第17章 变化的电磁场

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奥斯特1820年发现了电流的磁效应，第一次揭示了电与磁的联系。

英国实验物理学家法拉第(Faraday)和其他许多科学家进行了“磁生电”的研究。法拉第坚持长达10年之久的不懈努力，终于在1831年发现了电磁感应现象及规律。磁?电

电磁感应的发现具有重大的理论意义和实用价值。MichaelFaraday,1791-1867英国物理学家、化学家，自学成才的典范。2本章的主要内容：2、两类基本的感应电动势：动生电动势感生电动势3、两种由电流变化引起的电磁感应:

自感现象互感现象4、磁场的能量1、两条电磁感应的基本规律：法拉第电磁感应定律楞次定律第17章变化的电磁场5、麦克斯韦电磁理论317.1.1电磁感应现象法拉第的实验:①磁铁与导体线圈之间有相对运动时，线圈中是否会产生电流？线圈静止，插入或拔出磁铁§17.1电磁感应定律磁铁静止，插入或拔出线圈动画动画动画②一闭合导体回路附近有变化的电流，导体回路中是否会产生电流？4567③磁场不变，线圈的形状或面积发生变化，也可产生电流。××××××××××××④磁场、线圈的形状或面积都不变，线圈在磁场中转动，也可有电流产生。

从上述实验现象可知，不管用什么方法，只要使线圈内部磁场发生变化，线圈中就有电流产生。

磁场变化是否为线圈中产生电流的根本原因？磁场不变线圈中能否产生电流呢？？××××××××××××8

总结：（1）磁生电实验分两类:

磁场不变，导体回路相对磁场运动；回路不动，周围磁场发生变化。（2）共同点:

穿过闭合导体回路的磁通量发生了变化。产生感应电流的条件到底是什么?

当穿过一个闭合导体回路的磁通量发生变化时，回路中就产生电流，这种现象称为电磁感应现象。回路中产生的电流称为感应电流Ii。回路中产生的电动势称为感应电动势εi。9

感应电流自身产生的磁通总是反抗引起感应电流的原磁通的变化。也可用它来判断回路中感应电动势的方向（与电流同向）。即当磁通增加时，感应电流的磁通与原来磁通的方向相反（阻碍它的增加）。当磁通减少时，感应电流的磁通与原来磁通的方向相同（阻碍它的减少）。17.1.2楞次定律10111、感应电流产生的磁场所反抗的不是原磁通本身，而是原磁通的变化。注意：2、感应电流的方向取楞次定律规定的方向是能量守恒的必然结果。

楞次定律是能量守恒定律在电磁感应现象中的反映。判断感应电流方向的步骤：③用右手螺旋法则从感应电流产生的磁场方向确定感应电流的方向。②判定感应电流激发的磁场沿什么方向。（与原磁场反向还是同向）①判明穿过闭合回路的磁通量沿什么方向，发生什么变化。（增加还是减少）12一载流螺线管的旁边有一圆形线圈，下列哪一种情况可以使线圈产生图示方向的感应电流i载流螺线管向线圈靠近．载流螺线管离开线圈．

(C)载流螺线管中电流增大．(D)载流螺线管中插入铁芯．1317.1.3法拉第电磁感应定律SI中:

闭合电路中的感应电动势ε与穿过回路的磁通量的变化率成正比，这称为法拉第电磁感应定律.1、定律表述:说明：

（1）适用条件：一切闭合回路。（3）若回路由N

匝线圈串联而成:Ψ为磁通匝链数(磁链)或全磁通。14（5）感应电动势的方向根据规定由负号“—”确定（4）感应电流和感应电荷的计算。若各匝线圈磁通量都相同，则感应电量与磁通的变化量成正比，与变化的快慢无关。15(1)按右手螺旋法则确定回路所包围面积的法线方向。这样磁通量就有了确定的大小和正负。公式中“－”号表示感应电动势的方向必须按下列约定：先规定导体回路L

