新高考数学二轮复习考点突破学案6.8《椭圆、双曲线的二级结论的应用》（教师版）

微重点16椭圆、双曲线的二级结论的应用椭圆、双曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式.法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解.考点一焦点三角形核心提炼焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，F1，F2且∠F1PF2＝θ，则椭圆中SKIPIF1<0＝b2·taneq\f(θ,2)，双曲线中SKIPIF1<0＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).例1已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为e＝eq\f(1,2)，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝eq\f(π,3)，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为()A.2B.4C.6D.12答案为：D解析：由e＝eq\f(1,2)，得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即a＝2c.①设△F1PF2的内切圆的半径为r，因为△F1PF2的内切圆的面积为3π，所以πr2＝3π，解得r＝eq\r(3)(舍负)，在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知SKIPIF1<0＝b2taneq\f(∠F1PF2,2)＝eq\f(1,2)r(2a＋2c)，即eq\f(\r(3),3)b2＝eq\r(3)(a＋c)，②又a2＝b2＋c2，③联立①②③得c＝3，a＝6，b＝3eq\r(3)，所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.易错提醒(1)要注意公式中θ的含义.(2)椭圆、双曲线的面积公式不一样，易混淆.跟踪演练1如图，F1，F2是椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(3,2)D.eq\f(\r(6),2)答案为：D解析：设双曲线C2的方程为eq\f(x2,a\o\al(2,2))﹣eq\f(y2,b\o\al(2,2))＝1，则有aeq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,2)＝ceq\o\al(2,2)＝ceq\o\al(2,1)＝4﹣1＝3.又四边形AF1BF2为矩形，所以△AF1F2的面积为beq\o\al(2,1)tan45°＝eq\f(b\o\al(2,2),tan45°)，即beq\o\al(2,2)＝beq\o\al(2,1)＝1.所以aeq\o\al(2,2)＝ceq\o\al(2,2)﹣beq\o\al(2,2)＝3﹣1＝2.故双曲线的离心率e＝eq\f(c2,a2)＝eq\r(\f(3,2))＝eq\f(\r(6),2).考点二焦半径的数量关系核心提炼焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆相交于A，B两点，则eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2a,b2)，同理，双曲线中，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2a,b2).例2已知双曲线C的左、右焦点分别为F1(﹣eq\r(7)，0)，F2(eq\r(7)，0)，过F2的直线与C的右支交于A，B两点.若eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，|AB|＝|F1B|，则双曲线C的方程为________.答案为：eq\f(x2,3)﹣eq\f(y2,4)＝1解析：如图，令|F2B|＝t，则|AF2|＝2t，∴|AB|＝3t，|F1B|＝3t，又eq\f(1,|AF2|)＋eq\f(1,|BF2|)＝eq\f(2a,b2)，∴eq\f(1,2t)＋eq\f(1,t)＝eq\f(2a,b2)，即eq\f(3,2t)＝eq\f(2a,b2)，又|F1B|﹣|F2B|＝2a，∴3t﹣t＝2a，∴2t＝2a，∴t＝a，∴eq\f(3,2a)＝eq\f(2a,b2)，即3b2＝4a2，又c＝eq\r(7)，∴a2＋b2＝7，解得b2＝4，a2＝3，故双曲线C的方程为eq\f(x2,3)﹣eq\f(y2,4)＝1.易错提醒公式的前提是直线AB过焦点F，焦点F不在直线AB上时，公式不成立.跟踪演练2已知椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1，过右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，且|AF2|＝2，则|AB|＝______，cos∠F1AB＝________.答案为：eq\f(8,3)﹣eq\f(1,3)解析：由椭圆方程知a＝4，b＝2，|AF2|＝2，又eq\f(1,|AF2|)＋eq\f(1,|BF2|)＝eq\f(2a,b2)，即eq\f(1,2)＋eq\f(1,|BF2|)＝eq\f(8,4)，解得|BF2|＝eq\f(2,3)，∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝eq\f(8,3)，由椭圆定义知|AF1|＝8﹣2＝6，|BF1|＝8﹣eq\f(2,3)＝eq\f(22,3)，在△AF1B中，由余弦定理，得cos∠F1AB＝﹣eq\f(1,3).考点三周角定理核心提炼周角定理：已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点，则椭圆中kPA·kPB＝﹣eq\f(b2,a2)，双曲线中kPA·kPB＝eq\f(b2,a2).例3已知椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的左、右两个顶点为A，B，点M1，M2，…，M5是AB的六等分点，分别过这五点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10，这10条直线的斜率乘积为()A.﹣eq\f(1,16)B.