山西省吕梁市贾家庄中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析

山西省吕梁市贾家庄中学2022-2023学年高三数学理联

考试卷含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知双曲线9m的一个焦点在圆x+y-4x-」=o上，则双曲线的渐近线方

程为

,3.4

>=±五、=±尹y=±——x

A・4B・3c.3D.

>=±—x

参考答案：

B

略

设/(X)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数.当X<O时，

/(x)g(x)-y(x)g'(x)>0且g(-3)=0.则不等式八x)g(x)<0的解集是(川

2^(-oo-3)U(0,3)5.(-3.0)U(0,3)C.(-oo-3)U(3,+oo)D.(-3,0)U(3,+叽

参考答案：

D

略

sinx

3.已知函数f(x)=2+cosx,如果当x>0时，若函数f(x)的图象恒在直线y二kx的下

方，则k的取值范围是()

工返工返返返

A.[3,B.[3,+8)C.[-3~,+8)D.T]

参考答案：

B

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【分析】由于f(X)的图象和丫=1«的图象都过原点，当直线丫=1«为丫=£(x)的切线

时，切点为(0,0),求出f(x)的导数，可得切线的斜率，即可得到切线的方程，结合

图象，可得k的范围.

【解答】解：函数f(x)的图象恒在直线丫=1«的下方，

由于f(x)的图象和y=kx的图象都过原点，

当直线丫=1«为丫=£(x)的切线时，切点为(0,0),

cosx(2+cosx)-sinx(-sinx)

由f(x)的导数f'(x)=(2+cosx)2

2cosx+1

二(2+cosx)2,

2cos0+1]

可得切线的斜率为(2+cosO)2=瓦

1

可得切线的方程为y=?x,

1

结合图象，可得k2,

【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和确定原点为切点，结合图象是

解题的关键，考查运算能力，属于中档题.

参考答案:

B

【考点】30：函数的图象.

【分析】先从一次函数y=ax+b进行入手，通过观察图形确定a,b的范围，再根据指数函

数的单调性是否能够满足条件，进行逐一排除即可得到答案.

【解答】解：由一次函数的图象和性质可得：

A中,b>l,a>0,则b>l,y=b"=(b*)*为单调增函数,故A不正确；

B中，0<b<l,a>0,贝丫=产=(ba)"为单调减函数，故B正确；

C中,b>l,a<0,则OVbYLy=b.(ba)*为单调减函数,C不对；

D中，0<b<l,a<0,则b">l,y=b"=(ba)'为单调增函数，D不对

故选B.

5.在AA6C中，M是册的中点，皿=1,点F在4M上且满足万=2丽，则

APf^B+PC)=

444

A.9B.3C."3

4

D.~9

参考答案：

【知识点】平面向量数量积的运算.F3

【答案解析】A解析：如图

因为M是BC的中点，根据向量加法的几何意义，PB+PC=2PM,

XAP=2PM,

..._22工

所以AP，(PB+PC)=而='可而.

故选：A.

【思路点拨】根据向量加法的几何意义，得出而+比2而从而所以

AP-(PB+PC)=AP2.

6.集合"=8*工>8"=3<4%,则MCN=(》

A.(l,2)BJ1,2)C.(l,21D.[l,2]

参考答案：

C

7.集合S=Gj,z)By'zwM,且x<y<z、八z<x、z。。恰有一个成立

},若且(z,w㈤眨则下列选项正确的是()

(A)(>，z,w)eS(B)(1y,z,w)eS(x,yw)e£

(c)(y,z,w)eS{x,yrw)eS(D)(y.z,^eS[x,yryv)eS

参考答案：

B

略

8.已知函数f(x)=(2-x)e，-ax-a,若不等式f(x)>0恰有两个正整数解，则a的

取值范围是()

111_e1

A.[-4e3,0)B.[-2e,0)C.[-4e\2)D.[-4e3,2)

参考答案：

A

【考点】7E：其他不等式的解法.

【分析】利用构造的新函数g(x)和h(x),求导数g'(x),从而可得a的范围.

【解答】解：令g(x)=(2-x)e',h(x)=ax+a,

由题意知，存在2个正整数，使g(x)在直线h(x)的上方,

Vgz(x)=(1-x)ex,

...当x>l时，g'(x)<0,当xVl时，g'(x)>0,

.'.g(x)Mg(1)=e,

且g(0)=2,g(2)=0,g(3)=-e>

直线h(x)恒过点(-1,0),且斜率为a,

h(l)<e

.h(2)<0

由题意可知，h(3)<-e3,

故实数a的取值范围是[-We，,0),

故选A.

