上节小结教程

BeijingUniversityofPostsandTelecomm,BeijingUniversityofPostsandTelecomm,离散傅里叶变换定涵义：DFS取主值区时-频域有限长序1DigitalSignalProcessing,Zhang X(k) k0,,N 1N1 x(n) X(k)WNkn n0,,N N BeijingUniversityofPostsandBeijingUniversityofPostsandTelecomm,Z变换,DTFT和DFT的关离散信号的Z变换DFT的关系是什么样的2DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandBeijingUniversityofPostsandTelecomm,序列x(n)的Z变换在单位圆上进行N等分，Z变换DFT的关系是取样和内插的关系，3DigitalSignalProcessing,Zhang1N X(k)x(n)IDFT[X(k)] X(kNkNX(zx(n)zn ZX(ej)X zeBeijingUniversityofPostsandTelecomm,BeijingUniversityofPostsandTelecomm,Z变换DFT的关丛DFSDFT的推导可以知道：当Z变换在单单位取即DFT→DTF4DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,BeijingUniversityofPostsandTelecomm, 11vN1可见，非周期序列的z变换，可以从其的DFT5DigitalSignalProcessing,ZhangNX(z)x(n)znn0 X(k n0 k (v)1X(k)Wkz1 k 1N 1z N X(k) X(k)(Wk 1Wkz1 k0 k0BeijingUniversityofPostsandTelecomm,BeijingUniversityofPostsandTelecomm,6DigitalSignalProcessing,Zhang互相极点：(N-1)阶极点z=一阶极点零点：N个一阶零点j2zl l0,1, ,(N抵消：z=1处的一阶极点和一阶零点互相抵消，一阶零点数量变为（N-1）个。(z)11zN zNN1 NzN1(zBeijingUniversityofPostsandTelecomm,F域内插公式：BeijingUniversityofPostsandTelecomm,F域内插公式：DFTX(kDTFT7DigitalSignalProcessing,Zhang1N 1zX ) X(k) Nk 1 ze j1NX(k) 1eNk0 1 e1 ej ej ej X(k)Nk j j j j j jeN Ne eN j 1 (1)k (1) 2X(k) Nk ej12k 2 sin(2(NBeijingUniversityofPostsandTelecomm,NNX )X(k)k()BeijingUniversityofPostsandTelecomm,NNX )X(k)k()X(k)(即)Nkk sinN频域内jN12()其中e2zeN频域内sin2 DigitalSignalProcessing,Zhang8jN2k 1N 2 Nsin( ( X(k) j12k 2kk N sin(2( sinN(2k)1N1X(k)ejN 2 ( ) N 2kk ( BeijingUniversityofPostsBeijingUniversityofPostsandTelecomm,9DigitalSignalProcessing,Zhang互相F根据Φ(z)的零极点分布规律可知(零极点对系统频率响应的影响极点：ejω到极z=0的距离恒为1，对零点在区间[0,2π]内，|Φ(ω)|存在(N-1)个2k,k1, ,(NN存在(N-1)(2k1),k1, ,(NNBeijingUniversityofBeijingUniversityofPostsandTelecomm,3.3.2DFTZF域内DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,频域内插的物xnnrNx(n)X(k)XejBeijingUniversityofPostsandTelecomm,频域内插的物xnnrNx(n)X(k)Xej2rNnk-N00N-X(ej)DTFTx(n)DTFTRX(ejx(n)x(n)RNn0DigitalSignalProcessing,Zhang只有当频域取样点数N大于序列长度Mx(n)中不会出现混迭现象，这时能够从x(n)中如实恢复x(n)，即能够由X(k)准确重建X(z)和X(ejw)。对序列作DFT变换点数不应低于序列的长度X(k浓缩了x(n)BeijingUniversityofPBeijingUniversityofPostsandTelecomm,可以发现：Z变换和DFT变换的关系就取样和内插的关系DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,BeijingUniversityofPostsandTelecomm,DFT1,线性关系：(DFT是线性变换DFT:x3(n)ax1(n)bx2x1(nx2(n长度都为max(N1,N2X3(k)aX1(k)bX2DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,定义 (BeijingUniversityofPostsandTelecomm,定义 (n)x—周期eN (n)—周期又由oN则x(n)xep(n)xopDigitalSignalProcessing,Zhangx(n)x