适用于新教材2023版高中数学第六章计数原理6.2排列与组合6.2.1排列探究导学课件新人教A版选择性必修第三册

6.2排列与组合6.2.1排列第六章新课程标准素养风向标1.理解并掌握排列的概念.2.会求一个排列问题的所有排列.1.能够通过问题的解答理解排列的概念.(数学抽象)2.能用列举法、“树状图”表示一个排列问题的所有排列.(数学运算)基础预习初探主题

排列的概念1.从1,2,3,4这4个数字中,每次取出2个排成一个两位数,共得到多少个不同的两位数?提示:从4个数字中,每次取出2个,按“十位、个位”的顺序排成一列,就得到一个两位数:第1步,确定十位上数字,从1,2,3,4这4个数字中任取1个,有4种方法;第2步:确定个位上数字,从余下的3个数字中去取,有3种方法.所以共有4×3=12种方法.所有的两位数:12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43.

结论:1.一般地,从n个_________中取出m(m≤n)个元素,并按照___________排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2.两个排列相同的充要条件是:两个排列的元素_________,且元素的_________也相同.不同元素一定的顺序完全相同排列顺序【对点练】

下列问题是否是排列问题?说明你的理由.(1)高二·18班从10名男生中选出4名参加4×100米接力,有多少种安排方法?(2)某质检中心从一个工厂送检的100件产品中随机抽出10件进行质量检验,有多少种抽取方法?【解析】(1)是排列问题,因为接力要排第一棒,第二棒,第三棒,第四棒,与顺序有关.(2)不是排列问题,因为从100件产品中抽10件检验,与顺序没有关系.核心互动探究探究点一

排列的有关概念【典例1】判断下列问题是否是排列问题.(1)从1,2,3,4四个数字中,任选两个做加法,其结果有多少种不同的可能?(2)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标,可得到多少个不同的点的坐标?(3)从10名同学中任抽2名同学去学校开座谈会,有多少种不同的抽取方法?(4)某商场有四个大门,若从一个大门进去,购买物品后,再从另一个大门出来,不同的出入方式有多少种?(5)有红球、黄球、白球各一个,现从这三个小球中任取两个,分别放入甲、乙两个盒子里,有多少种不同的放法?【思维导引】与“顺序”有关是排列问题,与“顺序”无关不是排列问题.【解析】(1)不是.加法运算满足交换律,所以选出的2个元素做加法时,与两个元素的位置无关,所以不是排列问题.(2)是.由于取出的两数组成的点的坐标与哪一个数为横坐标,哪一个数为纵坐标的顺序有关,所以这是一个排列问题.(3)不是.因为任何一种从10名同学中抽取2名同学去学校开座谈会的方式不需要考虑两个人的顺序,所以这不是排列问题.(4)是.因为从一门进,从另一门出是有顺序的,所以这是排列问题.(5)是.任取两球分别放入甲、乙两个盒子里,有顺序之分,所以这是排列问题.

【类题通法】判断一个具体问题是否为排列问题的方法判断一个问题是不是排列问题,关键看是否与元素的顺序有关.若与顺序有关,就是排列问题,若与顺序无关,就不是排列问题,必要时可以变换元素的顺序比较是否有变化.【定向训练】

(多选题)从1,2,3,4四个数字中,任选两个数做以下数学运算,并分别计算它们的结果.在这些问题中,相应运算可以看作排列问题的有 (

)

A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法【解析】选BD.因为加法和乘法满足交换律,所以选出两个数做加法和乘法时,结果与两个数字的位置无关,故不是排列问题;而减法、除法与两个数字的位置有关,故是排列问题.探究点二

简单的排列问题【典例2】写出下列问题的所有排列:(1)北京、广州、南京、重庆4个城市相互通航,应该有多少种机票?(2)两名老师和两名学生合影留念,写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法,并回答共有多少种.【思维导引】用树状图,一级一级不重不漏,全部列出.【解析】(1)列出每一个起点和终点情况,如图所示.故符合题意的机票种类有:北京→广州,北京→南京,北京→重庆,广州→南京,广州→重庆,广州→北京,南京→重庆,南京→北京,南京→广州,重庆→北京,重庆→广州,重庆→南京,共12种.(2)由于老师不站左端,因此左端位置上只能安排学生.设两名学生分别为A,B,两名老师分别为M,N,此问题可分两类:由此可知所有可能的站法为AMNB,ANMB,ABMN,ABNM,BMNA,BNMA,BAMN,BANM,共8种.

【类题通法】解决简单的排列问题的方法用树状图解决简单的排列问题是常见的解题方法.它能很好地确定排列中各对象的先后顺序,利用树状图可具体地列出各种情况,避免排列的重复和遗漏.【定向训练】

从0,1,2,3这四个数字中,每次取出三个不同数字排成一个三位数.(1)能组成多少个不同的三位数,并写出这些三位数;(2)若组成的三位数中,1不能在百位,2不能在十位,3不能在个位,则这样的三位数共有多少个,并写出这些三位数.【解析】(1)组成三位数分三个步骤:第一步:选百位上的数字,0不能排在首位,故有3种不同的排法;第二步:选十位上的数字,有3种不同的排法;第三步:选个位上的数字,有2种不同的排法.由分步乘法计数原理得共有3×3×2=18个不同的三位数.画出下列树状图:由树状图知,所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.(2)直接画出树状图:由树状图知,符合条件的三位数有8个:201,210,230,231,301,302,310,312.【跟踪训练】

设ABCDEF为正六边形,一只青蛙开始在顶点A处,它每次可随意地跳到相邻两顶点之一,若在5次之内跳到D点,则停止跳动;若5次之内不能到达D点,则跳完5次也停止跳动,那么这只青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法共

种.

【解析】青蛙不能经过跳1次、2次或4次到达D点,故青蛙的跳法只有下列两种:青蛙跳3次到达D点,有ABCD,AFED2种跳法;青蛙一共跳5次后停止,那么,前3次的跳法一定不到达D,只能到达B或F,则共有AFEF,ABAF,AFAF,ABCB,ABAB,AFAB这6种跳法,随后两次跳法各有四种,比如由F出发的有FEF,FED,FAF,FAB共4种,因此这5次跳法共有6×4=24(种),因此共有24+2=26(种).答案:26课堂素养达标1.从2,3,5,7四个数中任选2个分别相除,则得到的结果有 (

)A.6个

B.10个 C.12个 D.16个【解析】选C.从2,3,5,7四个数中任选2个数分别相除,被除数有4种不同选法,除数有3种不同选法,所以共有4×3=12个.2.3本不同的课外读物分给3位同学,每人一本,则不同的分配方法有 (

)A.3种

B.6种

C.12种 D.5种【解析】选B.3本不同的课外读物分给3位同学,每人一本,分配方法有3×2×1=6种.3.由1,2,3,4,5组成没有重复数字且1,2都不与5相邻的五位数的个数是

.

【解析】先排3,4有2种排法,再插空排5有3种排法,再插空排1有2种排法,插空排2有3种排法,所以共有2×3×2×3=36个.答案:364