【教学课件】计算机数学(A)直播课

计算机数学（A）直播课

•安徽电大责任教师吴和生

2010-10-9

联系方式

•E-mail:wuhesheng@mail.

•电话:(0551)3638362

•写信：邮编230022,

­地址为：安徽电大教学处吴和生

2010-10-9

线性代数

•行列式

•矩阵

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行列式

•二阶行列式的定义

•n阶行列式定义

•行列式的性质

•行列式按行（列）展开

•例题分析

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(一)行列式的来源，二阶行列式的定义

来源:解线性方程组

考虑用消元法解

1X]+“12”2仄(1)

g2Ml+。22%2b2(2)

为了求邺1,需先消去工2•于是⑴X〃22—(2)X%2得:

1。22—="。22~b2a12

当％］。22一々12。21。0时，

乙，22—b2a12

—

2010-10-9。11〃22〃12〃21

类似有：丫_打。11一々。21

%2一

Q]]〃22—〃12〃21

这就是含有两个未知量两个方程的线性方程组在条件

%]々22一%2a21W0T的公式解.

公式解的缺点：不便于记忆

改进方法：引入新的记号

定义一：令

ab

7=ad—be

Qd

并把此式叫做一个二阶行列式.（结果是个数）

等式左端是记号，右端是行列式的算法.

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公式解的便于_仄。22—b2aI?

Ai—

记忆形式1々22一412々21

bia

。12u仄

〃2ib?

=乌万2a22=匹=

X

1aD

Dll々12。12

a21422々21。22

记法：⑴为62分母相同，其行列式形式由原方程中

未知数系数按其原有的相对位置而排成.

(2)X],/分子不同,分别是把居分母地位的行

列式中％1(乙)的系数所在位置换成两个常数项

并保持该二数原有的上下相对位置.

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（二）n阶行列式定义

余子式：在n阶行列式中,把元素陶•所在的行和列划去,

留下的n-1阶行列式叫做元素陶的余子式.

记作：

代数余子式：4=

例如：——牛口——多3

求：a%中42的余子式和代数余子式.

。21〃23

4=(-1产=一(〃2/23_。31a23)

。31。23

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a\\“12“13

。21〃22a23=%141+^12^12+%3/13

a

3\。32〃33

D=+….+

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（三）行列式的性质

性质1:行列式与其转置行列式的值相等.

•••6Ziaa•••a

1/7\\2\nX

a22•••a•••一

2n—na22

••••••••••••••••••••••••

••••••

an\ian2°anna.a2、nann

说明:此性质很重要.它说明行列式中的行与列的地位是

等同的.行列式的性质凡是对亚成立的对列也成立.

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性质2:互换行列式的两行（列），行列式变号.

口11口■♦Cl.

121n口11a12•■■a1"

•■•.♦■♦■••■

♦•■♦.■♦.■♦♦■

■,a.

a,1az2tnaI■•■CL.

jiJ2JR

••••••♦♦

-------■■—■♦•■••

■•

a八aj2a.■.■a.

jnai2Z/7

■••■••••♦••♦.■♦♦■■■♦

CL1CL「♦♦a

n2「•••

n1an1iCLn2ann

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推论:如果行列式有两行（列）完全相同,则此行列式为零.

性质3:anan・♦♦Qi•••

inawana,In

•••••••••♦♦♦

・♦♦••♦••♦•••

•••ka

in-k•••

ai\ai2a-in

••••••••••••・♦♦•••••••••

•••

aiaoa•••

n\n2nnan\ian20ann

行列式任一行的公因子可提到行列式之外.

或用常数左乘行列式任意一行的诸元素，等于用左

乘这个行列式.

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性质4:行列式中如果有两行（列）元素成比例,

则此行列式等于零.

性质5:

aa

\\"12…\na\\ai2…。In

•••••••・♦•••••••••••••••

——

a・ad-a…a.

i\+AT%2+42'.in+inz}linlin

♦・••・••・••••♦

QiQc•••d

许1Jn2…Qnnn\n2nn

an…a\n

+bi\…bin

注:性质3,性质5又称为线性性质

Qn2ann

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性质6:在行列式中，把某行各元素分别乘非零常数尤

再加到另一行的对应元素上去，行列式的值不变.

