第三章 离子在固体中的射程分布

粒子与固体碰撞物理学第三章离子在固体中的射程分布理论§3.1根本概念RpRRc表面入射方向射程——离子由进入到停止所走过的总距离R投影射程——射程R在入射方向上的投影，称为投影射程Rp矢量射程——入射起始点O与路径终点之间的距离，称为Rc一、射程平均射程概念：所有入射粒子射程的平均值。离子注入过程：入射离子与靶原子核和电子不断发生碰撞，其方向不断改变，能量逐渐减少，经过一段曲折路径的运动后，因动能耗尽而停止在靶中的某处。二、标准偏差在统计学中，标准偏差就是射程的平均平方涨落，用ΔR2表示。根据定义有：同理，对于投影射程，其标准偏差为这是用来表征射程分布的一个重要的统计物理量。三、浓度分布

在离子注入里，一般指最终停留在靶中的入射离子的体浓度随着深度的分布。一般在平均投影射程Rp处有一最高浓度。§3.2沿着路径测量的射程分布——LSS理论〔一〕P(R,E)的含义？我们不去求每个离子的具体射程的原因是什么？我们关心的是什么样的结果？〔大量的入射离子在靶内的空间统计分布〕用什么去表征这个分布？的含义？的含义？如何建立射程几率P(R,E)所应满足的积分微分方程？

从A→B:

碰撞发生的概率：NδR

∫dσne

不发生碰撞的几率：1−NδR

∫dσne到B点后：碰撞已发生：离子能量〔E→E-T〕,到C距离〔R→R-δR〕,几率函数：P(E-T,R-δR)碰撞没发生：离子能量〔E→E〕,到C距离〔R→R-δR〕,几率函数：P(E,R-δR)射程几率P(R,E)所满足的偏微分方程已经建立起来，但要通过这方程直接求解几率分布函数P(R,E)非常困难。一般只能通过什么方法求解？〔屡次矩解法——也就是蒙特卡罗法〕这种方法的含义？〔把直接求P(R,E)，转化为求射程R的各次矩Rm的平均值<Rm>〕。为什么要这么求解？〔因为，从统计物理学的角度上说，知道了<Rm>，就认为根本弄清了几率分布函数P(R,E)的性质〕为什么这么说？一次矩——对应？？二次矩——可以得出？？射程的三次矩——反映的是分布的？？四次矩——反映的是分布的？？知道了这些矩的平均值，就可以利用它们组成较为复杂，但也比较精确的几率分布函数，如泊松分布函数。在忽略高次矩，只考略一二次矩的情况下，所构成的几率分布函数是〔？〕函数。如何从P〔E,R〕的积分微分方程导出其矩方程？怎么从矩方程求出R的一级近似和二级近似下的一次矩？，

