高一数学寒假讲义（新人教A专用）【预习】第07讲 平面向量的运算（教师卷）

第07讲平面向量的运算【学习目标】1、掌握平面向量的运算和探索其运算性质．2、体会平面向量运算的作用．【考点目录】考点一：向量的加法运算考点二：向量的减法运算考点三：与向量的模有关的问题考点四：向量的数乘运算考点五：共线向量与三点共线问题考点六：平面向量数量积的运算考点七：平面向量模的问题考点八：向量垂直（或夹角）问题【基础知识】知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则1、向量加法的概念及三角形法则已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．2、向量加法的平行四边形法则已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量，我们规定．知识点诠释：两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点．知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律1、向量求和的多边形法则的概念已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有2、向量加法的运算律（1）交换律：；（2）结合律：知识点三：向量的三角形不等式由向量的三角形法则，可以得到（1）当不共线时，；（2）当同向且共线时，同向，则；（3）当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．知识点四：向量的减法1、向量的减法（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．知识点诠释：（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．（3）两个向量的差仍是一个向量．2、向量减法的作图方法（1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．知识点五：数乘向量1、向量数乘的定义实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：（1）；（2）①当时，的方向与的方向相同；②当时．的方向与的方向相反；③当时，．2、向量数乘的几何意义由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．3、向量数乘的运算律设为实数结合律：；分配律：，知识点六：向量共线的条件1、向量共线的条件（1）当向量时，与任一向量共线．（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．2、向量共线的判定定理是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．3、向量共线的性质定理若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．知识点诠释：（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；（3）有且只有一个实数，使．（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一．知识点七：平面向量的数量积1、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0．2、如图（1），设是两个非零向量，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．如图（2），在平面内任取一点O，作．过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量．知识点诠释：1、两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定．（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．（3）在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0．2、投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为．3、投影向量是一个向量，当对于任意的，都有．知识点八：平面向量数量积的几何意义数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即．事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以．知识点九：向量数量积的性质设与为两个非零向量，是与同向的单位向量．1、2、3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或4、5、知识点十：向量数量积的运算律1、交换律：2、数乘结合律：3、分配律：知识点诠释：1、已知实数、、，则．但是；2、在实数中，有，但是显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线．【考点剖析】考点一：向量的加法运算例1．已知、是不平行的向量，若，，，则下列关系中正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】＝＋＋＝＝＝2．故选：C例2．设，是任一非零向量，则在下列结论中：①；②；③；④；⑤．正确结论的序号是（）A．①⑤ B．②④⑤ C．③⑤ D．①③⑤【答案】D【解析】，又是任一非零向量，，，，①③⑤正确．故选：D．例3．如图，在平行四边形中，O是和的交点．（1）____________；（2）________；（3）_______；（4）_________．【答案】【解析】（1）由平行四边形法则，；（2）由向量加法的三角形法则，；（3）由向量加法法则得，；（4）由向量加法法则得，．故答案为：；；；．考点二：向量的减法运算例4．在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（）A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴四边形一定是梯形．故选：B．例5．如图，已知向量，，求作向量．【解析】解：（1）如图，将向量的起点平移到向量的起点，以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量；（2）如图，将向量的起点平移到向量的起点，以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量；考点三：与向量的模有关的问题例6．（1）已知、、的模分别为1、2、3，求|++|的最大值；（2）如图所示，已知矩形ABCD中，，设，，，试求|++|的大小．【解析】（1）∵|++|≤||+||+||=1+2+3=6，∴|++|的最大值为6．（2）过点D作AC的平行线，交BC的延长线于E，如图所示．∵DE∥AC，AD∥BE，∴四边形ADEC为平行四边形，∴，，于是，∴．例7．已知平面上不共线的四点，若，则等于（）A． B． C．3 D．2【答案】C【解析】解：由，得，即，所以，即，故选：C．例8．已知非零向量，满足，，且|－|=4，求|+|的值．【解析】如图，，，则．以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则．由于．故，所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以OACB是矩形．根据矩形的对角线相等有，即|+|=4．考点四：向量的数乘运算例9．计算下列各式：（1）4（+）3（）；（2）3（2+）（2+3）；（3）．【解析】（1）原式=43+4+3=+7．（2）原式=36+32+3=7+6．（3）原式．例10．如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示【解析】在中考点五：共线向量与三点共线问题例11．设两非零向量和不共线，（1）如果求证三点共线．（2）试确定实数，使和共线．【解析】（1）证明

