北师大版八年级数学下册期末总复习备考课件（共128张）

期末备考期末备考期末二十二大必考热点本册五大思想方法本册重点知识归纳本册重点知识归纳第一章三角形的证明知识点内容要点全等三角形判定(1)三边分别相等的两个三角形全等(SSS).(2)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(SAS).(3)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(ASA).(4)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).(5)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(HL)有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如下图中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,显然△ABC与△ABD不全等.

(2)“HL”只适合判定两个直角三角形全等,不适合判定两个一般三角形全等.两个直角三角形的全等既可以用“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”来判定,也可以用“HL”来判定全等三角形性质(1)全等三角形的对应边相等；(2)全等三角形的对应角相等全等三角形的周长、面积等也对应相等等腰三角形性质(1)等腰三角形的两底角相等,简述为“等边对等角”；(2)等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合,简述为“三线合一”性质(1)中指的是同一个三角形中的边角关系.性质(2)的前提条件是等腰三角形,且其中的平分线必须是顶角的平分线判定(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形,简述为“等角对等边”如果一个三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的2倍,那么这个三角形是等腰三角形等边三角形

性质等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°具有等腰三角形的一切性质判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形若已知或能求得三边相等,则用(1)来判定该三角形是等边三角形；若已知或能求得三个角相等,则用(2)来判定该三角形是等边三角形；若已知三角形是等腰三角形且有一个角为60°,则用(3)来判定该三角形是等边三角形反证法一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确若结论的反面不止一种情况,必须把各种可能的情况全部列举出来,并逐一否定,这样才能肯定原结论是正确的含有30°角的直角三角形的性质在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半

此性质的大前提是“在直角三角形中”直角三角形性质(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方在Rt△ABC

中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则c2=a2+b2.变式：①a2=c2-b2；②b2=c2-a2；判定(1)有两个角互余的三角形是直角三角形；(2)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形有两条边互相垂直的三角形也是直角三角形互逆命题在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题每个命题都有逆命题.原命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理

只有当一个定理的逆命题是真命题时,该定理才有逆定理线段的垂直平分线性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等“线段垂直平分线上的点”是指线段垂直平分线上的任意一点判定到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上先判定两点都在线段的垂直平分线上,再利用两点确定一条直线证得这两点所在的直线是线段的垂直平分线三角形中的垂直平分线三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等(1)锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的内部；(2)直角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的斜边中点处；(3)钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部角平分线性质角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线的性质定理的条件可简记为“一分二垂”判定在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上角平分线的性质和判定中提到的距离是指点到角的两边的垂线段的长度三角形中的角平分线三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等三角形的三条角平分线相交于同一点,这一点一定在三角形的内部第二章一元一次不等式与一元一次不等式组知识点内容要点不等式基本性质不等式的基本性质1：不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变.不等式的基本性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变在不等式的两边都乘(或除以)同一个非零数时,必须先确定这个数的正、负,然后再确定是否改变不等号的方向解集的表示不等式的解集有两种表示方法：(1)用不等式表示；(2)用数轴表示：在数轴上某点处画空心圆圈表示不包括这一点,画实心圆点表示包括这一点,大于向右画,小于向左画若不等号是“≥”或“≤”,则在数轴上表示解集时,边界点为实心圆点；若不等号是“>”或“<”,则在数轴上表示解集时,边界点为空心圆圈,相对于边界点而言,“小于向左画,大于向右画”一元一次不等式定义不等式的左右两边是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1对一元一次不等式的理解需注意：(1)它表示不等关系；(2)左右两边都是整式；(3)只含有一个未知数,且未知数的最高次数为1解法步骤(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1(1)去分母时,若不等号的两边同乘的数是负数,则要改变不等号的方向；(2)去括号时,若括号前是负号,则括号内各项均要变号；(3)移项时要变号应用列不等式解应用题的一般步骤：(1)审；(2)找；(3)设；(4)列；(5)解；(6)答注意问题中表示不等关系的词语,如“超过”“大于”“不足”“至少”等一元一次不等式与一次函数的关系一次函数y=ax+b(a,b