在什么考虑下可做如下近似？，

如何求解射程R的标准偏差〔二次矩〕？根据定义：〔一级近似下的标准偏差。〕§3.3投影射程在实际测量中，我们所感兴趣的量，既不是入射离子在靶中的路径射程分布，也不是矢量射程分布，而是入射离子在靶中沿着入射方向的投影射程的分布，也叫离子深度的分布。这个量通常可以直接观察到，因此更有实际意义。我们这里所关心的是平均投影射程Rp及其标准偏差。关于平均投影射程的微分积分方程，可以仿照射程R的几率方程建立起来。当m=1时，有其中φ为入射离子的射程偏斜角，Rp=RcCOSφ。假设T«E，那么有代入上式，得变化式子，得为求解此方程，引入两个量〔λtr称为平均传输自由程〕〔Str称为传输阻止截面〕那么方程变成此方程的解为求解投影射程的较高次矩，如投影射程的标准偏差，远比求解平均投影射程复杂得多，也比求解路径射程的标准偏差复杂得多，这里不再介绍。对于实验工作者来说，绝大多数情况下不必重复这个复杂的详细求解过程。Lindhard和Winterbon、Gibbons等人已经精确地计算出大多数常用离子在局部常用靶中的投影射程及其标准偏差的数值，并聚集成表格形式供一般科技工作者直接查阅使用。这样在许多情况下，我们都可以直接查表得到我们想要的数值，而不必去重复那些非常复杂的计算。几个有用的近似推论：1〕其中S为Lindhard势中的参数。当S=2时，2〕3〕其中当S=2时，§3.4入射离子在靶中的浓度分布我们已经提到过，作为一级近似，入射离子在非晶靶中的射程分布完全可以用Rp和△Rp来描述。那么究竟如何用着两个量来描述离子射程的几率分布呢？在数学上用这两个量来描述的几率分布，最一般的形式是对称的高斯分布。它的具体形式是：系数是由几率函数P〔x,E〕的归一化条件的要求确定的。式中X：沿着入射离子初始方向上离开靶外表的距离〔如果入射方向垂直于外表，X那么表示入射离子的深度〕E：入射离子的初始能量.所以说在一级近似下，只要知道Rp和△Rp两个值，射程的几率分布就根本确定了。如果，入射离子的剂量为D〔离子数/cm2〕〔剂量在离子注入里通常指的是通过单位面积的外表打到靶里面的离子数量〕，那么与这个射程几率分布相对应的浓度随深度的分布就应该是：它表示的意义是：在X深处每个单位体积里的入射离子数由上式可知，浓度分布在X～N〔X〕坐标系中的形状是由这个图上可以看出，浓度分布具有以下一些特点：1．最大浓度不在外表，而是在平均投影射程X=Rp处有一最高浓度，最高浓度Nmax与入射离子的注入剂量D成正比〔所以要想改变注入掺杂的最高浓度，只有通过改变注入剂量来到达〕。2．在平均投影射程Rp两边，注入离子浓度对称下降，离开平均投影射程越远，浓度下降越快。下降速率与离开平均投影射程有这么一个近似关系：N/Nmax0.510-110-210-310-410-510-6X-Rp±1.2（△Rp）±2（△Rp）±3（△Rp）±3.7(△Rp)±4.3(△Rp)±4.8(△Rp)±5.3(△Rp)3．在半导体中，通过离子注入掺杂形成PN结时，由于入射离子浓度分布是这样的一种高斯分布的特点，掺杂区和衬底之间不是一种很陡峭的突变，而是一种界面不十清楚显的渐变。因此这就使得在半导体中，PN结的结深Xj有一个如何定义的问题。在半导体中，一般把掺杂浓度下降到衬底浓度时的掺杂深度称为结深。由特点2中给出的数据可以近似的估计结深Xj的位置。例如，当衬底浓度NB是最高掺杂浓度的1%时，即NB/Nmax=1%。由上表可以找到，对应此浓度的深度值，也就是结深的位置为：Xj=Rp±3△Rp，结深的更精确求解可以这样来求解：设代入浓度分布表达式，应该有4．根据公式〔从图上亦可以看出〕，外表浓度亦不为0。假设按照这个理论的预料，将在一局部离子分布在靶外表之外。这是不太符合实际情况的。所以，LSS理论假定：但凡在理论上预料落在靶外表外的离子，都被假定只是积聚在把外表上，实际上也可能如此。因此，实际的靶外表的浓度，将要超过高斯分布所预料的外表浓度。§3.5LSS理论在非晶靶中的应用实例1、在注入离子的能量、剂量和衬底杂质浓度时，可以计算出外表浓度和结深。2、要到达靶中设定的掺杂浓度和结深，求入射离子的能量和剂量〔设计注入工艺〕。3、可以计算出能够掩蔽杂质注入的掩蔽膜的最小厚度。也可以给出掩蔽膜后离子的浓度分布情况。4、可以计算出当以不同的能量和剂量分几次进行离子注入时，所得到的合成杂质浓度分布。实例二．要到达靶中的掺杂浓度和结深，求入射离子的能量和剂量。这是实际工作中经常遇到的问题。例：希望P+离子在硅中的最大掺杂浓度到达8×1021cm-3，发射结深度为0.13μm，基质浓度为6×1018cm-3，求入射P+的能量和剂量。解：在结深xj处的离子浓度〔即基区浓度〕为假设知道Rp和△Rp，可查表直接得出入射离子能量。但目前只有一个方程，却有两个未知数。所以直接从LSS理论中求出入射离子的能量和剂量，在数学上有一定困难。实际应用中这里常需引入一些粗略的近似式，对入射离子的能量和剂量进行估算。根据一些半经验理论，在粗略的近似中，对于中重离子，可以认为