的绕行方向。

（2）以回路的L

绕行方向表示电动势的方向电动势时，电动势的方向与L

的绕行方向一致。电动势时，电动势的方向与L

的绕行方向相反。这样中的负号“—”就能表示电动势的方向2、感应电动势的方向：16与绕行方向反方向与绕行方向同方向例：判断回路中电动势的方向17

法拉第定律中的“–”号与楞次定律中的“反抗”是对应的，这保证了电磁现象中的能量守恒与转换定律的正确，并且也确定了电磁“永动机”是不可能实现的。

正是外界克服阻力做功，将其它形式的能量转换成了回路中的电能。NS如果不是反抗将是什么情形？NS电磁永动机

事实上，不可能存在这种能产生如此无止境电流增长的能源！

过程将自动进行，磁铁动能增加的同时，感应电流急剧增加，而i

，又导致

i

…

…而不需要外界提供任何能量。18+ε方向：逆时针方向。[例1]

宽为a，长为l的矩形线圈近旁有一共面的长直导线，近边距离为d，当导线中有i=kt（k>0）的电流通过时，求线圈中的感应电动势

(介质的磁导率为μ)。解∶取顺时针为回路的绕行方向，则回路的法线方向垂直板面向里。建立坐标系如图，在x

处取d

x

宽的面积元，则019ε的方向：顺时针[例2]已知载有I的长直导线，近旁有一线圈，长l，宽a，并以v速度向右运动，求线圈左边与导线的距离为d时线圈中的电动势。O

建立坐标系如图，当矩形的左边距电流为x时，在距离为y处取dy宽的面积元，则解∶取顺时针方向为回路的绕行方向，则回路包围的面积的法线方向垂直板面向里。距离为d时，20应用法拉第电磁感应定律，求解感应电动势的方法、步骤:1、应用，直接求出感应电动势的大小和方向。(1)选定回路的绕行方向，确定面积的法线方向。(2)求出时刻的磁通量。(3)应用求出感应电动势的大小和方向。(1)按方便的方法求出(3)由楞次定律判断电动势的方向。2、分别求感应电动势的大小和方向。(2)电动势的大小21§17.2动生电动势

按照回路磁通变化原因的不同，感应电动势可分为：感生电动势：导体或导体回路不动，由于磁场随时间变化，导体或导体回路内产生的感应电动势。动生电动势：由于导体或导体回路在恒定磁场中运动，导体或导体回路内产生的感应电动势。2217.2.1动生电动势的产生

导体棒ab在稳定的均匀磁场中以速度v沿垂直于磁场B的方向运动。自由电子受洛伦兹力为：电子向b端运动在导体棒中的非静电性场强为：

电荷向两端聚集使导体内产生静电场，电子受到的电场力与洛伦兹力方向相反，阻碍电子的继续移动。二力平衡时，ab两端形成稳定的电势差。

若用导线将ab两端连接起来，则导体棒相当于一个具有一定电势差的电源洛伦兹力为此电源的非静电力23∴动生电动势：对任意一段导体L，动生电动势为：动生电动势的方向：2）由楞次定律确定。1）若一段导线在稳恒磁场中运动，则用右手定则较为简单。右手定则：伸开右手，让拇指跟其余四指垂直，使四指与导线平行，让磁力线垂直穿过掌心，拇指指向导线运动的方向，则四指的方向即为动生电动势的方向。简单的说，非静电场强的方向即是动生电动势的方向，即的方向。24④当直线导体在均匀磁场中运动，且两两垂直，动生电动势为②

当任意闭合回路在磁场中运动时，①

动生电动势只存在于运动导体中。说明：③当导体的运动方向与磁场方向平行时，导体中不会产生动生电动势。⑤可以证明，对于闭合回路故动生电动势也可由求。⑥动生电动势是由于洛伦兹力搬运电荷做功而产生的。但它与“洛伦兹力对运动电荷不做功”这一结论并不矛盾。25总洛伦兹力

不做功。一个分力：

相对电子做正功，形成电动势。可证明两功率的代数和等于零，即阻碍导体运动，做负功。另一个分力：即外力克服洛伦兹力的一个分力所做的功,通过另一分力传递给了电场，转化为电能。电子随导体运动速度为，相对导体运动速度为，相对观察者的速度为：所以，洛伦兹力的作用并不提供能量，而只是传递能量。17.2.2洛伦兹力做功问题26解：法一：[例1]