﹣eq\f(1,32)C.eq\f(1,64)D.eq\f(1,1024)答案为：B解析：由椭圆的性质可得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝﹣eq\f(b2,a2)＝﹣eq\f(1,2).由椭圆的对称性可得SKIPIF1<0同理可得SKIPIF1<0∴直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))5＝﹣eq\f(1,32).规律方法周角定理的推广：A，B两点为椭圆(双曲线)上关于原点对称的两点，P为椭圆(双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中kPA·kPB＝﹣eq\f(b2,a2)，双曲线中kPA·kPB＝eq\f(b2,a2).跟踪演练3设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.﹣1D.﹣eq\f(1,2)答案为：B解析：∵∠F1AF2＝90°，∴△F1AF2为等腰直角三角形，∴b＝c，∴a2＝2b2＝2c2，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，且∠AF2O＝45°，∴kMA＝﹣1，又kMA·kMB＝﹣eq\f(b2,a2)＝﹣eq\f(1,2)，∴kMB＝eq\f(1,2).考点四过圆锥曲线上点的切线方程核心提炼已知点P(x0，y0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，双曲线中eq\f(x0x,a2)﹣eq\f(y0y,b2)＝1.例4已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1.如图，设直线l与圆O：x2＋y2＝R2(1<R<2)相切于点A，与椭圆C相切于点B，则|AB|的最大值为________.答案为：1解析：连接OA，OB，如图所示.设B(x0，y0)，所以过点B与椭圆相切的直线方程为eq\f(x0x,4)＋y0y＝1，即x0x＋4y0y﹣4＝0，又R2＝|OA|2＝eq\f(16,x\o\al(2,0)＋16y\o\al(2,0))，R为圆半径，R∈(1,2)，|AB|2＝|OB|2﹣R2＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)﹣eq\f(16,x\o\al(2,0)＋16y\o\al(2,0))，又eq\f(x\o\al(2,0),4)＋yeq\o\al(2,0)＝1，所以xeq\o\al(2,0)＝4﹣4yeq\o\al(2,0)，所以|AB|2＝4﹣3yeq\o\al(2,0)﹣eq\f(4,3y\o\al(2,0)＋1)＝5﹣(3yeq\o\al(2,0)＋1)﹣eq\f(4,3y\o\al(2,0)＋1)≤5﹣2eq\r(4)＝1，当且仅当3yeq\o\al(2,0)＋1＝eq\f(4,3y\o\al(2,0)＋1)，即yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,3)，xeq\o\al(2,0)＝eq\f(8,3)时，等号成立，所以|AB|max＝1，此时R2＝eq\f(16,x\o\al(2,0)＋16y\o\al(2,0))＝2，即R＝eq\r(2)∈(1,2)，故当R＝eq\r(2)时，|AB|max＝1.规律方法(1)该切线方程的前提是点P在圆锥曲线上.(2)类比可得过圆(x﹣a)2＋(y﹣b)2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0﹣a)(x﹣a)＋(y0﹣b)·(y﹣b)＝1.跟踪演练4已知F为椭圆C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦点，点A是直线x＝3上的动点，过点A作椭圆C的切线AM，AN，切点分别为M，N，则|MF|＋|NF|﹣|MN|的值为()A.3B.2C.1D.0答案为：D解析：由已知可得F(1,0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(3，t)则切线AM，AN的方程分别为eq\f(x1x,3)＋eq\f(y1y,2)＝1，eq\f(x2x,3)＋eq\f(y2y,2)＝1，因为切线AM，AN过点A(3，t)，所以x1＋eq\f(ty1,2)＝1，x2＋eq\f(ty2,2)＝1，所以直线MN的方程为x＋eq\f(ty,2)＝1，因为F(1,0)，所以1＋eq\f(t×0,2)＝1，所以点F(1,0)在直线MN上，所以M，N，F三点共线，所以|MF|＋|NF|﹣|MN|＝0.专题强化练1.过双曲线C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率均存在，且斜率之积为eq\f(2,5)，则双曲线C的离心率为()A.eq\f(\r(29),5)B.eq\f(\r(30),3)C.eq\f(\r(35),5)D.eq\f(\r(30),5)答案为：C解析：设P(x0，y0)，由于双曲线C在点P(x0，y0)处的切线方程为eq\f(xx0,a2)﹣eq\f(yy0,b2)＝1，故切线l的斜率k＝eq\f(b2x0,a2y0)，因为k·kOP＝eq\f(2,5)，则eq\f(b2x0,a2y0)·eq\f(y0,x0)＝eq\f(2,5)，则eq\f(b2,a2)＝eq\f(2,5)，即双曲线C的离心率e＝eq\r(1＋\f(2,5))＝eq\f(\r(35),5).2.已知双曲线C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx(k≠0)与C交于M，N两点，且四边形MF1NF2的面积为8a2.若点M关于点F2的对称点为M′，且|M′N|＝|MN|，则C的离心率是()A.eq\r(3)B.eq\r(5)C.3D.5答案为：B解析：如图，由对称性知MN与F1F2互相平分，∴四边形MF2NF1为平行四边形，∵F2为MM′的中点，且|MN|＝|M′N|，∴NF2⊥MF2，∴四边形MF2NF1为矩形，∴SKIPIF1<0又SKIPIF1<0＝eq\f(b2,tan\f(π,4))＝4a2，即b2＝4a2，∴c2﹣a2＝4a2，即c2＝5a2，即e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).3.椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线交椭圆于A，B两点，且eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，则△AF1B的外接圆面积为()A.eq\f(5π,2)B.4πC.9πD.eq\f(25π,4)答案为：D解析：如图，a＝3，b＝2，c＝eq\r(5)，令|F2B|＝t，则|AF2|＝2t，∵eq\f(1,|AF2|)＋eq\f(1,|BF2|)＝eq\f(2a,b2)，∴eq\f(1,t)＋eq\f(1,2t)＝eq\f(3,2)⇒t＝1，∴|BF2|＝1，|AF2|＝2，由椭圆定义知|BF1|＝5，|AF1|＝4，∴△ABF1中，|AB|＝3，|AF1|＝4，|BF1|＝5，∴AF1⊥AB，∴△ABF1外接圆半径R＝eq\f(|BF1|,2)＝eq\f(5,2)，其面积为eq\f(25π,4).4.已知双曲线C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(2)B.2C.eq\r(3)D.3答案为：A解析：如图，∵eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，∴BA⊥BP，令kAB＝k，∵∠ADO＝∠AOD，∴kAP＝﹣kAB＝﹣k，又BA⊥BP，∴kPB＝﹣eq\f(1,k)，依题意知kPB·kPA＝eq\f(b2,a2)，∴﹣eq\f(1,k)·(﹣k)＝eq\f(b2,a2)，∴eq\f(b2,a2)＝1，即e＝eq\r(2).5.(多选)设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是C上异于A1，A2的一点，则下列结论正确的是()A.若C的离心率为eq\f(1,2)，则直线PA1与PA2的斜率之积为﹣eq\f(4,3)B.若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为b2C.若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，则C的离心率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))D.若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,5)))答案为：BD解析：设P(x0，y0)，所以eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴a＝2c，∴a2＝eq\f(4,3)b2，∴SKIPIF1<0＝﹣eq\f(b2,a2)＝﹣eq\f(3,4)，∴选项A错误；若PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为b2tan

eq\f(π,4)＝b2，∴选项B正确；若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，即C上存在四个点P使得△PF1F2的面积为b2，∴eq\f(1,2)·2c·b>b2，∴c>b，∴c2>a2﹣c2，∴e∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))，∴选项C错误；若|PF1|≤2b恒成立，∴a＋c≤2b，∴a2＋c2＋2ac≤4b2＝4(a2﹣c2)，∴5e2＋2e﹣3≤0，∴0<e≤eq\f(3,5)，∴选项D正确.6.(多选)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，P为双曲线的左支上一点，且直线PA1与PA2的斜率之积等于3，则下列说法正确的是()A.双曲线C的离心率为2B.若PF1⊥PF2，且SKIPIF1<0＝3，则a＝2C.以线段PF1，A1A2为直径的两个圆外切D.若点P在第二象限，则∠PF1A2＝2∠PA2F1答案为：ACD解析：对于A，设P(x，y)，则y2＝b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－1))，因为A1(﹣a，0)，A2(a，0)，所以SKIPIF1<0＝eq\f(b2,a2)＝3，得e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2，故A正确；对于B，因为eq\f(c,a)＝2，所以c＝2a，根据双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|＝2a，又因为PF1⊥PF2，所以△PF1F2的面积为eq\f(b2,tan

\f(π,4))＝b2＝3，又eq\f(b2,a2)＝3，所以a＝1，故B错误；对于C，设PF1的中点为O1，O为原点.因为OO1为△PF1F2的中位线，所以|OO1|＝eq\f(1,2)|PF2|＝eq\f(1,2)(|PF1|＋2a)＝eq\f(1,2)|PF1|＋a，则可知以线段PF1，A1A2为直径的两个圆外切，故C正确；对于D，设P(x0，y0)，则x0<﹣a，y0>0.因为e＝2，所以c＝2a，b＝eq\r(3)a，则渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，所以∠PA2F1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，∠PF1A2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3))).又tan∠PF1A2＝eq\f(y0,x0＋c)＝eq\f(y0,x0＋2a)，tan∠PA2F1＝﹣eq\f(y0,x0－a)，所以tan2∠PA2F1＝eq\f(－\f(2y0,x0－a),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0－a)))2)＝eq\f(－2y0x0－a,x0－a2－y\o\al(2,0))＝eq\f(－2y0x0－a,x0－a2－b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),a2)－1)))＝eq\f(－2y0x0－a,x0－a2－3a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),a2)－1)))＝eq\f(－2y0x0－a,x0－a2－3x\o\al(2,0)－a2)＝eq\f(y0,x0＋2a)＝tan∠PF1A2，因为2∠PA2F1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，所以∠PF1A2＝2∠PA2F1，故D正确.7.椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上