应该指出，这一近似式M1远小于M2时，由于大角度散射显著，是不适用的；对于较高能量的入射离子，当电子阻止显著时，也是不适用的。如对于B→Si

对于As→Si

联立两方程即可求出查表可知，这时候对应的P+的能量，约在40~50keV较为适宜。剂量确实定：实例三．求掩蔽层厚度LSS理论对掩蔽层厚度的计算与实际情况符合的比较好，下面简单介绍一下最小眼膜厚度的计算方法。选用掩膜的主要目的是保护样品的局部区域不受离子注入的影响。LSS理论指出，根据统计学上的概率分布，对于薄的掩膜总会有一些入射离子将穿过掩膜而进入样品中去，但其数量将随着掩膜层厚度的增加而迅速减少。通常，掩膜厚度的选取与掩膜材料、入射离子种类、能量、剂量以及衬底的掺杂浓度等条件有关。一般认为，穿过材料的离子数目降到入射离子总数的0.1%时，就认为掩膜根本上阻挡了入射离子进入样品。即CB/CA≤0.1%CB：表示穿过掩蔽层的离子数，CA：表示入射到掩膜中的离子数。四．离子注入在双层介质的分布在半导体工艺中，有时候外表态对器件的性能影响很大，需要在外表沉积上一层保护层，然后用离子注入透过保护层对器件参数进行调节，如MOS器件中的栅的情况就是如此。在SOI材料制备中，也有人采用先沉积一层薄的SiO2保护层再进行注入的工艺方法。这样一来，离子在样品中，也就是Si中的分布就不能直接套用浓度分布公式了。假设入射离子能量为E，保护层厚度为t。那么在第一层中离子对应的投影射程和偏差可以设为Rp1和△Rp1，可以很容易查到。浓度分布那么满足：〔0<x<t〕在第二层中，可以这么近似处理在界面处〔A〕能量由E→E-△E=E*△E≈t·dE/dx≈NSn0t注入到衬底中的杂质量，那么为近似时也可取D*≈D在衬底中的杂质浓度分布，就相当于一个入射粒子能量为E*的射程分布。假设深度从界面A算起，以x*表示，那么在衬底中的杂质分布可以表示为Rp2和△Rp2为对应与能量为E*的离子在衬底中的射程和偏差。换成x，那么有实例五特殊浓度分布的屡次能量叠加注入§3.6LSS理论与实验的比较一．LSS理论的适用范围1．粒子能量范围：一般使用于中等能量范围的离子注入。能量大约在10kev～1Mev之间。〔大家看在书后所附的Rp和△Rp数值表里，所给出的数值所对应的能量值全都在这个能量范围里面。〕对于比较重的离子，能量适用范围还可以降低到1kev～1Mev之间，能量太低时，出现大角散射的几率大，而ＬＳＳ理论是建立在一系列的小角度散射近似和动量近似的根底上的，所以ＬＳＳ理论不适用于太低能量。能量太高时，电子阻止本领将占主要因素。由于ＬＳＳ理论没有考虑电子在原子中周期排列所带来的Ｅ１对电子阻止的周期性影响，所以，对电子阻止的计算与实验符合的较差。而且，LSS理论认为电子阻止本领~V〔粒子速度〕，而当能量＞1Mev时，电子阻止本领~V2。所以能量太高时，LSS理论将与实验有很大的出入，需要对理论作一定的修正。2．离子质量范围一般适用于中重离子对于轻离子，如H+，He+，大角散射的几率很大，电子阻止本领占得比例也大，所以误差一般要＞20%。所以不适用，需要做修正。3．靶范围适用于无定形靶〔非晶靶〕：如SiO2、Si3N4，光刻胶等；对于半导体，如Si、Ge，属于有规那么结构，会产生沟道效应，ＬＳＳ理论不适用，假设要用ＬＳＳ理论，那么需要改变入射离子方向〔一般偏５～７°〕，即偏角入射。这时，半导体靶近似可视为准非晶靶。得出的分布也不是标准的高斯分布，而是带了个尾巴，尾巴拖得很长。对于金属材料〔多晶结构〕：结果根本上是高斯分布，也带个尾巴，可以使用ＬＳＳ理论。二．理论的精度横向效应横向分布35keVAs注入120keVAs注入横向效应影响MOS晶体管的有效沟道长度杂质与硅原子碰撞所产生的散射会造成杂质往横向注入。横向效应是指注入离子在垂直入射方向的平面内的分布情况，会影响MOS管的有效沟道长度。横向效应与注入离子的种类及入射离子的能量有关。尽管存在着注入离子的横向扩散问题，但比起热扩散来，仍然是小的多。