求旋转棒的电动势。法二：取aM固定不变，b在MM′上滑动。取顺时针方向为绕行方向。回路包围的面积的法线方向正向垂直纸面向里。×××××ε沿逆时针方向，在运动部分由a

指向b。27负号表示ε

的方向为b→a，也可以由楞次定律判断。[例2]

通电直导线旁运动导线中的感应电动势。d解∶在x处取dx一段，此处，应沿方向28[例2]

通电直导线旁运动导线中的感应电动势。d解∶在x处取dx一段，此处，求动生电动势时:沿方向建坐标系比较简单.29另解：增加图示不动导线dy设t时刻oa=y，可计算得：方向：由楞次定律确定。30a)闭合电路整体或局部在恒定的磁场中运动，根据运动情况求出闭合回路的Φ＝Φ（t

）,再求出ε。总结：动生电动势的计算：注意：一般情况下积分路径上各点和都不相同，不一定能提出积分号外。②用法拉第电磁感应定律计算：b)一段不闭合的导线在恒定磁场中运动。不闭合的导线不存在磁通量，但可假想一条曲线与此导线组成闭合曲线，其电动势可由法拉第定律求出。

磁通量的变化等于在dt时间内扫过面积的磁通量。求出Φ，对t

求导即得ε。即一段导线的动生电动势的大小等于它在单位时间扫过的面积的磁通。312、导线在均匀磁场中作下列运动，问在哪几种运动中导线会产生感应电动势？其方向怎样？①导线垂直于B作平动；②导线绕固定端垂直于B转动；③导线绕中心点作垂直于B转动；④导线绕中心点作平行于B的转动。1、感应电动势与回路是否闭合有关吗？思考:32§17.3感生电动势1、感应电场（涡旋电场）──麦克斯韦假设

由于磁场变化在导体回路中产生感生电动势。问题：产生感生电动势的非静电力是什么？产生感生电动势的非静电力：感应电场对电荷的作用力.(1)麦克斯韦关于变化的磁场产生感应电场的假设

麦克斯韦假设:不论有无导体或导体回路，变化的磁场都将在其周围空间激发一种非静电性的电场。这种电场称为感应电场(或涡旋电场)。Ei33(2)感应电场与变化磁场的关系：根据电动势的定义：又因为：所以：非静电性场强

当回路不动时，且考虑既是空间坐标的函数，又是时间的函数，因此34说明：因此③是电磁学的基本规律之一，揭示了电与磁之间的本质联系。可推广到任何电场。①S是以L为边界的曲面。②变化的磁场在周围空间激发感应电场。对比安培环路定理：磁感强度与电流方向成右手螺旋关系注意：的方向35(3)感应电场与静电场的异同：相同点：起源电场线做功与路径无关,可引入电势与路径有关,不能引入电势不同点：静止的电荷变化的磁场静电场感应电场正→负闭合曲线①

对电荷都有力的作用。用场强描述。引入电场线描述的分布.性质有源无旋场无源有旋场36①用法拉第电磁感应定律计算：a）闭合回路的感生电动势：先求出通过闭合回路的Φ，再求dΦ/dt

即得ε。注意：辅助曲线的感生电动势不一定等于零。应选择一条辅助曲线，其上感生电动势为零或者为较易算出的数值。2、感生电动势的计算：②由计算。在某些具有对称性的情况下，求出，再根据线积分计算ε。b）求一段导线的感应电动势：作辅助曲线与导线组成闭合回路；求出通过闭合回路的Φ，再求dΦ/dt

即得ε。37[例1]有一半径为R的圆形线圈，线圈内有垂直于线圈平面的均匀磁场，磁感应强度随时间变化的关系为，在

t=0时，磁场方向垂直纸面向里。求线圈中的感生电动势。由法拉第电磁感应定律：感生电动势：感生电动势的方向：随时间发生变化。在0~T/2内，为顺时针。在T/2~T内，为逆时针。解：取顺时针为回路的绕行方向。38解∶由磁场分布的对称性可知，感应电场的电场线为圆心在轴线上的一系列同心圆。圆上各点的场强大小相等，方向与回路相切。∴[例2]

