新高考数学一轮复习讲义+分层练习 1.3《不等式的性质与一元二次不等式》 (原卷版)

第第页第一节不等式的性质与一元二次不等式1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.1.两个实数比较大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＞0⇔a＞b，,a－b＝0⇔a＝b（a，b∈R），,a－b＜0⇔a＜b.))(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＞1⇔a＞b，,\f(a,b)＝1⇔a＝b（a∈R，b＞0），,\f(a,b)＜1⇔a＜b)).2.不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(5)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；(6)开方法则：a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n≥2，n∈N)；(7)倒数性质：设ab>0，则a<b⇔eq\f(1,a)>eq\f(1,b).3.“三个二次”的关系判别式Δ＝b2﹣4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝﹣eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠﹣eq\f(b,2a)}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅eq\a\vs4\al([常用结论])1.若a＞b＞0，m＞0，则eq\f(b,a)＜eq\f(b＋m,a＋m)；若b＞a＞0，m＞0，则eq\f(b,a)＞eq\f(b＋m,a＋m).2.(x﹣a)(x﹣b)＞0或(x﹣a)(x﹣b)＜0型不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间.3.恒成立问题的转化：a＞f(x)恒成立⇒a＞f(x)max；a≤f(x)恒成立⇒a≤f(x)min.4.能成立问题的转化：a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a＞b⇔ac2＞bc2.()(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2﹣4ac≤0.()二、教材改编1.函数f(x)＝eq\r(3x－x2)的定义域为()A.[0，3]B.(0，3)C.(﹣∞，0]∪[3，＋∞)D.(﹣∞，0)∪(3，＋∞)2.设A＝(x﹣3)2，B＝(x﹣2)(x﹣4)，则A与B的大小关系为()A.A≥BB.A＞BC.A≤BD.A＜B3.设b<a，d<c，则下列不等式中一定成立的是()A.a﹣c<b﹣dB.ac<bdC.a＋c>b＋dD.a＋d>b＋c4.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|﹣eq\f(1,2)<x<eq\f(1,3)}，则a＋b＝________.考点1比较大小与不等式的性质比较大小的5种常用方法(1)作差法：直接作差判断正负即可(常用变形手段：因式分解、配方、有理化、通分等).(2)作商法：直接作商与1的大小比较，注意两式的符号.(3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数的单调性比较.(4)不等式的性质法.(5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论.1.若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是()A.a＋c≥b﹣cB.(a﹣b)c2≥0C.ac＞bcD.eq\f(b,a)≤eq\f(b＋c,a＋c)2.若a<0，b<0，则p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)与q＝a＋b的大小关系为()A.p<qB.p≤qC.p>qD.p≥q3.若a＞b，则()A.ln(a﹣b)＞0B.3a＜3bC.a3﹣b3＞0D.|a|＞|b|4.设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(﹣1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(﹣2)的取值范围是________.(1)尽管特值法可以较快的排除干扰选项，但直接应用该法作出正确判断是有风险的，如T2，T3.(2)利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件，如T1，T4.考点2一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤解下列不等式：(1)3＋2x﹣x2≥0；(2)ax2﹣(a＋1)x＋1<0(a∈R).[母题探究]将本例(2)中不等式改为x2﹣(a＋1)x＋a<0(a∈R)，求不等式的解集.解含参不等式的分类讨论依据提醒：含参数讨论问题最后要综上所述.[备选例题]解不等式：x2﹣2ax＋2≤0(a∈R).1.已知不等式ax2﹣5x＋b>0的解集为{x|x＜﹣eq\f(1,3)或x＞eq\f(1,2)}，则不等式bx2﹣5x＋a>0的解集为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,3)＜x＜\f(1,2)))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(1,3)或x＞\f(1,2)))C.{x|﹣3<x<2}D.{x|x<﹣3或x>2}2.不等式eq\f(2x＋1,x－5)≥﹣1的解集为________.3.解不等式12x2﹣ax>a2(a∈R).考点3一元二次不等式恒成立问题在R上恒成立，求参数的范围一元二次不等式在R上恒成立的条件不等式类型恒成立条件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0不等式(a﹣2)x2＋2(a﹣2)x﹣4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________.本题在求解中常因忽略“a﹣2＝0”的情形致误，只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况.若不等式2kx2＋kx﹣eq\f(3,8)<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A.(﹣3，0)B.[﹣3，0)C.[﹣3，0]D.(﹣3，0]在给定区间上恒成立，求参数的范围在给定某区间上恒成立，形如f(x)＞0或f(x)＜0(x∈[a，b])的不等式确定参数范围时，常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.已知函数f(x)＝mx2﹣mx﹣1.若对于x∈[1，3]，f(x)<5﹣m恒成立，求实数m的取值范围.[母题探究]若将“f(x)<5﹣m恒成立”改为“存在x，使f(x)<5﹣m成立”，如何求m的取值范围？函数最值法、分离参数法及数形结合法是解决不等式在给定某区间上恒成立问题的三种常用方法.每种方法对于不同试题各有优劣，要牢牢掌握，灵活使用，特别是数形结合时，满足条件的图象要画全，画对.二次函数问题建议多考虑，对应二次函数图象，建议恒成立或能成立问题求参数范围时，首选分离参数法.若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈(0，1]恒成立，则a的取值范围为______.给定参数范围的恒成立问题形如f(x)＞0或f(x)＜0(参数m∈[a，b])的不等式确定x的范围时，要注意变换主元，即将原不等式转化为g(m)＞0或g(m)＜0恒成立问题.对任意的k∈[﹣1，1]，函数f(x)＝x2＋(k﹣4)x＋4﹣2k的值恒大于零，则x的取值范围是__________.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x∈[﹣2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围.不等式的性质与一元二次不等式一、选择题1.已知R是实数集，集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|eq\f(x－6,2x－1)≥0}，则A∩(∁RB)＝()A.(1，6)B.[﹣1，2]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))2.若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题中正确的是()A.ac2＜bc2B.a2＞ab＞b2C.eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)D.eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)3.不等式2x2﹣4x＞22ax＋a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是()A.(1，4)B.(﹣4，﹣1)C.(﹣∞，﹣4)∪(﹣1，＋∞)D.(﹣∞，1)∪(4，＋∞)4.设函数f(x)＝ax2﹣2x＋2，对任意的x∈(1，4)都有f(x)>0，则实数a的取值范围是()A.[1，＋∞)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))5.若不等式x2﹣(a＋1)x＋a≤0的解集是解析：[﹣4，3]的子集，则a的取值范围是()A.[﹣4，1]B.[﹣4，3]C.[1，3]D.[﹣1，3]二、填空题6.已知a＋b>0，则eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)与eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小关系是________.7.已知1<a<4，2<b<8，则a﹣b的取值范围为________，eq\f(a,b)的取值范围为________.8.若不等式x2＋ax﹣2>0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是________.三、解答题9.已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)＜0的解集是(0，5).(1)求f(x)的解析式；(2)若对于任意的x∈[﹣1，1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围.10.甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100·(5x+1﹣eq\f(3,x))元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.1.已知x，y∈R，且x>y>0，则()A.eq\f(1,x)﹣eq\f(1,y)>0B.sinx﹣siny>0C.0.5x﹣0.5y<0D.lnx＋lny>02.若不等式﹣2≤x2﹣2ax＋a≤﹣1有唯一解，则a的值为________.3.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为解析：[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________.4.已知函数f(x)＝x2﹣2ax﹣1＋a，a∈