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文档简介

PAGE1第01讲:一元二次方程【考点梳理】考点一:一元二次方程的概念问题考点二:解一元二次方程(直接开平方、配方法)考点三:解一元二次方程(因式分解)考点四:解一元二次方程(公式法)考点五:判别式的应用考点六:根与系数的关系考点七:实际问题考点八:一元二次方程的综合【知识梳理】考点一、一元二次方程的定义:(1)定义:只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程.(2)一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项,a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项.考点二、一元二次方程的一般形式:一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。考点三、一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的,也叫做一元二次方程的根.方程的解的定义是解方程过程中的依据.将此数代入这个一元二次方程的左右两边,看是否相等,若相等,就是这个方程的根;若不相等,就不是这个方程的根.考点四:降次——解一元二次方程一元二次方程的解法(1)直接开平方法:形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,可直接开平方求解.(2)因式分解法:可化为(ax+m)(bx+n)=0的方程,用因式分解法求解.(3)公式法:一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式为x=(b2-4ac≥0).配方法:当一元二次方程的二次项系数为1,一次项系数为偶数时,也可以考虑用配方法.先根的判别式(1)当Δ=>0时,原方程有两个不相等的实数根.(2)当Δ==0时,原方程有两个相等的实数根.(3)当Δ=<0时,原方程没有实数根.PAGE3考点五:根与系数的关系(1)韦达定理:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.(2)解题策略:已知一元二次方程,求关于方程两根的代数式的值时,先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子,再运用根与系数的关系求解.例如:,注意△=b2-4ac≥0.考点六:列一元二次方程解应用题解题步骤:①审题;②设未知数;③列一元二次方程;④解一元二次方程;⑤检验根是否有意义;⑥作答.应用模型:一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.①平均增长率(降低率)问题:公式:b=a(1±x)n,a表示基数,x表示平均增长率(降低率),n表示变化的次数,b表示变化n次后的量;②利润问题:利润=售价-成本;利润率=利润/成本×100%;(期末必考一道大题)③传播、比赛问题:【题型归纳】题型一:一元二次方程的概念问题1.(2023上·天津东丽·)关于x的一元二次方程的一个根是0,则a的值为()A.1 B. C.1或 D.2.(2023下·吉林长春·八年级校考期末)如果关于的一元二次方程的一个解是,则代数式的值为(

)A. B.2021 C. D.20253.(2023上·云南昭通·九年级统考期末)若关于x的一元二次方程的一个解是,则的值是(

)A.2025 B.2014 C.2023 D.2022题型二:解一元二次方程(直接开平方、配方法)4.(2022·广东广州·统考一模)方程的解为(

)A., B., C., D.,5.(2023上·山东聊城·九年级统考期末)小明在学习一元二次方程时,解方程的过程如下:①;②;③;④;⑤;⑥.小明的解答从第______步开始出错.A.① B.③ C.④ D.⑤6.(2023下·浙江绍兴·八年级校考期中)用配方法解一元二次方程x2+4x+1=0,则方程可变形为(

)A. B. C. D.题型三:解一元二次方程(因式分解)7.(2023上·山西太原·九年级期末)将转化为两个一元一次方程,这两个方程是(

)A. B.C. D.8.(2023上·辽宁沈阳·九年级统考期末)方程的解是(

)A., B., C. D.9.(2023上·河北保定·九年级统考期末)若关于m的方程的解为,则关于x的方程的解是(

)A. B. C., D.,题型四:解一元二次方程(公式法)10.(2022上·天津红桥·九年级校考期末)方程必有一个解满足(

)A. B. C. D.11.(2022上·河北沧州·九年级校考阶段练习)下列方程中,以为根的是()A. B.C. D.12.(2022上·山西长治·九年级统考期末)小明在解方程x2﹣4x=2时出现了错误,解答过程如下:∵a=1,b=﹣4,c=﹣2(第一步)∴b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×1×(﹣2)=24(第二步)∴(第三步)∴(第四步)小明解答过程开始出错的步骤是(

)A.第一步 B.第二步 C.第三步 D.第四步题型五:判别式的应用13.(2023上·河南洛阳·九年级校考期末)关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围为()A. B. C. D.14.(2023上·云南红河·九年级统考期末)一元二次方程有两个相等的实数根,则m等于(

)A.或1 B.1 C. D.4或115.(2023下·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末)已知关于x的方程有实数根,则实数k的取值范围为(

)A.且 B.且 C. D.题型六:根与系数的关系16.(2023下·安徽六安·八年级校考期末)已知,是方程的两个实数根,则的值是(

)A.2021 B.2023 C.2024 D.202517.(2023上·江西九江·九年级校考期末)已知是方程的两个根,则的值为(

)A.3 B. C. D.18.(2023下·山东济宁·九年级统考期末)已知、是关于x的方程的两个实数根,且,,则的值是(

)A. B. C.8 D.题型七:实际问题19.(2023上·陕西汉中·九年级统考期末)某商店经销一种吉祥物玩具,销售成本为每件40元,据市场分析,若按每件50元销售,一个月能售出500件;销售单价每涨2元,月销售量就减少20件,针对这种玩具的销售情况,请解答以下问题:(1)当销售单价涨多少元时,月销售利润能够达到8000元.(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,则销售定价应为多少元?20.(2023·福建三明·统考一模)某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,1月份销售400个,2月份和3月份这种台灯销售量持续增加,在售价不变的基础上,3月份的销售量达到576个,设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变.(1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率;(2)从4月份起,在3月份销售量的基础上,商场决定降价促销.经调查发现,售价在35元至40元范围内,这种台灯的售价每降价元,其销售量增加6个.若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元,则这种台灯应降价多少元?21.(2023上·湖南益阳·九年级校考期末)某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入,购买了的铁栅栏,准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示).