为常数,且a≠0)的图像在x

轴上方的部分所对应的自变量x的取值范围是不等式ax+b>0的解集；一次函数y=ax+b(a,b为常数,且a≠0)的图像在x轴下方的部分所对应的自变量x的取值范围是不等式ax+b<0的解集对于ax+b>cx+d(或ax+b<cx+d)型不等式的解集,可将其看成是一次函数y1=ax+b和y2=cx+d在同一平面直角坐标系内相应的函数值y1>y2(或y1<y2)情形下得到的相应的自变量的取值范围一元一次不等式组定义一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组一元一次不等式组的概念包括两方面的含义：(1)几个不等式必须含有同一个未知数；(2)必须都是一元一次不等式解法第三章图形的平移与旋转知识点内容平移性质(1)一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等；对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.(2)平移后的图形与原图形全等,平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小作图(1)分析题目要求,找出平移的方向和距离；(2)分析已知图形,找出构成图形的关键点；(3)按平移的方向和距离平移各个关键点；(4)顺次连接所作的各个关键点,并标上相应的字母坐标变化图形平移a(a>0)个单位长度：(1)向右(左)平移：对应点的纵坐标保持不变,横坐标分别加(减)a；(2)向上(下)平移：对应点的横坐标保持不变,纵坐标分别加(减)a旋转性质(1)旋转后的图形与原图形相比,其大小和形状都不改变；(2)旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等；(3)任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；(4)对应线段相等,对应角相等作图(1)分析题目要求,找出旋转中心、旋转角(先找出旋转前后图形的一对对应点,并将它们与旋转中心连接,那么一对对应点与旋转中心连线所成的角就是旋转角),确定旋转方向；(2)分析所作图形,找出构成图形的关键点；(3)沿一定方向,按一定角度,通过截取线段的方法旋转各个关键点；(4)顺次连接所作的各个关键点,并标上相应的字母旋转性质(1)旋转后的图形与原图形相比,其大小和形状都不改变；(2)旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等；(3)任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；(4)对应线段相等,对应角相等作图(1)分析题目要求,找出旋转中心、旋转角(先找出旋转前后图形的一对对应点,并将它们与旋转中心连接,那么一对对应点与旋转中心连线所成的角就是旋转角),确定旋转方向；(2)分析所作图形,找出构成图形的关键点；(3)沿一定方向,按一定角度,通过截取线段的方法旋转各个关键点；(4)顺次连接所作的各个关键点,并标上相应的字母第四章因式分解知识点内容要点提公因式法找公因式的方法：(1)系数取各项系数的最大公因数(若第一项系数为负,一般提出负号)；(2)字母取各项的相同字母(有时为相同的多项式)；(3)字母的指数取相同字母的最低指数把多项式各项都含有的相同因式,叫作这个多项式各项的公因式公式法a2-b2=(a+b)(a-b)先分析多项式是否具有可用公式的特点.如果是二项式,那么可考虑运用平方差公式；如果是三项式,那么可考虑运用完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2知识点内容要点因式分解的步骤步骤：(1)一提：首先看多项式的各项是否有公因式,若有,必须先提取公因式；(2)二套：若多项式的各项无公因式(或已提出公因式),则考虑能否套用公式进行分解；(3)三检查：检查因式分解是否进行到每一个多项式都不能再分解,同时用整式乘法检验因式分解的结果是否正确因式分解要彻底,分解到不能再分解为止第五章分式与分式方程知识点内容要点分式的定义一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示成