一半径为R的长直螺线管中通有变化的电流I，若管内磁场线性增加，即为常量，且为已知，求螺线管内外感应电场的场强分布。取半径为r的同心圆L作为积分路径，选顺时针方向为感应电动势正方向.1）在螺线管内（r<R

）“－”号表示场强的方向与与选定正方向相反。沿逆时针方向。成左螺旋关系。39“－”号表示场强的方向为逆时针方向。

取半径为r的同心圆L作为积分路径，选顺时针方向作为感应电动势正方向2）在螺线管外（r>R

）40[例3]在截面半径为R的圆柱形空间充满磁感应强度为的均匀磁场，的方向沿圆柱形轴线，的大小随时间按的规律均匀增加，有一长为2R的金属棒abc位于图示位置，求金属棒中的感应电动势。解：[法1]法拉第电磁感应定律计算ε。（辅助回路法）作辅助线Oa、Oc

构成闭合回路OabcO。穿过⊿Oac

的磁通量实际上只是穿过OabdO面积的磁通量。方向由楞次定律判定：abc

。因为的方向沿圆切线方向，与半径垂直，所以Oa、Oc

段上的感生电动势为零。则闭合回路的感生电动势就等于金属棒ac的。41[法2]用电动势定义求解。由[例2]知：∴∴423、涡电流

当大块导体相对于磁场运动或处于变化的磁场中时,金属内部产生的自行闭合的涡旋状的感应电流—涡电流。特点：大(1)应用∶高频冶炼、焊接、加热、真空技术。利用热效应：导体43(2)危害∶变压器和电机中的涡电流产生焦耳热使能量损耗。变压器和电机中的铁心过热使设备损坏。

铁芯做成片状，涂敷绝缘材料，铁芯片尽量做薄，使用电阻率很大的铁氧体芯。(3)措施：利用机械效应：电磁阻尼：如电磁仪表中使摆动的指针迅速停在平衡位置。电磁驱动。××××。44[例3]电量Q均匀分布在半径为a、长为L（L>>a）的绝缘薄壁长圆筒表面上，圆筒以角速度ω绕中心转轴旋转。一半径为

2a、电阻为R

的单匝圆形线圈套在圆筒上。若圆筒转速按照ω=ω0(1–t/t0)

的规律随时间线性减小，求圆形线圈中感应电流的大小和方向。解：薄壁长圆筒表面的电荷旋转时等效于密绕螺线管：。式中nI

为单位长度上的圆电流的电流强度。单位长度带电：单位长度的电流：故圆筒内：单匝圆线圈的磁通量：电流方向：与长圆筒电荷运动的绕向一致。[例4]半径为R的长直螺线管单位长度上密绕有n

匝线圈，在管外有一包围着螺线管、面积为S的圆线圈，其平面垂直于螺线管轴线。螺线管中电流i

随时间作周期为T的变化.求:

圆线圈中的感生电动势εi

。画出εi-t

曲线，注明时间坐标。解：螺线管内磁感应强度为：圆线圈的磁通量为：感生电动势：由图知：47AdxBIIxr2r10bax解：对这类题目主要类型有：①I不变，线圈以v运动；②I变化，线圈不动；③I变化，线圈运动。都应先求出B分布，然后求出Φ＝Φ(t),最后求出dΦ/dt.选顺时针方向为ε的正方向，取面元dS=adx[例5]如图，两条平行导线和一个矩形导线框共面，且导线框的一个边与长导线平行，到两长导线的距离分别为r1、r2，已知两导线中电流都为I＝I0sinωt。I0、ω为常数。导线框长为a，宽为b。求导线框中电动势。当cosωt>0时，ε<0,ε沿逆时针方向；当cosωt<0时，ε>0,ε沿顺时针方向。48§17.4自感和互感当线圈通过电流为

时，由毕—萨定律知其磁通匝链数与

成正比，即17.4.1自感1、自感现象：载流回路的电流发生变化时，在回路自身中产生感应电动势的现象为自感现象，所产生的感应电动势叫做自感电动势。

L

称为自感系数，简称自感。1）与的关系自感电动势为：2、自感电动势：负号表示自感电动势的方向总是要阻碍回路原电流的变化。当L不随时间变化时，有：4950②单位：亨利(H)*自感L有维持原电路状态的能力，L