共线，又有公共点，∴三点共线．（2）解

∵和共线，∴存在，使，则由于和不共线，只能有则．例12．已知向量，，其中，不共线，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与共线？【解析】因为向量，，所以要使与共线，则应有实数，使，即，即得．故存在这样的实数λ，μ，只要，就能使与共线．例13．如图所示：，在中，向量，AD与BC交于点M，设，在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1．【解析】因为A，M，D三点共线，所以，因为B，M，C三点共线，所以，解得，所以，因为＝p，＝q，所以．因为共线，所以，即，所以＋＝1．考点六：平面向量数量积的运算例14．已知，，（1）求；（2）求向量在向量方向上的投影【解析】（1）∵，∴，∵，，∴，∴，（2）∵，∴向量a在向量a＋b方向上的投影为＝＝．例15．已知平面向量，满足，，．（1）求；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．【解析】（1）依题意，，得，，所以；（2）由向量与的夹角为锐角，可得，即有，解得，而当向量与同向时，可知，综上所述的取值范围为．例16．已知，且向量与向量的夹角．（1）求；（2）求向量在向量上的投影向量．【解析】解：；（2）设与向量方向相同的单位向量为，则．向量在向量上的投影为：，所以向量在向量上的投影向量为．考点七：平面向量模的问题例17．已知向量与满足，，与的夹角大小为60°，则______．【答案】【解析】解：由题可知，，，与的夹角大小为60°，则，即，则，解得：．故答案为：．例18．已知向量，满足：，，．（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，求实数的值．【解析】（1）由题意得，即，∴，∵，∴．（2）．（3）∵，∴，即．∴．考点八：向量垂直（或夹角）问题例19．已知，且向量在向量方向上的投影数量为．（1）求与的夹角；（2）求；（3）当为何值时，向量与向量互相垂直？【解析】（1）因为，所以．又在方向上的投影数量为，所以，所以，所以．（2）．（3）因为与互相垂直，所以，所以，所以．例20．已知，，，求：（1）与的夹角；（2）与的夹角的余弦值．【解析】（1），，，设与的夹角为，则．又，；（2），，．，又．，设与的夹角为，则．即与的夹角的余弦值为．【真题演练】1．（2023·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】∵，又∵∴9，∴故选：C.2．（全国·高考真题（文））已知非零向量满足，且，则与的夹角为A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．3．（北京·高考真题（理））设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A､B､C三点不共线,∴|+|>|||+|>|-||+|2>|-|2•>0与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C.4．（2023·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．【答案】【解析】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．故答案为：．5．（2023·全国·高考真题（文））若向量满足，则_________.【答案】【解析】∵∴∴.故答案为：.6．（2023·全国·高考真题（理））设为单位向量，且，则______________.【答案】【解析】因为为单位向量，所以所以解得：所以故答案为：7．（2023·全国·高考真题（理））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.【答案】【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.故答案为：．8．（全国·高考真题（理））已知为单位向量，且=0，若，则___________.【答案】.【解析】因为，，所以，，所以，所以．【过关检测】一、单选题1．（2023·全国·高一课时练习）在中，已知为上一点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.2．（2023·吉林·白城市通榆县毓才高级中学有限责任公司高一阶段练习）化简等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故选:C.3．（2023·全国·高一课时练习）已知在边长为2的等边中，向量，满足，，则（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【解析】如图所示：设点是的中点，由题可知：.故选：C.4．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习（文））如图，等腰梯形ABCD中，，点E为线段CD中点，点F为线段BC的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】连接，，点为线段中点，点为线段的中点，,又，.故选：B.5．（2023·全国·高一课时练习）在中，已知是边上一点，若，则（

）A．2 B．１C．-2 D．－1【答案】C【解析】如图所示：因为，所以为线段的三等分点中靠近的点，所以=,所以，所以.故选：C.6．（2023·全国·高一课时练习）是所在平面内一点，，则点必在（

）A．内部 B．在直线上C．在直线上 D．在直线上【答案】B【解析】，，，即与共线∴点一定在边所在直线上.故选：B．7．（2023·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习），，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影等于（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】向量在向量方向上的投影等于.故选：C.8．（2023·上海市金汇高级中学高一期末）如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、是原来小正方形的其中两个顶点边，是小正方形的其余顶点，在所有中，不同的数值有（

）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】D【解析】根据向量数量积的几何意义可知，，，，所以所有中有3个数值.故选：D二、多选题9．（2023·湖北·丹江口市第一中学高一阶段练习）边长为2的等边中，为的中点.下列正确的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】根据向量加法法则可知，，故A正确；根据向量减法法则可得，故B错误；由向量数量积公式得，故C正确；根据向量加法法则可知，，所以D正确.故选：ACD.10．（2023·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）已知非零平面向量，，，则说法正确的是（

）A．存在唯一的实数对，使 B．若，则C． D．若，则【答案】BC【解析】A选项，若与共线，与，都不共线，则与不可能共线，故A错；B选项，因为，,是非零平面向量，若，则，，所以，故B正确；C选项，因为，故C正确；D选项，若，则，，所以，故D错误.故选：BC.11．（2023·安徽省淮南第五中学高一阶段练习）在△ABC中，下列结论错误的是（

）A．B．C．若，则是等腰三角形D．若则是锐角三角形【答案】ABD【解析】由向量减法法则可得，故A项错误；，故B项错误；设中点为，，则，因为,所以由三线合一得，所以是等腰三角形，故C项正确；可以得到是锐角，不能得到是锐角三角形，故D项错误；故选：ABD.12．（2023·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）如图，在边长为2的菱形中，，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】对于A，因为，所以，故A错误；对于B，，因为四边形ABCD为菱形，∠A=60°，所以△ABD，△BCD均为等边三角形，所以，所以，故B正确；对于C，因为△ABD为等边三角形，所以所在线段为中边上的中线，也即AB边上的高，所以，故C正确；对于D，因为AD//BC，所以，所以，故D错误.故选：BC三、填空题13．（2023·上海市第三女子中学高一期末）设向量、满足，则_______．【答案】2【解析】，故.故答案为：214．（2023·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高一阶段练习）若，则__．【答案】1【解析】，，又，，，解得，，，故答案为：1．15．（2023·上海市曹杨中学高一期末）已知向量与的夹角为，记且，则_____．【答案】【解析】且，，即又向量与的夹角为，，解得，，，又，所以故答案为：16．（2023·上