的形式.如果B中含有字母，那么称为分式(1)分母中必须含有字母；(2)当B=0时,分式无意义分式的基本性质分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.用式子表示为：分式的符号变化法则：分式的运算乘法当分式的分子、分母是多项式时,要先分解因式,再利用分式的乘除法的法则进行计算,结果要化成最简分式或整式除法乘方分式乘方时,分式必须加括号,计算时,先确定结果的符号加减同分母分式相加减：异分母分式相加减：整式与分式进行加减运算时,把整式看作分母为1的式子,再按照异分母分式相加减的法则进行计算分式方程定义分母中含有未知数的方程叫作分式方程分式方程有三个基本特征：(1)是等式；(2)含分母；(3)分母中含有未知数解法(1)去分母,方程两边同乘最简公分母,将分式方程转化为整式方程；(2)解整式方程；(3)检验,把由整式方程解出来的根一一代入原方程检验验根时也可把解得的根直接代入最简公分母应用列分式方程解决实际问题的一般步骤：(1)审：审清题意；(2)找：找出等量关系；(3)设：设出未知数；(4)列：列出方程；(5)解：解这个方程；(6)检：双层检验,先检验求得的根是不是增根,再检验是否符合题意；(7)答：写出答案与列一元一次方程解决实际问题的基本思路和方法一样,所不同的是增加了检验这一环节第六章平行四边形知识点内容要点平行四边形定义两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形在四边形中,对边指不相邻的边,对角指不相邻的角性质(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等,邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心研究平行四边形时所作的主要辅助线是对角线,一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形,进而将平行四边形中的线段或角相等的问题转化为全等三角形的问题判定(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形知识点内容要点平行四边形定义两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形在四边形中,对边指不相邻的边,对角指不相邻的角性质(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等,邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心研究平行四边形时所作的主要辅助线是对角线,一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形,进而将平行四边形中的线段或角相等的问题转化为全等三角形的问题判定(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形平行线之间的距离若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等,这个距离称为平行线之间的距离夹在两条平行线间的平行线段相等.“夹”指线段的端点分别在两条平行线上三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半三角形中位线定理可以证明两条直线平行,也可以证明线段相等或倍分关系；在三角形中,出现中点,常通过中点构造中位线来解决问题多边形对角线连接多边形不相邻的两个顶点的线段从n(n>3,且n是整数)边形的一个顶点出发有(n-3)条对角线,一个n边形共有

条对角线内角和n(n≥3,且n为整数)边形的内角和等于(n-2)·180°正n边形的每个内角都是外角和多边形的外角和都等于360°(多边形的外角和与边数无关,无论是几边形,它的外角和都是360°)正n边形的每个外角都是本册五大思想方法思想转化思想是一种最基本的数学思想,其基本思路是化未知为已知,把复杂的问题简单化.如把多边形问题转化为三角形问题；把证明线段、角相等的问题转化为证明三角形全等；在进行分式的计算时,将除法转化为乘法等.一转化思想分析方程两边都乘最简公分母(x-1)(2x+1),把分式方程转化为整式方程,求解后进行检验.具体解答过程如下：方程两边都乘(x-1)(2x+1),得2x+1=5(x-1),解得x=2.检验：当x=2时,(x-1)(2x+1)=(2-1)×(2×2+1)=5≠0,所以原方程的解是x=2.例1

方程的解为

.x=2例2

已知关于x的方程的解大于1,试求m的取值范围.分析先解关于x的方程,用含m的代数式表示x,然后将这个代数式转化为不等式,从而求出m的取值范围.解

由原方程得x-2(6m-1)=6x-3(5m-1),x-12m+2=6x-15m+3,x=(3m-1).依题意有(3m-1)>1,3m>6,m>2.例3

(1)如图M-2-1①所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,过点A在△ABC内引一直线

l,分别过点B,C

作直线l的垂线,垂足分别为D,E,试探究BD,CE与DE之间的数量关系.(2)若直线l绕点A旋转至△ABC的外部,如图②,其他条件不变,BD,CE与DE之间又存在怎样的数量关系？请说明理由.分析(1)要探究BD,CE与DE之间的数量关系,关键是借助于△ABD≌△CAE将这三条线段转化到同一条线段上,然后再得出它们之间的数量关系；(2)虽然图形发生了变化,但解题思路与(1)相同.解

(1)DE=BD-CE.理由如下：∵BD⊥AE,CE⊥AE,∴∠BDA=∠AEC=90°.又∵∠BAD+∠CAE=90°,∠ACE+∠CAE=90°,∴∠BAD=∠ACE.在△ABD和△CAE中,∵∠BDA=∠AEC,∠BAD=∠ACE,AB=CA,∴△ABD≌△CAE(AAS),∴BD=AE,AD=CE,∴DE=AE-AD=BD-CE.

