以与不相互独立，又.于是，即，因此，与是不相关的.某工厂每天用水量保持正常的概率为，求最近6天内用水量正常的天数的分布。解:

设最近6天内用水量保持正常的天数为。它服从二项分布，其中，，用公式(4.1)计算其概率值，得到：…列成分布表如表4-1：表4-1二、10部机器各自独立工作，因修理调整等原因，每部机器停车的概率为0.2。求同时停车数目的分布。解:

服从二项分布，可用贝努里公式计算。现将计算结果列成分布表如表4-2：表4－2三、一批产品的废品率，进行20次重复抽样（每次抽一个，观察后放回去再抽下一个），求出现废品的频率为0．l的概率。解：令表示20次重复抽取中废品出现的次数，它服从二项分布。四、某批产品有的一等品，对它们进行重复抽样检验，共取出4个样品，求其中一等品数的最可能值，并用贝努里公式验证。

解

服从二项分布，是整数，所以和时为最大。即取出4个样品时，一等品个数最可能是3或4。

用贝努里公式计算多的分布律如表4-3：表4-3可见，具体计算出的概率也正好在及时为最大。五、某班有学生20名，其中有5名女同学，今从班上任选4名学生去参观展览，被选到的女同学数是一个随机变量，求的分布。

解：可以取0，l，2，3，4这5个值，相应概率应按下式计算：

计算结果列成概率分布表如表4－4。表4－4六、若一班有学生20名，其中有3名女同学，从班上任选4名去参观，求被选到的女同学人数这一随机变量的分布律。

解

可以取0，1，2，3这4个值。与例1同样的方法计算可得：列成概率分布表如表4－5：表4－5七、一大批产品的废品率为，求任取一箱（有100个产品），箱中恰有一个废品的概率。解所取一箱中的废品个数服从超几何分布，由于产品数量很大，可按二项分布公式计算，其中。但由于较大而很小，可用普哇松分布公式近似代替二项分布公式计算。其中，查表得：误差不超过1％。八、检查了100个零件上的疵点数，结果如表4-6：表4-6试用普哇松分布公式计算疵点数的分布，并与实际检查结果比较。解

查附表一并与频率比较，列表如表4-7：表4-7九、,求及解：因为，所以

附表三中表示。十、求及。解

查表可得

解此方程组，得到：一、设是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为的泊松分布。记，试用中心极限定理计算。解：由中心极限定理可认为，则。总结：先求出随机变量函数的分布，然后按照中心极限定理的规定计算。二、一部件包括10部分。每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立且具有同一分布。其数学期望为2mm，均方差为0.05mm，规定总长度为200.1mm时产品合格，试求产品合格的概率。解：由中心极限定理可认为总长度，则。总结：根据中心极限定理得到要衡量的变量的随机分布，然后求解概率。三、一个加法器同时收到20个噪声电压。设它们是相互独立的随机变量，且都在区间上服从均匀分布。为加法器上受到的总噪声电压，求解：由中心极限定理可知，则总结：根据中心极限定理得到要衡量的变量的随机分布，然后求解概率。四、计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在上服从均匀分布。（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）问几个数加在一起可使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？解：（1）由中心极限定理：误差总和，因此。（2）由题意得：，即，即。总结：将文字语言转化为相应的数学问题，然后根据相应的定义求解。一、随机地观察总体，得10个数据如下：将它们由小到大排列为