【点评】本题考查导数的综合应用，及数形结合思想的应用，考查学生分析解决问题的能

力，属于中档题.

9.已知a为锐角，且匕n(开一a)+3=o,则sina的值是()

23^3y/l班

A、3B、10c、7D、5

参考答案：

t««]B

【解析】

试题分析।因为W-O.HHUuna-3.皿a，38m.因为so?a*8,L所以=’而a

MIU.Sltnna•粤

HJ

彳点，局的三角函，关薪.

I

io.若函数yu)=二i(/2),则£(幻

A在(-2,+8),内单调递增B在(-2,+8)内单调递减

C在(2,+8)内单调递增D在(2,+8)内单调递减

参考答案：

D

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

的展开式中各项系数的和为243,则该展开式中常数项为A

参考答案：

10

因为展开式中各项系数的和为243,所以当x=l时，彷+1)'=243,解得a=2,展开式

私广仃（2/严（；）\=中产/衅10--=0」

的通项公式为‘X，由2,解得上=4,所以

常数项为7i=Cx2=10。

12.已知偶函数/3）在R上的任一取值都有导数，且1二.小2）,则曲线

>=/白）在工「5处的切线的斜率为.

参考答案：

-1

略

13.已知矩形ABCD,AB=2,BC=1,则而-CD=.

参考答案：

4

1—xx—

14.已知x>0时有不等式x+x》2,X+X'=2+2+X,23,…成立，由此启发我们可以推

a

广为x+xnen+l（nGN*）,则a的值为.

参考答案：

n

n

【考点】F1：归纳推理.

【分析】分析各个不等式的特点，归纳出a的值..

【解答】解：第一个不等式的a=l,第二个不等式的a=4=2:

则由归纳推理可知，第n个不等式的a=n".

故答案为：n"

a+2i

15.已知i是虚数单位，aCR.若复数a-2i的虚部为1,则a=.

参考答案：

2

复数代数形式的乘除运算.

点:

专计算题.

题：

分把已知复数的分子分母同乘以分母的共辄复数，再进行化简即可求出复数的虚部.

析：

解a+2i(a+2i)&a?-4+4ai

2

答：解：ya-2i=(a-2i)(a+2i)=a+4,

4a

可知复数的虚部为a'+4=i,解得a=2

故答案为：2

点本题考查复数的除法运算及基本概念，熟练掌握运算法则及理解基本概念是做好本

评：题的关键.

16.若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足4bC,则称a、b、c是调和的；若

满a+c=2b足，则称a、b、c是等差的.若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等

差的，则称集合P为“好集”.若集合“Fk|W2014,xeZ),集合则

(1)“好集”P中的元素最大值为；

(2)“好集”P的个数为.

参考答案：

(1)2012；(2)1006.

17.如图所示，在海岛A上有一座海拔遂千米的山峰上，山顶上设有一座观察站P,一艘

轮船沿一固定方向匀速航行，上午10：00时，测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的

B处，到10：10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速

度为千米/时.

参考答案：

【考点】解三角形的实际应用.

【专题】应用题；方程思想；综合法；解三角形.

【分析】在Rt^PAB、Rt^PAC中确定AB、AC的长，进而求得，ZCAB=200+40°=60°,

利用余弦定理求得BC,用里程除以时间即为船的速度.

【解答】解：在Rt^PAB中，NAPB=30°,PA=V3,，AB=1.

在RtZ\PAC中，ZAPC=60°,

.,.AC=3.

在△ACB中，ZCAB=200+40°=60°,

,B」1+9-2X1X3XA近

1

则船的航行速度夜一诈W7.

故答案为：W7.

【点评】本题主要考查考生运用数学知识解决实际问题的能力，考查学生的计算能力，比

较基础.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(1)(3-4xXrJ+2r+3)

(2)I-—3x-4|<X+I

参考答案：

(1)XG(-

3

1,0)U(4,1)

(6分)

(2)xG(3,5)

19.(本小题满分10分)

=1

/(x)=2x+cos2x+/w+2,且

（1）求实数冽的值;

（2）求/"）在区间“2」上的最大值和最小值.

参考答案：

解：⑴由畤T得O吟+峙i2T

nm--2.....5分

⑵由（1）得用）・百的2N02-2皿2"6.....7

分

由问电F呜与

2r+£=££2£_2£-月

则当T,即x=7时/（0的最大值为2,当+e*T,即”=亍时/（力的最小

值为-1.…10分

略

小MT-21BX

20.已知函数Ix).