NBeijingUniversityofPostsandTelecomm,xBeijingUniversityofPostsandTelecomm,x(n)X(k)若则②③x(n)X((k))NRNR(n)X(k)NNRex(n)Xep(k)—X(k)的周jImx(n)Xop—X(k)的周期共轭反对称部DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,如果没有周期延拓:XBeijingUniversityofPostsandTelecomm,如果没有周期延拓:X(k)→DigitalSignalProcessing,ZhangXk0NX(-XkN0BeijingUniversityofPostsandTelecomm,做了周期延拓:XRNX(kkkk0X(k)R(kDigitalSignalProcessing,Zhangk X(k0BeijingUniversityofPostsandTelecomm,做了周期延拓:XRNX(kkkk0X(k)R(kDigitalSignalProcessing,Zhangk X(k0BeijingUniversityofPostsandTelecomm,BeijingUniversityofPostsandTelecomm,xep(n)ReXxop(n)jImX5,若为④ReXImX(k),X(k)argX(k)都是周期性奇DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsBeijingUniversityofPostsandTelecomm,了主值区间(0～N-1)，都应该将有关保留主值区间DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsBeijingUniversityofPostsandTelecomm,求证例：如DigitalSignalProcessing,ZhangDFT(X(n))Nx(k)RN(k)NBeijingUniversityofPostsandTBeijingUniversityofPostsandTelecomm,因此，对于确定的k值，在0～N-1区间有一个m值满足m+k=lN,因此有DigitalSignalProcessing,Zhang mklNl为整数Wn(mk)N mkG(k)DFT(X k0,...,N X(n)Wknx(m)WnmWN N N n0 N Nx(m)WNn(mk BeijingUniversityofPostsandBeijingUniversityofPostsandTelecomm,即有DigitalSignalProcessing,ZhangDFT(X(n))Nx(k)RN(k)NG(k)DFT(X k0,...,NNx(lNk)Nx(k)Nx(k)NBeijingUniversityofPostsandBeijingUniversityofPostsandTelecomm,3,循环移位1)x(n)和之间的关系为DigitalSignalProcessing,Zhangx(n （周期延伸Nx(nx(n)R （加窗操作NBeijingUniversityofPostsBeijingUniversityofPostsandTelecomm,2)循环x1(n)x(nm)RNN如果N点序列沿一方向移位，它将不再位于0≤n≤N-1上。因此，循环移位的计算步DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,x(n)nBeijingUniversityofPostsandTelecomm,x(n)nN0m>0m<0~xn0N点序x(nx(n)x(n)n011Nx1(n)为窗函DigitalSignalProcessing,ZhangnBeijingUniversityofPostsandTelecomm,循环移位BeijingUniversityofPostsandTelecomm,循环移位的在循环移位过程中，周期序列x(nm)是周期序列x的移位，由DFS的移位特性NX(k)X又∴DigitalSignalProcessing,Zhang jx(n)x(nm)R X(k)e X x(n)R(n)(k)R BeijingUniversityofPostsandTelecomm,BeijingUniversityofPostsandTelecomm,在频域内循环移位X2(k)X2(k)RN(k)X[(kl)]NRN则DigitalSignalProcessing,Zhangx(n) x(n) W WBeijingUniversityofPostsBeijingUniversityofPostsandTelecomm,3.7x(n)10(0.8)^n，0≤n≤1011画出x((n+4))11R11(n)4个样本的x((n-3))15R15(n)，也就是假定x(n15点序列，向右循环移位3个样本。特别注意当样本从一个方向移[0,N-1]，它们将从DigitalSignalProcessing,ZhangOriginal8642086420-05-05nnPeriodic8642086420-05n-05nOriginal8642086420-05-05nnPeriodic8642086420-05n-05nBeijingUniversityofBeijingUniversityofPostsandTelecomm,在这种情况下，给x(n)后填充4个零，将其看作一个15点序列。此时的循环移位与N=11x(n-3)。