(2)DE=BD+CE.理由如下：∵BD⊥DE,CE⊥DE,∠BDA=∠AEC=90°.又∵∠DAB+∠DBA=90°,DAB+∠EAC=90°,∴∠DBA=∠EAC.在△ABD和△CAE中,∵∠BDA=∠AEC,∠DBA=∠EAC,AB=CA,∴△ABD≌△CAE(AAS),∴BD=AE,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE.二方程思想方程思想是通过设未知数,用未知数表示各变量之间的关系,根据题意中的特殊等量关系列出方程,从而使问题得解的一种思想.此法在求角度、边数及边的长度等方面起着重要的作用.例1三个若一个多边形的内角和是900°,则这个多边形的边数为().A．5

B．6

C．7

D．8分析设这个多边形的边数为n,根据多边形的内角和公式,应用方程思想解决.具体的解答过程如下：设这个多边形的边数为n,由题意得(n-2)×180°=900°,解得n=7.故选C.C三数形结合思想数形结合就是利用数量关系研究图形特征,利用图形特征研究数量关系,即借助数与形的相互转化来研究和解决问题的一种思想.从数学问题中抽象出几何图形,借助图形分析问题往往可以起到事半功倍的效果.例1[福州中考]在平面直角坐标系中,已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A(m,n),B(2,-1),C-m,-n）,则点D的坐标是().A．(-2,1)B．(-2,-1)C．(-1,-2)D．(-1,2)A分析∵A(m,n),C(-m,-n),∴点A和点C关于原点对称.∵四边形ABCD是平行四边形,∴点D和点B关于原点对称.∵B(2,-1),∴点D的坐标是(-2,1).故选A.例2如图M-2-2,直线y=-x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为-2,则关于x的不等式组-x+m>nx+4n>0的整数解为().A．-1B．-5C．-4D．-3分析将不等式组问题转化为函数图像问题来解决.当y=nx+4n=0(n≠0)时,x=-4,∴直线y=nx+4n与x轴的交点坐标是(-4,0).当-x+m>nx+4n>0时,直线y=-x+m上的点高于对应的直线y=nx+4n上的点,直线y=nx+4n上的点高于对应的x轴上的点.∵直线y=-x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为-2,∴此时图像应居于直线x=-4与x=-2之间,如图M-2-4所示.∴关于x的不等式组-x+m>nx+4n>0的解集为-4<x<-2,∴关于x的不等式组-x+m>nx+4n>0的整数解为-3.故选D.答案

D四整体思想解决有些问题时,需要将要解决的问题看成一个整体,通过研究问题的整体形式、整体结构,避开一些不必要的计算,从而使问题的解决过程得以大大简化.例1因式分解：(a+b)2-4(a+b)+4.分析

本题如把括号展开整理后再分解因式会很麻烦,但若把(a+b)看成一个整体,则此多项式就是关于(a+b)的二次三项式,恰好能用完全平方公式分解.解

原式=[(a+b)-2]2=(a+b-2)2.例2不解方程组求7y(x-3y)2-2(3y-x)3

的值.分析

先将所要求值的式子因式分解,再整体代入计算.解

7y(x-3y)2-2(3y-x)3=7y(x-3y)2+2(x-3y)3=(x-3y)2[7y+2(x-3y)]=(x-3y)2(2x+y).因为所以原式=12×6=6.例3已知则代数式的值为_________．

分析

将化简，得到2b+a=6ab,然后将化简为只含有ab的式子,将2b+a=6ab整体代入计算.具体的解答过程如下：由得2b+a=6ab.=.将2b+a=6ab整体代入,即可得到原式=.分类讨论是在对数学对象进行分类的过程中寻求答案的一种思想方法.分类要求既不重复,又不遗漏,最后要全面总结.等腰三角形是一种特殊的三角形,主要体现在它的两腰相等,两底角相等,因此,在解决等腰三角形的有关问题时必须全面考虑,有时需分情况讨论,以防漏解.五分类讨论思想例1在

▱

ABCD中,AE平分∠BAD交BC边于点E.若点E分BC为3和4两部分,则▱

ABCD的周长为(

).A．20B．22

C．24D．20或22分析

如图M-2-5,在▱

ABCD中,因为AE平分∠BAD交BC边于点E,所以∠AEB=∠DAE=∠BAE,则BA=BE.因为点E分BC为3和4两部分,所以分两种情况讨论：①若BE=3,则EC=4,所以AB=3,此时▱