其样本分布函数是：二、设总体～，是取自总体的样本，是样本均值，问样本容量n至少应取多大，才能使？解：，三、设是来自正态总体的简单随机样本，已知E＝（k=1,2,3,4），证明：当n充分大时，随机变量近似服从正态分布，并指出其分布参数。证明：因为；所以，所以五、从正态总体中抽取容量为ｎ的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量ｎ至少应取多大？解：，，六、设总体服从（），从该总体中抽取简单随机样本（ｎ２），其样本均值为＝，求统计量＝的数学期望E。解：，即，一、随机测定8包大米的重量（单位：千克）20.520.320.019.320.020.420.2，试求总体均值及方差的矩估计值，并求样本方差。解：总结：样本均值，方差的定义。二、设是取自参数为的泊松分布总体的一个样本，试求的矩估计量和极大似然估计量。解：⑴矩估计：⑵极大似然估计：总结：矩估计，极大似然估计的定义，计算步骤。三、设总体，为其样本，与是样本均值与样本方差。对任意实数，求证：是的无偏估计。证明：总结：无偏性的定义。四、设总体，（，常数），为其样本，求证：是的无偏估计。证明：总结：无偏性的定义。五、设为总体的一个样本，未知，⑴求证：是的无偏估计；⑵问与作为的估计哪一个更有效？证明：⑴解：⑵而，更有效总结：无偏性，有效性的定义。一、某化学日用品有限责任公司用包装机包装洗衣粉,洗衣粉包装机在正常工作时,装包量(单位:),每天开工后,需先检验包装机工作是否正常.某天开工后,在桩号的洗衣粉中任取9袋,其重量如下:假设总体标准差不变,即试问这天包装机工作是否正常?解 (1)提出假设检验:(2)以成立为前提,确定检验的统计量及其分布,(3)对给定显著性水平确定的接受域或拒绝,取临界点为使故被接受与拒绝的区域分别为(4)由样本计算统计量的值(5)对假设作出推断因为(拒绝域),故认为这天洗衣粉包装机工作不正常.二、某厂生产的一种螺钉,标准要求长度是68mm.实际生产的产品，其长度服从正态分布考虑设检验问题设为样本均值，按下列方式进行假设检验:当时，拒绝假设当时，接受假设（1）当样本容量求犯第一类错误的概率;（2）当时，求犯第一类错误的概率（3）当不成立（设，又时，按上述检验法，求犯第二类错误的概率.解 当时,有所以(2)当时,有注:随着样本容量的增大,得到关于总体的信息更多,从而犯弃真错误的概率越小.(3)当时,这时,犯第二类错误的概率进一步,当时,同样可计算得当时,注:由(3)中可知,在样本容量确定的第件下,的真值越接近犯取伪错误的概率越大.总体均值的假设检验1．方差已知情形三、某车间生产钢丝,用X表示钢丝的折断力,由经验判断其中;今换了一批材料,从性能上看估计折断力的方差不会有什么变化(即仍有),但不知折断力的均值和原先有无差别.现抽得样本,测得其折断力为:578572570568572570570572596584取试检验折断力均值有无变化?解 (1)建立假设(2)选择统计量(3)对于给定的显著性水平确定使查正态分布表得从而拒绝域为(4)由于所以故应拒绝即认为折断力的均值发生了变化.四、一工厂生产一种灯管,已知灯管的寿命X服从正态分布根据以往的生产经验,知道灯管的平均寿命不会超过1500小时.为了提高灯管的平均寿命,工厂采用了新的工艺.为了弄清楚新工艺是否真的能提高灯管的平均寿命,他们测试了采用新工艺生产的25只灯管的寿命,其平均值是1575小时.尽管样本的平均值大于1500小时,试问:可否由此判定这恰是新工艺的效应,而非偶然的原因使得抽出的这25只灯管的平均寿命较长呢?解 把上述问题归纳为下述假设检验问题:从而可利用右侧检验法来检验,相应于取显著水平为查附表得因已测出从而由于从而否定原假设接受备择假设即认为新工艺事实上提高了灯管的平均寿命.2．方差未知情形五、水泥厂用自动包装机包装水泥,每袋额定重量是50kg,某日开工后随机抽查了9袋,称得重量如下:49.649.350.150.049.249.949.851.050.2设每袋重量服从正态分布,问包装机工作是否正常解 (1)建立假设(2)选择统计量(3)对于给定的显著性水平确定使查分布表得从而拒绝域为(4)由于所以故应接受即认为包装机工作正常.六、一公司声称某种类型的电池的平均寿命至少为2.15小时.有一实验室检验了该公司制造的6套电池,得到如下的寿命小时数:19,18,22,20,16,25试问:这些结果是否表明,这种类型的电池低于该公司所声称的寿命?(显著性水平).解 可把上述问题归纳为下述假设检验问题:这可利用检验法的左