二次型及其标准型课件

向量的内积、长度及正交性1

方阵的特征值与特征向量2

3

对称矩阵的对角化4相似矩阵及二次型

二次型及其标准型5正定二次型6第五章相似矩阵及二次型内容概要1精选课件ppt第五章相似矩阵及二次型

二次型及其标准型5.5教学要求1.掌握二次型及其有关概念掌握化二次型为标准型的两种方法

正交变换法、配方法2精选课件ppt5.5二次型及其标准型引例对于一般的二次曲线，只要选取适当的坐标旋转变换就可将曲线方程化为标准型（二次齐次式，只含平方项）在物理、力学及工程也有类似的问题，且往往是不止含有两个变量的二次齐次式，也可通过适当的线性变换，化为只含平方项的标准型。3精选课件ppt一二次型有关概念含有n

个变量的二次齐次多项式称为n元二次型。定义5.5二次型及其标准型4精选课件ppt二次型主要问题寻找可逆的线性变换二次型的标准型

规范型作可逆变换5.5二次型及其标准型一二次型有关概念5精选课件ppt

5.5二次型及其标准型A为对称矩阵一二次型有关概念6精选课件ppt（1）A一定是对称阵；（4）标准型的矩阵为对角阵；（5）规范型的矩阵也是对角阵,

（2）A

的对角线上的元素恰为的系数，对角元只能为1，-1或0。（3）是的系数的一半；5.5二次型及其标准型一二次型有关概念7精选课件ppt称实矩阵A为二次型f的矩阵。

f与A可建立一一对应的关系,即给了二次型，就可以得到实对称矩阵A;反之，给出了一个实对称矩阵

A，就可写出一个二次型f

。A的秩就是二次型f的秩。一二次型有关概念5.5二次型及其标准型8精选课件ppt将二次型写成矩阵形式课堂练习答案，并求出f

的秩。练习5.5二次型及其标准型9精选课件ppt二正交变换法前边提到将二次型化为标准型的主要问题为：寻找可逆的线性变换记得到标准型5.5二次型及其标准型10精选课件ppt若c为正交矩阵，在正交变换下就可将f转化为标准型二正交变换法5.5二次型及其标准型得到标准型前边提到将二次型化为标准型的主要问题为：寻找可逆的线性变换11精选课件ppt因为实二次型的矩阵A

为实对称方阵，故对任一个n元实二次型，一定可以找到一个正交变换，使得其中C为正交阵为实对称方阵A

的特征值。其中如何得到C呢定理5.5二次型及其标准型C的列向量是矩阵A的两两正交的单位向量，其中第j列是

j对应的特征向量二正交变换法12精选课件ppt求正交变换将二次型化为标准形。练习5.5二次型及其标准型课堂练习P130例14练习113精选课件ppt

合同的定义与性质设A和B是n阶矩阵,若有可逆矩阵C，使性质，我们称A与

B（1）当

C为正交阵时，因而正交相似变换也是合同变换。（2）A与

B合同A，B的特征值中正项个数和负项个数相等。定义合同。5.5二次型及其标准型14精选课件ppt配方法用正交变换法化二次型成标准型，具有保持

向量长度不变（设Q为n阶正交阵，y=Qx,则

）的优点。如果不限于用正交变换，还有很多方法，下面用配方法分两种情形来讨论。配方法含有平方项xi2不含有平方项xi2

，只有交叉项xixj5.5二次型及其标准型15精选课件ppt

化二次型成标准型，并求所用的变换矩阵。解由于f中含变量x1

的平方项,故把含x1的项归并起来，配方可得不再含x1继续配方，可得例15.5二次型及其标准型配方法16精选课件ppt

化二次型令即就把

f

化成标准型（规范型）所用的变换矩阵为5.5二次型及其标准型成标准型，并求所用的变换矩阵。例1配方法17精选课件ppt解由于f

中不含平方项,含x1

x2的乘积项，故令代入可得再配方，得令5.5二次型及其标准型配方法成规范型，并求所用的变换矩阵。化二次型例218精选课件ppt令即就把f

化成规范型5.5二次型及其标准型配方法成规范型，并求所用的变换矩阵。化二次型例219精选课件ppt因为x=c1y=c1c2z,故所用的变换矩阵为5.5二次型及其标准型配方法成规范型，并求所用的变换矩阵。化二次型例220精选课件ppt小结二次型的标准型显然不是唯一的，只是标准型中所含的项数（系数≠0）确定（即是二次型的秩。在限定变换为实变换时，标准型中正系数的个数是不变的（负系数的个数也不变）。这与选择的线性变换无关。5.5二次型及其标准型21精选课件ppt求一可逆变换将该二次型化成标准形，并求出规范形。练习25.5二次型及其标准型课堂练习22精选课件ppt练习25.5二次型及其标准型课堂练习23精选课件ppt练习25.5二次型及其标准型课堂练习所用的可逆变换为练习224精选课件ppt

方程在空间直角坐标系下表示什么曲面？5.5二次型及其标准型课堂练习练习3解：由练习1（P130，例14）的标准型为故在空间直角坐标系下表示单页双曲面25精选课件ppt

设二次型试求

a

，b

及经正交变换化成，5.5二次型及其标准型课堂练习练习4经正交变换化成，解：二次型f

正交阵Q

。意味着f的矩阵A的特征值为0,1,226精选课件ppt惯性定理设有二次型

，它的秩为r有两个中正数的个数相等。惯性定理可逆变换及使及则中正数的个数与正惯性指数负惯性指数从而负数的个数也相等。设二次型f的正惯性指数为p,秩为r,则

f的规范型可确定为5.5二次型及其标准型27精选课件ppt的秩为正惯性指数为负惯性指数为

正（负）惯性指数等于矩阵正（负）特征值的个数，即标准形中正（负）平方项的个数。正（负）特征值的个数与正（负）惯性指数有什么关系？211思考5.5二次型及其标准型惯性定理练习528精选课件ppt思考1.设

经正交变换化为

，求α，β。想一想解：二次型f

意味着f的矩阵A的特征值为0,1,2经正交变换化成，5.5二次型及其标准型29精选课件ppt思考

2.设二次型(b>0)，其中f

的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12，（1） 求a,b的值。（2） 用正交变换化f

为标准型，并写出所用的正交

变换及对应的正交矩阵。想一想解：5.5二次型及其标准型30精选课件ppt思考3.已知的秩为2，求（1）c及A的特征值（2）指出f=1表示何种曲面。想一想解：的秩为2，意味着A的行列式等于0

由此求出c=3,A的特征值为0,4,9表示椭圆柱面。5.5二次型及其标准型31精选课件ppt思考4.已知