ABCD的周长为20；②若BE=4,则EC=3,所以AB=4,此时▱ABCD的周长为22.综上所述,▱ABCD的周长为20或22.故应选D.D例2

等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°,则该等腰三角形底角的度数为

.63°或27°分析

先根据要求分两种情况画出图形,再根据等腰三角形的性质解决.如图M-2-5①,当AB=AC,∠ABD=36°时,易得∠A=54°,从而运用等腰三角形的性质可以求∠C=63°；如图②,当AB=AC,∠ABD=36°,∠DAB=54°,从而可以求得∠C=27°．例3

[襄阳中考]在▱

ABCD中,AD=BD,BE是AD边上的高,∠EBD=20°,则∠A的度数为为

.55°或35°分析

如图M-2-7①.∵∠EBD=20°,∴∠EDB=70°.又∵AD=BD,∴∠A==55°.如图②,∵∠EBD=20°,∴∠EDB=70°,∴∠ADB=110°.又∵AD=BD,∴∠A==35°.∴∠A的度数为55°或35°.期末二十二大必考热点考点一等腰三角形的性质与判定等腰三角形是具有轴对称性的特殊三角形,它的“等边对等角”“三线合一”的性质及“等角对等边”的判定实现了边角的互化,是中考的重要内容,也是学习等边三角形的基础,灵活利用其性质和判定是解决此类问题的关键.例1

如图M-3-1,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AC于点D,连接BD,∠ABD=().A．30°

B．45°C．60°

D．90°解题突破

由题意知BD=BC,由此利用等腰三角形等边对等角的性质即可求解.答案B

等边三角形是特殊的等腰三角形,它除了具有一般等腰三角形的性质外,还具有自身特有的性质,判定一个三角形是等边三角形是利用等边三角形的性质进行边角计算和证明的前提.其判定常常是先证明三角形是等腰三角形,再说明有一个角为60°；此外,还可以证明三边相等或三内角相等.解决等边三角形问题的关键是根据具体情况灵活选择相应的方法.考点二等边三角形的性质与判定解题突破

证三边所在的三个三角形全等.例2

如图M-3-2,△ABC是等边三角形,D,E,F分别是线段AB,BC,CA上的点.若AD=BE=CF,则△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；(2)若△DEF是等边三角形,则AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论．解析

(1)由SAS易证△ADF≌△BED≌△CFE，所以DF＝ED＝FE，即△DEF是等边三角形；(2)如图，先证明∠1＋∠2＝120°,∠2＋∠3＝120°.可得∠1＝∠3.同理∠3＝∠4.则△ADF≌△BED≌△CFE，故能证明AD＝BE＝CF.解

(1)△DEF是等边三角形．证明如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C，AB=BC=CA.又∵AD=BE=CF，∴DB=EC=FA，∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴DF=ED=FE，即△DEF是等边三角形．(2)AD=BE=CF成立．证明如下：如图．∵△DEF是等边三角形，∴DE=EF=FD，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°，∴∠1+∠2＝120°.∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠2+∠3=120°，∴∠1=∠3.同理∠3=∠4，∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴AD=BE=CF.考点三直角三角形的性质与判定已知直角三角形的任意两边长,可以求第三边的长.利用勾股定理的逆定理可以判定一个三角形是直角三角形.其步骤如下：首先应找出最长边,然后计算较短两边的平方和,并与最长边的平方比较,看它们是否相等,若相等,则该三角形是直角三角形,否则该三角形不是直角三角形.例3

如图M-3-3,在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC=4,BC=3,DB=.(1)求CD,AD的长；(2)判断△ABC的形状,并说明理由．解题突破

(1)在不同的直角三角形中应用勾股定理；(2)利用勾股定理的逆定理判定直角三角形.解析

利用勾股定理即可求出CD和AD的长，再运用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形.线段垂直平分线的性质与判定是解决线段相等、角相等、直线与直线垂直问题的重要方法之一,是中考的重点.解决有关线段垂直平分线的题目时,常连接线段的端点和线段垂直平分线上的点,构造等腰三角形得到线段或角相等.考点四线段垂直平分线的性质与判定解析

∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=40°.∵∠DBC=30°，∴∠ABC=40°+30°=70°，∠C=180°-40°-70°=70°，∴∠ABC=∠C,∴AC=AB=m,∴△DBC的周长BD+BC+CD=AD+BC+CD=AC+BC=m+n.例4

如图M-3-4,在△ABC中,∠A=40°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,连接BD，∠DBC=30°.若AB=m,BC=n,则△DBC的周长为