•••

a\\aI2aa•••

\nnnin

••••••••••••

••••••••••••

•••

ai2a.aa•••

ini\i2a.in

••••••••••••

—••••••••••••

•••

aa.a开+ka.•••a.+ka.

Jlaj2J"}aj2+

J1’1jnin

••••••••••••

••••••••••••

•••

a1a0a•••

nln2nnanl1an2°ann

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（四）行列式按行（列）展开

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应

的代数余子式乘积之和.

即:+%242+…许A（，=12…〃）

或D=a^.Ay+a2JA2J+---anjAnJ（J=l,2，・・・〃）

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推论：

行列式某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应

元素的代数余子式乘积之和等于零.

即ai\AjX+ai2Ajl+…%=0j）

即+…=°«WJ）

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。八八+，••+Q.A-

D—4aj2j2+jnjn

%1♦，，

•.

a•••

11CLi.n

.•

_••

••

CL.,•••CL./_

jlJR7第/行

••a】iaXn

,■

0力1•一/n

aziain

/I+Qi24j2+..•+in/%

—第/行

ann

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代数余子式的重要在於：

••

〃\D1=J

工以4=口环=\

或I〔1i=J

%=<

nD0i半j

ADLJ

^ikjk=^J=j0••

l手J

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（五）例题分析

计算方法:化上（下）三角形法；降阶法.

11—12

例1.计算八—1—1—41

L）—

24—61

1242

解:法1（化上三角形法）

丫2+尸1

11-1211-12

Q-2。

00-530150

〃4一。

02-4-302-4-3

015000-53

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11—12511—12

Q-----r3

G-2r015041430151

2=57

00—14-300—14-3

57

00-53000

14

法2（降阶法）

尸2

11-12

尸3-2。0-53

4

〃4—400—532—4—3

02-4-3

7=1150

0150

可直接用对角线法则计算三阶行列式

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或00—533

以G—2r3-53八十-2-190

-0—14-3===57

J=1—14—3—14-3

150

例2.14—14

计算2143

D二

42311

3092

解:

14—14

-76—5-76—5

0-76—5

D=—147—5-710

0—147—5

-1212-10-1212-10

0-1212-10

356-535—5351

=—5x2二10

01072-10361

2010-10-97212-10

计算简便些：14-14

八一4々-70-17-82143

D二

°q-2々214342311

00-553092

3092

—7—17—8

=(7)2+2X1X0-55

392

—7—25—8

-7-25

二005=(-1)2+3X5X二10

311

3112

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abcd

例3计算_

daa+bQ+b+ca+b+c+d

a2a+b3a+2b+c4。+3b+2。+d

a3a+b6a+3b+c10a+6b+3c+d

解：（化上三角形法）

abcdabd

0aa+ba+b+c0a+ba+b+c

0a2a+b3a+2b+c002a+b

0a3a+b6a+3b+c00a3a+b

bd

0aa+ba+b+c

Q-Ga4

00a2a+b

2010-10-000a

例4:解方程组

0

+2

1

解:先计算

31-1501

51

D=2-12=2—12=-2

31

11-1301

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=0

=2

=1

01-1

4=2—12=1

11-1

30-1310

。2=222=—1232-12=-9

111

11-1

9

所以：

2

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例证明

5/+ab]+GG+a{axb}cx

。2+，2&+。2。2+。2

2a2b2c2

%+打“3，3。3

33+03°3十°3

证明：

4-qb1-%cx+ax

左C]+。2+。3

02+“2

b?-c?b2-a2

03+03

b3-c3b3-a3

—名

4bi-axcx+ax4+%

02+。。2+“2

2b2b2-a222b2一

bb

3。3+%3一〃3

b3-a3Q+%

b1

Q+。2

2b2c24-(―1)2%b?q

。3，3°3

仇

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2(q+4+%)K+6%+%

+。2+。3

左—==2(。2+32+。2)b0+。2。2+。2

2(%+33+03)+。3。3+。3

a+，+q仄+G5+a

。2・2xx

。。。

22++2b2+G02+2

。

%+d+%b3+q3+%

b

%+A+cl—%~1

b

2a2+b2+c2一a2~2

一久

%+4+c3~a3

C[<7^C3

b

一(71~1axa9

C]+。2+。3

。2—G

2~a2-22a2b?G

-3

~a343b3c3

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法2（按列拆开）

十%

a{4+G4+GC[+Q]

左=

+。2

b?+。2+b2b?+。2C?+。2

，3+03+“3b2+03

%3C3+03

ax4G+a1axcl+ajb1bxG+ax

匕。2+Q。2b2

a222+02+。2+C2+“2

b。3+Q“3bC

a333q+a33333+03

b1G+a1%

+b2Cc+a

222一2。2b?c?