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3.7离子在单晶靶中的沟道效应与射程分布

如前所述，在LSS理论中，一直是把靶的结构看作是一种非晶结构〔也叫做无定形结构〕来处理问题，得出的结论当然也是只适用于非晶靶情况。当然，在近似情况下，准非晶、多晶也是可以用的。在说到单晶Si片的注入的时候，曾经说过把硅片略微偏离晶向5~7o，就可以当作准非晶处理。那么在偏离角小于5~7o，也就是在准垂直的入射情况下，硅片就不能当作非晶材料处理了，而必须看作是有规律结构的单晶结构。这一节就来看看离子注入到单晶靶中时会出现什么样的情况，这时离子的射程分布是什么样子的，会有什么特点？一、单晶靶的特点：非晶靶：各向同性，均匀，注入无选择性单晶靶：各向异性，不均匀性，注入有选择性二、沟道效应单晶靶中的射程分布，完全不同于无定形靶中的射程分布，这主要表现在：当入射离子束准直于晶体靶某一低指数轴方向入射时，这些离子有可能沿着某一翻开的晶轴方向穿透得很深，远远超过LSS理论在非晶靶中所预言的深度，这种现象称为离子注入的沟道现象。翻开的方向称为沟道。SiliconLatticeViewedAlong<110>Axis图中表示的是单晶硅沿<110>轴方向观察时，晶体所呈现出来的原子排列模型。可以看到，硅晶体结构就好似是开口的蜂窝，这时离子假设顺着视线的方向入射进去，对这些入射离子来说，就好似有一个个完全畅通无阻的由原子列包围成的直通道，好象管道一样，离子可以沿着这管道进入很深，而很少受到晶格原子的碰撞。这就是离子注入沟道效应出现的原因所在。这个晶轴方向就称为轴沟道。§