．解题突破将△DBC的周长转化为AC+BC的值.m+n考点五角平分线的性质与判定角平分线的性质与判定是证明线段相等和角相等的常用方法之一,是考试考查的热点,常与其他知识结合在一起进行考查.解题时应尽量直接应用定理,避免使用证明两个三角形全等的方法,从而简化解题的过程.例5

如图M-3-5,在△ABC中,AD是高,在线段DC上取一点E,使BD=DE,已知AB+BD=DC.求证：点E

在线段AC

的垂直平分线上．解题突破借助垂直平分线的定义判定．证明

∵AD是高，∴AD⊥BC.又∵BD=DE，∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，∴AB=AE，∴AB+BD=AE+DE.又∵AB+BD=DC，∴DC=AE+DE，∴DE+EC=AE+DE，∴EC=AE，∴点E在线段AC的垂直平分线上．考点五角平分线的性质与判定角平分线的性质与判定是证明线段相等和角相等的常用方法之一,是考试考查的热点,常与其他知识结合在一起进行考查.解题时应尽量直接应用定理,避免使用证明两个三角形全等的方法,从而简化解题的过程.例6[淮安中考]如图M-3-6,在Rt△ABC

中,∠C=90°,以顶点A

为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积是(

).A．15

B．30

C．45

D．60解题突破由角平分线的性质可知,△ABD中底边AB上的高等于CD.答案B

例7我们把两组邻边相等的四边形叫作“筝形”.如图M-3-7,四边形ABCD

是一个筝形,其中AB=CB,AD=CD.对角线AC,BD相交于点O,OE⊥AB,OF⊥CB,垂足分别是E,F．求证：OE=OF.解题突破利用全等三角形证得BD是∠ABC的平分线,从而利用角平分线的性质获证.证明

在△ABD和△CBD中，∵AB=CB，AD=CD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD(SSS),∴∠ABD=∠CBD,∴BD平分∠ABC.又∵OE⊥AB,OF⊥CB,∴OE=OF.(1)三角形全等的判定是利用全等三角形解决问题的前提条件,涉及这一考点的考题主要考查对判定方法的掌握情况,有时以解答题的形式出现,有时会与开放型题目结合,解题的关键是灵活选择合适的判定方法.(2)全等三角形的对应边、对应角相等,因此证明线段相等或角相等常用的方法就是证明两条段或两个角所在的三角形全等.此类问题多以比简单的证明题的形式出现,解题的关键是找出两条相等的线段或两个相等的角所在的三角形,并选择合适的方法证明其全等.考点六全等三角形的性质与判定例8[泉州中考]如图M-3-8,△ABC,△CDE均是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点E在AB上,求证：△CDA≌△CEB．解题突破利用“SAS”进行证明.证明

∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，即∠ECB=∠DCA.又∵△ABC，△CDE均是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∴△CDA≌△CEB(SAS).例9如图M-3-9,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,BC=DC,延长AD到点E,使DE=AB.(1)求证：∠ABC=∠EDC；(2)连接AC,求证：△ABC≌△EDC.解题突破

(1)利用四边形内角和为360°证得∠ABC=∠CDE.(2)利用“SAS”可证明.证明

(1)在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，

∴90°+∠ABC+90°+∠ADC=360°，

∴∠ABC+∠ADC=180°.又∵∠EDC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠EDC.(2)由(1)证得∠ABC=∠EDC.在△ABC和△EDC中，∵AB=ED,∠ABC=∠EDC，BC=DC,∴△ABC≌△EDC(SAS).例10如图M-3-10,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC与BD相交于点O.(1)求证：△ABC≌△DCB；(2)△OBC是何种三角形？证明你的结论．解题突破

(1)利用“HL”判定直角三角形全等；(2)由等角对等边,判定等腰三角形.解析(1)根据已知条件,用HL证Rt△ABC≌Rt△DCB；(2)利用Rt△ABC≌Rt△DCB的对应角相等,即可证明△OBC是等腰三角形.解

(1)证明：在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD,BC为公共边，∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)．(2)△OBC是等腰三角形．证明：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB=∠DBC，∴OB=OC，∴△OBC是等腰三角形.不等式的基本性质：①不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变,如若a>b,则a±m>b±m；②不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,如若a>b,且m>0,则am>bm,；③不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,如若a>b,且m<0,则am<bm,.解题的关键是准确理解并运用不等式的三条基本性质进行变形,也可通过举反例进行分析与判断.考点七角不等式的基本性质例11