03c+a

33%/。3

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xaaa

例6计算axaa

D〃=aaxa

•・・・••・・先观察再计算

aaaX

x+(〃-l)qx+(〃-l)a…x+(〃-l)q

解：n

ax•••a

Di=2

n-----------------aa•••a

ax

11­••1

"+L卜+…]……。

aa…a

2010-10-9aa•••x

1ii…i

0x-ci0,•,0

4"八[x+(n-l)a]00x—a,•,0

••••••

000,•,x—ci

100•••0

或

ax-ci0,，,0

[x+(〃-l)q]a0x-ci,，,0

••••••

a00,•,x—ci

x+(n-l)67](xan-\

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一.矩阵概念

二.矩阵的基本运算

三.逆矩阵

四.矩阵的分块

五.初等变换与初等矩阵

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一.矩阵概念

（一）矩阵的定义

（二）一些特殊的矩阵

（三）矩阵的应用实例

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（一）矩阵的定义

由mx〃个数%（，=12…，掰"=12…2）

排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵.

简称mX〃矩阵

。12Qi\n।

小

记作A=〃21〃222n

yam\am2

amnJ、771121、

例A=1591319

简记为A=（aii）

J881419>

记号

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(二)一些特殊的矩阵

对A型矩阵而言

mxn

零矩阵:mx〃个元素都为零的矩阵.记作:。

行矩阵：m=l

/=(1a2・・・Qn)

列矩阵：n=l

b

A=.2

*

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方阵：加=〃称/为n阶方阵.

单位矩阵：

主对角元全为1，其余元素全为零的阶矩阵.

记作：工或£

数量矩阵：

主对角元全为非零常数左，其余元素全为零

的口阶矩阵.

n)(k、

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对角阵：

非主对角元皆为零的阶矩阵.

二成…％)二

A*

1an)

行列式与矩阵的区别：

一个是算式，一个是数表

一个行列数相同,一个可不同.

对n阶方阵可求它的行列式.记为：|/|

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（三）矩阵的应用实例

例1（通路矩阵）。省两个城市外,%和6省三个城市“也也

的交通联结情况如图每条线上的数字表示联结该两城

市的不同通路总数.由该图提供的通路信息，可用矩阵形

式表示，称之为通路矩阵.

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例2(价格矩阵)四种食品(Food)在三家商店(Shop)中，单位

量的售价(以某种货币单位计)可用以下矩阵给出

F\工厂3

,177112八

1591319邑

J88151刃S3

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例3（赢得矩阵我国古代有“齐王赛马”的事例，说的是

战国时代齐王与其大将田忌赛马，双方约定各出上，中，

下3个等级的马各一匹进行比赛，这样共赛马3次，每次

比赛的败者付给胜者一百金.已知在同一等级马的比

赛中,齐王之马可稳操胜券，但田忌的上，中等级的马分

别可胜齐王中，下等级的马.

比赛策略:

（上，中,下），（中，上,下），（下，中，上）,

123

（上，下,中），（中，下，上），（下，上,中）.

456

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齐王的赢得矩阵

田

忌策略

♦一

III-P

3

1

齐I-III

1

王-1

A3III

策11

A--I3II

略1

--II3I

1

IA-1

II-I3?

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例4（系数矩阵）

71

个变量项,超，…%与加个变量弘/2,…几之间的

关系式

++

M=4[IX]“12、2+a.\nxn

〃+++6Z

%=2111a2G?20nXn

+aX

IK=a加%+am2%+mnn

表示从变量为，％2,…%到变量必，外，…%的线性变换.

其中均为常数.，二（%^mxn

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线性变换<二上>矩阵

y二X1

1

/2=、2

•••

%=%I1J

%

yi

丸2

%

IK

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二.矩阵的基本运算

（一）矩阵相等,加减法，数乘

（二）矩阵的乘法

（三）矩阵的转置

（四）方阵的行列式

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二.矩阵的基本运算

(一)矩阵相等，加减法，数乘

相等：设…(3='%=(%.)-

则加=$,〃=%且％=4«=1,2口・・，加；/=1，2,・・・/)

时，称矩阵4与矩阵5相等.