因此，计算DigitalSignalProcessing,ZhangOriginal864208642000nnPeriodic864208642000nnOriginal864208642000nnPeriodic864208642000nnBeijingUniversityofPostsandTelecomm,11BeijingUniversityofPostsandTelecomm,11x(n)0≤n≤10，求出并画出x((n-6))15R15(n)%=====DigitalSignalProcessing,ZhangOriginal8642005nCircularlyshiftedsequence,8642005nx((n-6)modOriginal8642005nCircularlyshiftedsequence,8642005nx((n-6)modBeijingUniversityofPostsandBeijingUniversityofPostsandTelecomm,4,循环卷积x1(n),x2(n)是长度为N环卷积为：—周期DigitalSignalProcessing,Zhangx3(n)x1(n)x2 x1(m)x2(nm)RNBeijingUniversityofPostsandBeijingUniversityofPostsandTelecomm,m0N-1，因此第一个序列x1(m)可以不作周期拓展,即注意两个N点序列的线性卷积将导致一个更长的序列。循环卷积将区间限制在0≤n≤N-1，结果仍为N点序列，它与线性卷积的结构类似。不同点在于求和范围和N点循环移位。它与N有关，也叫做N点循环卷积。DigitalSignalProcessing,ZhangN x3(n)x1(m)x2((nm)N)RN BeijingUniversityofPostsandTelecomm,BeijingUniversityofPostsandTelecomm,若则即当在频域中进行两个N点DFT相乘时，在DigitalSignalProcessing,Zhangx(n)x(n)(k)X(k) x(n)X(k), x(n)X BeijingUniversityofPostsandBeijingUniversityofPostsandTelecomm,2、循环卷积的计算方MatlabDigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,同心圆x3BeijingUniversityofPostsandTelecomm,同心圆x3(n)x1(n)x2x(Nx22—内圆顺时针方向排x2(Nx1x2—外圆逆时针方向排x2x1(0)与x2DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,乘后求和x3(0);x2x2(n-m)BeijingUniversityofPostsandTelecomm,乘后求和x3(0);x2x2(n-m)移位一位，x2x2(Nx2(Nx2x1得x(1)x13依次下去，求0nNx3(n),DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,其而h(NhBeijingUniversityofPostsandTelecomm,其而h(Nh(Nh(Nh(Nh(Nh(Nh(1)h(2)hh(3)h(N1)h(NDigitalSignalProcessing,Zhangy[y(0)y(1)...Y(Nx[x(0)x(1)...x(Nx3x2x1或者yBeijingUniversityofPostsandTelecomm,波形BeijingUniversityofPostsandTelecomm,波形图1）x1(m)和x2(m)在m轴上周期延x1(m),x22）将x2(m翻转x2(mNx3(n)x1(m)x2(n4）x3(n)一个周期，得到DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTBeijingUniversityofPostsandTelecomm,x1(n{1,2,2}，x2(n)={1,2,3,4}41(x2解：注意x1(n)为3点序列，进行循环卷积之4点序列，我DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTBeijingUniversityofPostsandTelecomm,1）时域方 点循n产生一个循环移位序列，将它的样x1(m)n值的循环卷值，在0≤n≤3上重复此过程。考虑x1(m)=和x2(m){1,2,3,4}DigitalSignalProcessing,Zhang3x1(n)x2(n)x1(m)x2((nBeijingUniversityofPostsandTBeijingUniversityofPostsandTelecomm,n0n2DigitalSignalProcessing,Zhang3x1(m)x2((2 {1,2,2,0}{3,2,1,4}{3,4,2,0} 3x1(m)x2((0 {1,2,2,0}{1,4,3,2}{1,8,6,0} BeijingUniversityofPostsandBeijingUniversityofPostsandTelecomm,n3因此x1(n)x2(n)DigitalSignalProcessing,Zhang3x1(m)x2((3 {1,2,2,0}{4,3,2,1}{4,6,4,0} BeijingUniversityofPostsandTelecomm,BeijingUniversityofPostsandTelecomm,用DFT求线性卷问题的提出y(n)=DFT有限项求和，有快速算能否用DFT来实现线性卷积DigitalSignalProcessing,Zhangy(n)x(n)h(n)h(k)x(nkBeijingUniversityofPostsandBeijingUniversityofPostsandTelecomm,x1(n计算4点循环卷解1(nx2=DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandBeijingUniversityofPostsandTelecomm,x1(n{1,2,2}，x2(n3，4}N的大小对循环卷N≥4x2(n将在时域内出x1(n)x2x1(n)x2x1(n)x2567DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,解a.5%%YBeijingUniversityofPostsandTelecomm,解a.5%%Y===y=949x1(n)x2=DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,b.6%BeijingUniversityofPostsandTelecomm,b.6%===y1498因此，6点循环卷积结果为x1(n)x2=DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,7%y=BeijingUniversityofPostsandTelecomm,7%y===所以，从上面可以看出，对于不同的N值积，不同的N，结果是唯一的。y14980那么，在什么条件下，线性卷积和循环卷积相同呢因此，7点循环卷积结果为x1(n)x2=DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTBeijingUniversityofPostsandTelecomm,x1(n)=线性卷积的结果长度为:N1+N2-做循环卷积,分别为N=4点15，12，9，146-4=24，9，14，14}6-5=1个错N=5点9，N=6点N=7点4，9，14，14，84，0}DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsBeijingUniversityofPostsandTelecomm,当循环卷积的长度（N点）大于等于线性积（N1＋N2－1）时，无混叠DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTBeijingUniversityofPostsandTelecomm,DFT和DTFT/Z变换的关系：取样和内DFT的性质线对称循环移循环卷DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTBeijingUniversityofPostsandTelecomm,关键FT变换（FourierTransform)FS变换(FourierSeries)DTFT变换(DiscreteTimeFourierDFS变换(DiscreteFourierSeries)DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTBeijingUniversityofPostsandTelecomm,X(ej)x(n)e,•DigitalSignalProcessing,ZhangX(z)Z[x(n)]x(n)zBeijingUniversityofPostsandBeijingUniversityofPostsandTelecomm,DTFT→DFS(频域离散DigitalSignalProcessing,ZhangN j2X(k) X(ej) ~(k)~(2k) NBeijingUniversityofPostsBeijingUniversityofPostsandTelecomm,DFS取主值区间，得到DFT，DigitalSignalProcessing,Zhang X(k) k0,,N1N 1n0x(n) X(kkn n0,,N1 N BeijingUniversityofPostsandTBeijingUniversityofPostsandTelecomm,循环卷积和线性卷积的关y(n)x(n)设y(n)是长度为N的有限长序列，h(n)是长度为M讨论y(nx(n的长度DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTelecomm,BeijingUniversityofPostsandTelecomm,从x(m)看，非零值区为0≤n≤N-从h(m)看，非零值区为：0mM-将二不等式相加，得到y(n)的非零区0≤n≤M+N-M+N-DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsandTBeijingUniversityofPostsandTelecomm,构造周期序列，使他们的长度相等且均为L。DigitalSignalProcessing,ZhangL ,h(M1),0, ,L ,x(N1),0, ,BeijingUniversityofPostsBeijingUniversityofPostsandTelecomm,DigitalSignalProcessing,Zhang h(n)h(nrL) h(n)h(n), 0nMrx(n)x(n x(n)x(n), 0nNBeijingUniversityofPostsandTelecomm,周期卷积如下y(nBeijingUniversityofPostsandTelecomm,周期卷积如下y(n)x(m)h(nh(nmr x(m)h(nmry(nrL)当周期为L>=N+M-1时，不会发生混迭r 循环卷积又是周期卷积的主值序列 DigitalSignalProcessing,ZhangBeijingUniversityofPostsBeijingUniversityofPostsandTelecomm,DigitalSignalProcessing,ZhangyN(n)x(n)h(n)yN(n)RNNy(n)x(m)h(n 0nNBeiji