已知若x>y，则下列式子中错误的是(

).解题突破利用不等式的基本性质逐一判断.解析

根据不等式的基本性质1,可知A项正确；根据不等式的基本性质2,可知B项正确；根据不等式的基本性质1,可知C项正确；根据不等式的基本性质3,可知D项错误.故选D.D考点八一元一次不等式(组)的解法解不等式的步骤与解方程的步骤类似,为了避免出错,要一步步来,最好不要几步并为一步,特别要注意去分母和系数化为1时,两边都乘或除以同一个负数的变号问题,不要忽略分数线的括号作用.解不等式组最好能把“口诀”求解集与利用数轴求解集结合起来,相互验证.例12解不等式并把它的解集表示在如图M-3-11所示的数轴上.解题突破在数轴上表示解集时,大于向右画,小于向左画,还要注意边界点是实心圆点还是空心圆圈.解

去分母，得3x-6≤4x-3.移项，得3x-4x≤6-3.合并同类项，得-x≤3.系数化为1,得x≥-3.解集在数轴上表示出来如图.例13[威海中考]解不等式组：并把解集表示在数轴上.解题突破利用口诀“大小小大中间找”表示不等式组的解集.由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a,b是常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0,可以看作是求一次函数y=ax+b的图像在x轴的上方或下方时自变量x的取值范围.考点九一元一次不等式与一次函数的关系例14[东营中考]如图M-3-12,直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P(3,5),则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是

.解题突破不等式x+b＞kx+6的解集是直线y=x+b在直线y=kx+6的上方部分的点的横坐标的集合.x＞3例15如图M-3-13,在平面直角坐标系中,直线AB：y=kx+b

与x轴交于点B,与y轴交于点A,已知A(0,4),B(3,0).(1)求不等式kx+b>4的解集．(2)若直线DC：y=mx+n与x轴交于点C,与AB交于点D,点D的横坐标为1．①求不等式kx+b<mx+n的解集；②将直线y=mx+n上下平移,当n为何值时,两直线的交点在第二象限.解题突破将一元一次不等式问题运用数形结合的思想转化为函数图像问题.答案

(1)x<0；(2)①x>1②n>4考点十一元一次不等式的应用根据题意正确地构造出不等式(组)是解决此类问题的关键.在有关不等式的应用题中,常常会出现表示不等关系的关键字,比如“至少”“不高于”“最多”等,同时要把握好含不含“=”.例16[西宁中考]某经销商销售一批电话手表,第一个月以550元/块的价格售出60块,第二个月起降价,以500元/块的价格将这批电话手表全部售出,销售总额超过了5.5万元.这批电话手表至少有().A．103块B．104块C．105块D．106块解题突破

根据销售总额超过了5.5万元列不等式.C解析

设这批电话手表有x块,由题意，得550×60＋500(x－60)＞55000，解得x＞104.所以这批电话手表至少有105块.例17[益阳中考]某职业高中机电班共有学生42人,其中男生人数比女生人数的2倍少3人.(1)该班男生和女生各有多少人？(2)某工厂决定到该班招录30名学生,经测试,该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个,为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个,那么至少要招录多少名男生？解题突破

(1)由题中存在的等量关系列一元一次方程组求解．(2)利用不等关系“每天加工的零件总数不少于1460个”列一元一次不等式求解.考点十一图形的平移此类问题主要考查平移的概念、性质和作图,题型以选择题、填空题为主,一般不难,解答题主要考查简单的平移图案的设计以及平移与平面直角坐标系的综合运用.例18如图M-3-14,在直角坐标系中,已知点A(-3,-1),B(-2,1),平移线段AB,使点A落在A1(0,-1),点B落在点B1处,则点B1的坐标为