(1)若要建的矩形养鸡场面积为,求鸡场的长和宽;(2)该扶贫单位想要建一个的矩形养鸡场,这一想法能实现吗?请说明理由.题型八:一元二次方程的综合22.(2022·湖北十堰·统考中考真题)已知关于的一元二次方程.(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程的两个实数根分别为,,且,求的值.23.(2023上·江苏南通·九年级校考期末)关于x的方程有两个不相等的实数根.(1)求实数k的取值范围;(2)设方程的两个实数根分别为,存不存在这样的实数k,使得?若存在,求出这样的k值;若不存在,说明理由.24.(2023上·江苏扬州·九年级校联考期中)阅读材料,解答问题:我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现,如果关于的一元二次方程的两个根是,,那么由求根公式可以推出,;已知实数,满足,,且,则,是方程的两个不相等的实数根,由根与系数的关系可知,.根据上述材料,解决以下问题:(1)直接应用:已知实数满足:,,且,则______,______;(2)间接应用:在(1)条件下,求的值;(3)拓展应用:已知实数m,n满足:,且,求的值.【强化精练】一、单选题25.(2023上·山东济宁·九年级统考期末)已知关于的一元二次方程的一个根是,则的值为(

)A. B.1 C.3 D.26.(2023上·河南商丘·九年级商丘市第六中学校考期末)下列一元二次方程中,有两个不相等的实数根的是(

)A. B.C. D.27.(2023上·四川达州·九年级四川省渠县中学校考期末)若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为,,则的值是(

)A. B. C. D.28.(2023上·江苏无锡·九年级校考期中)2023年连花清瘟胶囊粒经过两次降价,从每盒元下调至元,设平均每次降价百分率为,则下面所列方程正确的是(

)A. B.C. D.29.(2023上·重庆潼南·九年级校联考期中)已知是一元二次方程的一个根,则的值是(

)A. B. C. D.30.(2023上·陕西西安·九年级西安市西光中学校考期中)10月8日,杭州亚运会乒乓球比赛全部结束,国乒揽获除女双项目外的6块金牌,展现了在乒乓球领域强大的统治力.乒乓球比赛采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛),比赛总场数为380场,若设参赛队伍有x支,则可列方程为()A. B.C. D.31.(2023下·安徽宣城·八年级校考期中)已知a、b为实数,且满足,则代数式的值为(

)A.3或-5 B.3 C.-3或5 D.532.(2023·辽宁锦州·统考中考真题)若关于x的一元二次方程有两个实数根,则k的取值范围是(

)A. B. C.且 D.且二、填空题33.(2023上·河南商丘·九年级商丘市第六中学校考期末)已知、是一元二次方程的两个实数根,则的值为.34.(2023上·北京大兴·九年级统考期中)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是.35.(2023上·四川泸州·九年级校考期末)若,是一元二次方程的两个实数根,则的值为.36.(2023下·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末)已知p、q为一元二次方程的两根,则的值为.37.(2023上·甘肃兰州·九年级校考期末)电视节目主持人在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体.若舞台长为,那么主持人站立的位置离A点较近的距离为.(结果保留根号)三、解答题38.(2023上·四川达州·九年级校考期末)用适当的方法解方程:(1);(2);(3).39.(2023上·辽宁沈阳·九年级统考期末)某商店销售一种商品,经市场调查发现:该商品的周销售量y是销售单价x的函数,其销售单价x,周销售量y,周销售利润w的三组对应值如下表:销售单价x(元)60657075周销售量y(件)80706050周销售利润w(元)2400245024002250(1)请你用所学过的函数知识确定一个满足这些数据的y与x之间的函数表达式;(2)①请求出该商品的进价;②若该公司想每周获利2000元,并尽可能让利给顾客,请求出此时该商品销售单价;(3)为了帮助贫困山区的小朋友,公司决定每卖出一件商品向希望小学捐款10元,要使该公司在捐款后该商品每周获利最大,请求出周利润最大时,该商品的销售单价及此时每周的最大利润.(注:物价部门最新规定该商品每件的售价不得超过65元)40.(2023上·河南洛阳·九年级校考期末)已知关于的方程,其中,,是的三边长.(1)若是方程的一个根,则是;(2)若方程有两个相等的实数根,则是;(3)若是等边三角形,试求方程的根.41.(2023上·重庆南川·九年级校联考期中)杭州亚运会吉样物组合名为“江南忆”,三个吉祥物以机器人作为整体造型,融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因,既有深厚的文化底蕴又充满了时代活力,某商家购进了两种类型的吉祥物纪念品,已知每套A型纪念品比每套型纪念品的多20元,1套A型纪念品与2套型纪念品共200元.(1)求两种类型纪念品的进价;(2)该商家准备购进A型纪念品套,均以每套元的价格全部售完,且与之间的关系满足一次函数,销售A型纪念品的利润为1200元,同时尽量让利于顾客,求的值.42.(2023上·山东枣庄·九年级统考期末)设,是一元二次方程的两个根.利用根与系数的关系求下列各式的值:(1);(2)43.(2023上·北京门头沟·九年级大峪中学校考期中)已知关于x的一元二次方程.(1)求证:该方程总有两个实数根;(2)若该方程恰有一个实数根为非负数,求m的取值范围.44.(2023上·河南濮阳·九年级统

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