3.7离子在单晶靶中的沟道效应与射程分布

110111100倾斜旋转硅片后的无序方向1.8Å如在右以下图所看到的，这时的原子排列既紧密又杂乱无章，几乎是一种无定形的结构，没有沟道可言，离子在这种方向入射时，必然要与靶原子发生严重的碰撞，受到较大的阻止作用，射程也就比较短，和LSS理论估计的射程分布根本接近。所以说，当离子入射方向与那些低指数晶轴方向的夹角大过某一角度值时，就看不到沟道现象了。如果象上图所示的那样，沿着某一晶面方向观察，在一簇晶面之间也有一个个开通的层面方向，这种情况就称为面沟道。其实早在20世纪初，就有人预言晶体存在沟道的现象。但一直到60年代才被人在实验中观察到这种现象。最早观察到沟道现象的是罗宾逊等人，1963年他们研究低能Cu离子入射到单晶铜时，发现沿着某些方向入射时，射程很长。这是第一次观察到沟道现象。随后，Davies等人在研究氪〔Kr〕在单晶Al中沿着不同的晶向入射中，也发现了沟道效应。尼尔森〔Nelson〕等人研究质子〔H〕穿过很薄的金〔Au〕单晶时，对于金单晶的不同取向，透射离子的数目完全不同。这几个沟道实验现象的发现，引起了人们对离子注入中的沟道问题产生了极大的兴趣，各方面的研究也就多了起来。三、临界角什么样的离子才能进入沟道，并且沿着沟道向前运动呢？前面已经提到，离子束与晶体里的某一主轴的夹角如果超过某一角度值时，晶体就近似等价于非晶，无沟道可言，所以存在一个临界角来判定是否会出现沟道效应。我们一般把这个临界角记作ψc，于是不同的入射粒子对应这个临界角会有这么三种关系：对于离子A，〔入射角>ψC〕：它将与晶格原子发生严重的碰撞，因而与非晶靶入射的情况相同〔除非它碰巧对准了另外一个晶轴方向〕。这局部离子称为随机离子。对于C离子，〔入射角«ψC〕：这局部离子几乎很少受到靶原子核的碰撞，而以很长的波长在沟道中运动，具有很大的渗透本领，也就是射程。他们主要是受到靶内电子的碰撞〔或者说散射〕而损失能量，最后停止在靶内的某一位置。这类离子叫做完美沟道离子。B离子，〔入射角<ψC，略小于〕：它在沟道中将受到较大的核碰撞，损失比较多的能量，同时有较大的散射角，但散射角又小于A离子。因而最终这些离子是在沟道中“振荡〞前行，甚至中途逃离沟道。所以将这局部离子称为准沟道离子或者退道离子。这些离子将比离子A渗透的更深，但又小于离子C的沟道注入深度。因此，临界角是决定一个入射粒子能否进入沟道的重要条件。但并不是小于临界角的所有离子都能进入沟道。对于完全平行的入射束并且对准沟道入射，也能观察到上述三种情况。因为一个入射离子的初始位置决定着它同靶原子列碰撞参数的大小，从而也直接影响到它在晶格中的运动轨迹：靠近原子列的离子A立即被大角散射，不能进入沟道，从而成为随机注入离子。〔对应于上面情况①〕离子C在沟道中心区域，沿沟道一直前进，属于完美沟道离子。当然由于晶格内场在沟道中不是完全均匀，特别是有电子散射作用，离子C的轨迹也不可能完全是直线前进，也是经过一系列非常小的小角偏转，以很长的波长在沟道中前进，直到最后能量损失完后停下来。离子B与上面的B离子类似，以稍远离晶轴的位置入射，将受到较大的核碰撞而在俩个晶面之间“振荡〞前行，成为准沟道离子或是退道离子。所以可以这么理解，这三种平行准直入射的离子在经过第一次碰撞之后，也变成了临界角的问题。临界角可以用的理论来计算。四、Lindhard对沟道现象的描述1、根本假设：沟道离子在沟道中的运动是小角散射。引入平均作用势。〔在晶轴中的原子，可以看作是彼此相距d排成的原子绳，它们对子弹的作用可以用一个平均的势场来描写。假定单晶晶体是“完美无缺〞的〔完整而无缺陷〕。可以用经典物理图像来描述。2、平均作用势在Lindhard的理论中，他采用托马斯-费米势计算给出的沟道中的平均势场〔也称为林哈德标准连续势〕，为

称为托马斯-费米势半径，d是原子绳中相邻两原子的间距。沟道平均连续势模型的根本思想：沟道离子同晶格原子列的碰撞是由许屡次小角散射决定的，每次碰撞使离子的轨迹偏转一点点，因此，离子在沟道中运动的轨迹是由许屡次相关碰撞决定的〔如图〕。把晶格原子对离子的作用看做不是单个原子同入射离子的作用，而是一条连续的原子“串〞对运动离子的作用，这时离子受到的力是连续的、平均的，所以，它们之间的相互作用可以看做原子列的平均势同离子的作用。3、连续势近似模型的条件Lindhard认为这个条件是粒子速度在平行于沟道轴方向的分量能使粒子穿过晶格原子间距的时间小于同单个靶原子的碰撞时间。这意味着，当粒子感到它自己是在一个原子的库仑场中时，粒子又已经跑到“列〞上的下一个原子势场中，所以，粒子只能观察到连续的势，而看不到单个原子的场，在数学上这种连续近似的条件可以写成：4、计算临界角当粒子在rmin处时，形成沟道离子的条件是rmin处的平均势场Ū〔rmin〕等于离子在沟道中垂直能量E┴〔也就是能量在垂直方向上的分量〕，即对于较高能量离子，离子与原子绳的最小距离rmin~aTF对于较低能量离子，Lindhard给出的表达式为这些式子说明，入射离子能量越大，临界角越小，对于几百keV的离子来说，沿单晶硅的<110>或<111>轴入射时，临界角一般在3~5º之间。这就是为什么在对单晶靶注入时，要偏转5~7º的原因。几种离子在不同能量下对硅单晶不同取向的临界角如表所示