(1)讨论〃力的单调区间；

1

(2)若。5,证明：,(*)恰有三个零点.

参考答案：

(1)【考查意图】本小题以含对数函数的初等函数为载体，考查利用导数研究函数的单

调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等.

【解法综述】只要掌握基本初等函数的求导公式及导数的运算法则、导数与函数单调性的

关系和含参数一元二次不等式的解法，便可解决问题.

axP-2x^a

思路：先求得/(x)的定义域为(a*®),再求得一7一一，然后对

4工)=£-2x4■。的符号进行分类讨论,先直接判断当aWO时4x)>0,即

仆)>0

从而得到的单调区间；再对a>0的情况结合一元二次方程的判别式及

一元二次函数的图象，进一步分为0<。<1和aAl两种情况进行讨论，分别求得,(9的

单调区间.

【错因分析】考生可能存在的错误有：求导函数出错；求根计算错误；分类讨论错误.

【难度属性】中.

(2)【考查意图】本小题以函数的零点问题为载体，考查利用导数研究函数的极值和零

点等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查函数与方程思想、数

形结合思想、分类与整合思想、特殊与一般思想等.

【解法综述】只要掌握导数与函数的极值关系、零点存在定理等知识，结合函数的单调性

合理选取含零点的区间的端点值，即可解决问题.

1

思路一：先根据(1)的结论得到‘“5时〃力的单调性，结合函数的图象特征，根据

/。)=°可判断，(x)的极大值与极小值的符号，并在(“2-向和(2+b")分别取

点并判断其对应的函数值的符号，如计算A*~*),'(')的值，结合零点存在定理即可

证明.

思路二：根据K〉0,将方程/（9=。等价变形为9一1一4Kh工=0,问题转化为研究函

数g«）=JT的零点,先求得/㈤=2x-仪工-4,再通过构造

人（耳皿一4111工-4研究f（©的单调性与极值，结合函数乂工）=如-4.工-4的图象

特征，并在（04）和（Z4®）分别取点并判断其对应的函数值的符号，如计算”（；）

MD,M?）等，判断出宠I力在W）和（Z*®）各有一个零点，分别记为看,巧，再判

断在（0,0），（4,巧），（Xj,s）的单调性，以下解题思路同思路一.

【错因分析】考生可能存在的错误有：没有注意到/。）=0,无法判断/（X）极值符号；

不会通过特殊值找到函数的零点；重新构造函数求导后无法求得其导函数的零点，不会研

究其导函数的性质，因此思路受阻.

【难度属性】难.

21.（本小题满分12分）

体检评价标准指出：健康指数不低于70者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况

一般。某学校数学学科共有30位教师，其中60%的人经常进行体育锻炼。经体检调查，

这30位教师的健康指数（百分制）的数据如下：

经常锻炼的：65,76,80,75,92,84,76,86,87,95,68,82,72,94,71,89,

83,77缺少锻炼的：63,58,85,93,65,72,59,91,63,67,56,64

⑴根据以上资料完成下面的2x2列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与体育锻炼

有关系”？

审题状况好身体状况一般总计

经常体育锻炼

缺少体育锻炼

总计30

（H）从该学科教师健康指数高于90的5人中随机选取2人介绍养生之道，求这2人中经常

进行体育锻炼的人数的分布列和数学期望.

(a♦b+c.fcc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（心泌））0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案:

解：（I）2x2列联衣如下：

身体状况好身体状况一般总计

爱好体锻16218

不爱好体锻4812

总计,201030

3分

因为人菜常常捂心>7.879.................................................5分

所以有99.5%的把握认为“身体状况好与爱好体育酸炼有关系，……6分

（口）设这2人中爱好体行啦炼的人数为宗则6的可能取值为0.1,2.其中

«。）吟版（”）=誓咚”2）吟*........9分

所以f的分布列为：

02

1

P

10f10

.....................................................................................................................II分

£f=0xjL+lx|+2x^=1.............................................................12分

22.(本小题满分12分)

如图，己知直三棱柱瓦01中，44=>^=/C=LL4c.MMQ分别是

cq.scdc的中点，点p在线段上运动。

（1）证明：无论点尸怎样运动，总有皿JL平面PNQ；

（2）是否存在点尸，使得平面尸与平面尸"Q所成的锐二面角为45・？

若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由。

参考答案:

证明:江纳4.C

VA4,4京：企I.MQ分8(11CC"”的中点.

A&A4,p?AC4JV..

4M4c工4伊,4

:.4M4C+=90#.即AMJ40.0X3分)

VN.Q分别造此JC的中点咬〃AB.

又皿M..\NQ414c.