就是这种能力大小的量度，它表征回路“电磁惯性”的大小。*L取决于线圈的形状、大小、匝数及存在的介质，无铁磁质时与电流无关。（恒正）说明：③自感系数的确定：A、形状不规则的回路：采用实验测量的方法。B、形状规则的回路：可以计算得出2）自感系数：（自感）①定义:描述回路自感强弱的物理量。自感现象的应用∶电子元件、镇流器等。危害∶开关中产生电弧51解∶设螺线管通电流

，则管内磁感应强度的大小：[例1]求长直螺线管的自感系数。长为l，截面积为S

，单位长度的匝数为n，充满磁导率为μ的均匀介质(μ为常量)。52[例2]求同轴电缆单位长度的自感（I，

R1，R2

，μ）电缆单位长度的自感:解：根据对称性和安培环路定理，内圆筒和外圆筒外的空间磁场为零。两圆筒间磁场为:则通过该面元的磁通量为：在两圆筒间取面元如图：该面积的总磁通：5317.4.2互感1、互感现象：载流回路的电流随时间发生变化时，在别的导体回路中产生感应电动势的现象称为互感现象。1）ε与dI/dt的关系：由毕-萨定律知

12∝I2

21∝I1，2、互感电动势:当I1

发生变化时，在L2

中产生互感电动势：同理：L2中电流I2在L1中产生的磁链L1中电流I1在L2中产生的磁链54552）互感系数(互感):回路之间电磁耦合强度的量度①定义:在无铁磁质的情况下：M12、M21

是线圈系统的固有属性，只与线圈本身的性质（几何形状、大小、匝数、介质、两线圈相对位置等）有关，而与所通电流无关。（恒正）②单位：亨利③互感系数的确定：a)形状不规则的回路：采用实验测量的方法。b)形状规则的回路：可以计算得出

互感有重要应用，如变压器、传输信号等。但有时也有害，如产生干扰，妨碍工作、串音、杂音等。56例题3一螺线管，长为l，横截面积为S，匝数为N1，其外共轴地均匀密绕另一线圈，匝数为N2，求两线圈的自感和它们之间的互感。解：设螺线管1中有电流强度为I1，则管内的磁感应强度B1为通过线圈1的全磁通Ψ1为故线圈1的自感L1为:式中n1是线圈1单位长度的匝数，V是螺线管内的体积.同理可得线圈2的自感L2为:57线圈1的磁场通过线圈2的全磁通为故两线圈之间的互感为：比较自感和互感，有：以上是无漏磁情况下推导的，即彼此磁场完全穿过。无漏磁：两个线圈中每一个线圈所产生的磁通量对于每匝来说都相等，并且全部穿过另一个线圈的每一匝，这种情况叫无漏磁。耦合系数

，与线圈的相对位置有关。当有漏磁时:58线圈②的磁通匝链数为：所以，两线圈的互感系数为：[例4]长为l=1

m，面积为S=10

cm2均匀密绕螺线管N1=1000

匝，N2

=20

匝。1)计算M。2)若

1

的变化率为10A/s，求线圈②中的互感电动势。解:1)设线圈①中的电流为

1

，它在线圈②中产生的磁场2)59解：设大线圈中有电流I2。因为r1<<r2

，可以认为小线圈内各点磁感应强度近似相等，等于线圈2中的电流I2在圆心处产生的磁感应强度例题5

两个同心共面线圈，半径分别为r1、r2

，且

r1<<r2，小线圈中电流I1=kt，k为正常数，求变化磁场在大圆环内激发的感应电动势。

由互感系数的定义得大线圈中的感应电动势为负号表示大线圈中的感应电动势的方向与小线圈中电流的方向相反。60[例6]

已知：长为l，宽为a的线圈，放在距长直导线为d的位置求：1）互感系数M

。2)若线圈的电流为，求直导线中的感应电动势。解：1）设直导线中通有电流I1

。建立坐标系如图,I1

在x处产生的B为：通过面元ldx的磁通为：61一、自感线圈的磁能：1、断开电源后，在dt时间内，通过灯泡的电量为dq=idt，则这段时间内自感电动势作的功为：2、电流I由I→0