硅中常用杂质发生沟道效应的临界角（对每种杂质，上面曲线表示〈111〉衬底，下面对应〈100〉衬底）五、单晶靶中的射程分布特点：一束完全瞄准单晶靶的某一主晶轴的离子入射时，按照前面的分析，应该分为随机与沟道两局部。一局部离子的位置由于小于rmin，或者说大于临界角ψc，很快地被靶原子散射掉，成为随机原子。这局部离子在晶体中的分布与无定形靶的情况相类似。另一局部离子由于大于rmin，而进入沟道，成为沟道离子或准沟道离子。就是我们前面所说的B和C两类离子。如果假定这两局部离子的注入过程及分布彼此无关，那么最终的射程分布，就可以用这两类离子单独的分布叠加起来。实际情况是，进入沟道的离子有可能在中间遇上大角散射，从沟道中逃脱出来，成为随机离子。而其它随机离子也有可能在随后的碰撞中被散射进沟道中，成为沟道离子。所以，这种分布的叠加只能是实际射程分布的一种定性说明，而不会是准确的实际分布。碰撞后引起的沟道效应但随机局部的离子数目占全部离子数的比例，也就是成为随机离子的几率是可以简单地估算出来的。假定所有的随机局部离子都打在晶轴附近πr2min面积里〔如图〕，如果靶原子的面密度为N，原子绳上相邻两原子的间距为d，那么原子的面密度刚好为Nd，也就是单位外表积里有Nd个靶原子。如果入射离子剂量为D，那么单位面积内与随机离子有关的离子数量应该为d2rmin那么随机离子的比例前边给过对于一个50kev的P+→Si〔110〕晶向中，它的d=3.8310-8cm可见随机离子占的比率是很小的。随机离子的分布可以直接用LSS理论来描述，就是说可以直接查表得到随机离子局部的Rp和ΔRp值。至于沟道离子的射程分布，迄今为止还没有任何一个理论来比较精确地计算。前面说过，沟道离子包括两局部：完美沟道离子和准沟道离子〔退道离子〕，由于受晶格的热震动、晶格缺陷等因素的影响较大，退道离子的数目很难估计，其射程分布也就不容易精确地确定。目前能够做到的是计算沟道离子的最大射程Rmax，然后可以利用它估计完美沟道离子的标准偏差单晶靶中比较精确的射程分布，一般需要通过实验测量获得，图上是一个典型的单晶靶中离子射程分布曲线，从图上可以看出，离子在单晶靶中的射程分布由三个区域组成：A：A类离子局部，对应于非晶靶的高斯峰；B：对应于退道离子的分布；C：对应于完美沟道离子的沟道峰。如果没有退道离子，而只有随机离子和完美沟道离子，那么分布就有可能是由两个峰的叠加分布。但任何离子和靶的组合都会存在大量的退道离子，因此，这样理想情况是根本不会出现的。沟道中核阻止很小，电子密度也很低，Rmax远大于R六、最大射程的计算：对离子在沟道中的运动轨迹方程的详细推导，不做详细介绍。大家只要知道，离子在沟道中大概是以圆频率ω在作简谐振动，方程可以表示为r=rmaxsinωt。其中，ω与离子的能量和沟道里的平均势有关。离子在沟道里的运动会受到核阻止或者电子阻止的阻尼作用而损失能量。在低能情况下核阻止占优，但在较高能量段入射，〔这是我们感兴趣的能量段，因为对沟道现象的利用大多在这个较高能量段〕，在这种情况下，对于完美的沟道离子的最大射程的影响而言，电子阻止是主要的，正像前面所提的，这些完美沟道离子在沟道中运动，很少发生核碰撞，能量根本是由于电子阻止而损失，因而可以不计核阻止对最大射程的影响。根据这个近似：但它们之间的比例关系与在非晶靶中不同。下面简单介绍一种半经验公式的求法，这种方法常常更为精确，把上面的关系式写成：这个Se’(E)不等于非晶靶中的Se(E)，但它们存在着的关系。所以，K*也不是过去Se(E)=KE1/2里的K。这个K*值一般用实验方法确定，所以把这种求法叫半经验公式的求法。然后用这式子可得Rmax=2Eo1/2/K*Eo为入射离子的初始能量。常数K*的确定，通常是取某一固定能量E*，然后在这个能量下，用实验方法测得Se’(E),再利用关系式来确定。然后所以，这种方法需要借助实验的手段求得Rmax。Rmax是一个很好的物理参量，它与晶体缺陷、外表氧化层厚度、靶温度无关，只要离子种类和离子能量及靶材和晶面确定，就会有一个确定的Rmax值。七