缶-1_8)_13-1

记作：A=B<0歹4厂102

4；

加法:A=(%)B…=(%)

N+刀=(%+%)

21(222、(543、

+

56)123J(579)

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满足运算规律:

⑴

/mxn+Bmxn=Emxn+Amxn>

(2)(Amxn+Bmxn)+C心〃=Amxn+5…+Cm.〃);

A

mxn二(%•)-4x〃=(”)

/+(—/)=o

Q_LA-A

(3)mxnmxnmxn

减法:

4x〃—Bmxn=4x〃+(—Pg)

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数乘•A

多人mxn=x(az/7.m.x)n,9数X

规定：AA=AX=(ylrz)

mxn

注意1矩阵的数乘与行列式的线性性质的区别.

1322641222

2「、「、2

(052)(0104J2545

满足运算规律：4iBE数九〃

⑴(%)N=

⑵(4+—A/4+jjA;

(3)2(A+B)=AA+AB;

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（二）矩阵的乘法

引例某地有两个工厂生产甲，乙，丙三种产品.矩阵

4表示一年中各工厂生产每种产品的数量，矩阵

5表示每种产品的单位价格及单位利润,矩阵C

表示各工厂的总收入和总利润.

a)

awanu13II飞1bj甲

A=

B—Z?2]b22乙

〃22。23J12

丙

Mib32）

甲乙丙单位单位

(Cc11。12,价格利润

C=L

<C21022)12

总收入总利润

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“ll^n+。12》21+“13^31，1@12+/2“22+，13》32

+々22621+。23631a21bl2+Q22b22+。23b32)

Cncn

\C21C?2)

其中Cjj-。油1j+42b2/+%333)(，；j—1,2)

定义：/=(%)

Jimxs

规定:4与5的乘积是一个加x〃阵。=(%.)»〃

Cij=%4/+..・+册分

s

i=L・・・m;j=L…4

=Z"永加，

k=l

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记作：C=AB

注：(1)两矩阵45可做乘积4g的必要条件

/的列数=5的行数

(2)矩阵相乘对初学者来说是较为陌生的运算法则,

需通过大量，反复练习来掌握.

，12、

例5(\-21]

A二

1110一B=-11

\/2x3、1-2

3/3x2

例

6(10-12(0-4、

A=-1130

12

1057—6B—

小4-3-2

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l-l174x2

例7

a,

A=.2B-(bb?・・・b)

*\}12n/]1xn

)77X1

例8(11),1-P

A—

1-1-1J1?

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注意:

(1)矩阵乘法不满足交换律.

但不是说对任意两个矩阵43一定有48wA4

例(20)(ab'

A-_B—

d,

2b}

AB=BA=

、2c2dy

(2)两个非零矩阵的乘积可能是雯矩阵.(如例8)

(有别于数的乘法)

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(3)一个非零矩阵如有左(右)零因子，其左(右)零因子

不唯一\

(11)(1-1](2-2^

A—B—C=

1-1-1J1-11J(-22)

BwC4B=0,AC=O

结论：矩阵乘法不适合消去律.

AB=AC/wO不能推出B二C

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又例

A=B=C=

、24Jk21JI12)

1-55)

”-10W)=ACNwOB字C

满足运算律(乘法有意义的前提下)

结合律：(48)。=/。。

数乘结合律：k(AB)=(k冷B=A(kB)

左分配律：A(B+C)=AB+AC

右分配律：(B+C)A=BA+CA

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看几个特殊矩阵的乘法运算

勺00^(1214^(1214、

0105-802=5—802

、001八1。137)【1。13L

r121(1214、

5-802=5—802

1[101

(1013V

3V1J

A

二A

EmAmxn^mxnAmxn纥Ljnxn

(

kEm)Amxn—k(Em4nl.)—

“mxn(kEn)=k(AmxnEn)—

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上个A相乘

定义方阵塞和方阵的多项式V

Ak

c几xnA=//・・・/

屋・/=Ak+m(Ak)m=Akm左，加为正整数

当时，(AB)k^AkBk

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（三）矩阵的转置

a