时，自感电动势所作的总功为：因此，具有自感为L的线圈通有电流I时所具有的磁能为：自感线圈是一个储能元件。§17.5磁场的能量62磁能密度：总磁能——以长直螺线管为例（内部为均匀磁场）：二、磁场的能量：上式是普遍成立的。对于非均匀磁场：63解∶由安培环路定理得传输线内的单位长度的磁能:比较二者，得[例1]求传输线内的单位长度的储能，并由此求出单位长度的自感系数。（I,

R1,R2

,μ）64三、互感线圈的磁能开关K1、K2闭合后，两线圈中的电流i1,i2

逐渐增大，达到稳态时为

1

,2

。①先闭合K1，使i1从0增至I1，此过程储存自感磁能为

②再闭合K2，且调节R1使I1不变，（则线圈2中无互感）i2由0

增至I2

，此过程储存自感磁能为此过程在线圈1中产生互感电动势为：

1必须反抗这而做功，转化为互感磁能贮存于磁场中：即互感磁能大小为65自感磁能永为正；互感磁能可能为正(两线圈的磁场互相加强)，也可能为负(磁场互相减弱)。注意：一般地，互感线圈磁场中的总磁能为：若先合上K2，再合上K1，有相同结论。总磁能：66§17.6位移电流静电场：稳恒磁场：电磁感应：静电场、稳恒磁场、电磁感应基本实验规律67一、位移电流麦克斯韦关于电磁场的两条基本假设1、感应电场假设：变化的磁场产生电场—感应电场。由此式及静电场环路定理得一般电场的环路定理：问题：变化的电场能否产生磁场呢？

麦克斯韦从推广安培环路定理出发，通过提出位移电流假设，回答了这一问题，从而建立了完整的电磁场理论。68（1）非稳恒电流的不连续性及安培环路定理遇到的困难2、位移电流假设

在图示的不含有电容器的闭合电路中，传导电流是连续的。因此，由稳恒电流磁场的安培环路定理可知：I0---+++相互矛盾考虑含有电容器的电路：69矛盾产生的原因：由于在非稳恒电路中传导电流是不连续的。在非稳恒电路中代替安培环路定理的普遍规律是什么呢？解决上述矛盾的办法：A.在大量实验基础上，提出新概念，建立新理论。B.在原有理论的基础上，提出合理假设，对原有理论做必要的修正，用实验检验假设的合理性。麦克斯韦采用了后者。70设电容器放电过程的某一时刻，板A内表面：板B内表面：传导电流：板内传导电流密度：在放电过程中，σ

随时间变化。且也随时间变化。二者随时间的变化率：比较得：板间在数值上等于板内的传导电流。板间在数值上等于板内的传导电流密度。且的方向与的方向相反，与传导电流密度的方向相同。（2）位移电流假设提出的依据71（3）位移电流的定义定义：位移电流位移电流密度：全电流：全电流在任何情况下都是连续的，并且构成闭合回路。位移电流与传导电流连接起来恰好构成连续的闭合电流。麦克斯韦提出全电流的概念注意二、全电流定律72麦克斯韦将安培环路定理推广:(全电流定律)若传导电流为零对比位移电流假设的实质：变化的电场激发有旋磁场。前述矛盾得到了解决小结：②磁场增加时，激发的电场是左旋的。电场增加时，激发的磁场是右旋的。①变化的磁场激发有旋电场，变化的电场激发有旋磁场。在位移电流假设基础上所导出的结果，都与实验符合得很好。73三、位移电流与传导电流的异同:相同点：都在周围空间产生磁场，且都服从安培环路定理。不同点：③存在的场合：传导电流仅存在于导体内。 位移电流可存在于导体、介质、真空中。低频时，导体中以I0为主；高频时，导体中以Id为主。介质内部主要是Id。①形成原因：传导电流是由电荷的定向移动形成的。位移电流是由变化的电场形成的，并不伴随电荷的运动。②热效应：传导电流产生热效应，且服从焦耳定律。 位移电流不产生焦耳热，但在介质中高频时也