.解题突破利用平面直角坐标系内平移变换的坐标变化规律求解.(1,1)解析

如图,点B1的坐标为(1,1).例19[广州中考]如图M-3-15,在△ABC中,AB=AC,BC=12cm,点D在AC上,DC=4cm,将线段DC沿CB方向平移7cm得到线段EF,点E,F分别落在边AB,BC上,则△EBF的周长为

cm.解题突破利用平移的性质可求得EF,BF的长,再利用等腰三角形的性质可得BE的长,从而获解.13解析

由平移的性质知EF=DC＝4cm,EF∥DC，∴∠BFE＝∠C.∵AB＝AC,∴∠B＝∠C.∴∠B＝∠BFE，∴BE＝EF＝4cm.又∵BF＝BC－FC＝12－7＝5(cm),∴△EBF的周长＝4＋4＋5＝13(cm).考点十二图形的旋转此类问题主要考查旋转的概念、性质和作图,题型以选择题、填空题为主,一般不难,解答题主要考查简单的旋转图案的设计,有时会和其他几何知识相结合,出一些创新题.例20下列四个圆形图案中,分别以它们所在圆的圆心为旋转中心,顺时针旋转120°后,能与原图案完全重合的是().

解题突破利用旋转的性质逐个分析.答案A

例21[绥化中考]如图M-3-17,在四边形ABCD中,∠ABC=30°,将△DCB绕点C顺时针旋转60°后,点D的对应点恰好与点A重合,得到△ACE.若AB

=3,BC=4,求BD的长(提示：可连接BE)．

解题突破将BD的长转化为AE的长.再由旋转的性质得△BCE为等边三角形.解如图，连接BE.∵将△DCB旋转得到△ACE，∴CB=CE,BD=AE.又∵∠BCE=60°，

∴△BCE为等边三角形，∴BE=BC=4，∠CBE=60°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=30°+60°=90°，则AE2=AB2+BE2=32+42=52，AE=5，∴BD=AE=5.

在平面内,把一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫作中心对称图形,这个点叫作它的对称中心.解决此类问题的关键是寻找对称中心.

考点十三中心对称图形例22[枣庄中考]下列图形,可以看作中心对称图形的是().解题突破根据中心对称图形的定义进行判断.B

因式分解是为了方便计算,把整式进行恒等变形,化成几个整式的乘积的形式,其方法主要有提公因式法、公式法,考查形式主要以选择题和填空题为主,解题的关键是根据具体题目选择适当的方法进行分解,其结果应满足以下三个条件：(1)被分解的代数式是多项式；(2)分解后的因式是整式,且每个因式均不能再分解；(3)结果是积的形式.

考点十四因式分解例23[威海中考]分解因式：(2a+b)2-(a+2b)2=

.解题突破利用平方差公式进行因式分解,注意应分解彻底.3(a+b)(a-b)解析

(2a＋b)2－(a＋2b)2＝[(2a＋b)＋(a＋2b)][(2a＋b)－(a＋2b)]＝(3a＋3b)(a－b)＝3(a＋b)(a－b).例24

[宜宾中考]分解因式：ab4-4ab3+4ab2=

.解题突破先提公因式,再利用完全平方公式分解.ab2(b-2)2解析

ab4－4ab3＋4ab2＝ab2(b2－4b＋4)＝ab2(b－2)2.例25

[大庆中考]已知a+b=3,ab=2,求代数式a3b+2a2b2+ab3的值.解题突破先将代数式分解因式,再整体代入求值.解:

a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2.将a+b=3,ab=2代入，得ab(a+b)2=2×32=18.分式有意义是解分式方程的前提条件,本考点主要考查：分母不为0时,分式有意义；分母等于0时,分式无意义；分母不等于0且分子等于0时,分式的值等于0.此类问题考查时多以选择题和填空题的形式出现,分清三种情况需满足的条件是解决此类问题的关键.考点十五分式有(无)意义和值为0的条件例26已知代数式.(1)当x取哪些值时,代数式的值是正数？(2)当x=

3时,求代数式的值；(3)当x取哪些值时,代数式的值是0？(4)当x取哪些值时,代数式无意义？解题突破(1)分式的值是正数,则分子与分母一定同号,分同正与同负两种情况.(3)分式的值是0,则分子等于0,且分母不等于0.分式的运算包括加、减、乘、除以及混合运算,有时也与幂的混合运算结合起来考查.在对分式进行化简时要注意运算顺序,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号里的,最后结果要化成最简分式或整式.当分式运算中有整式时,可以把整式看成分母是1的式子.考点十六分式的运算例27

化简时,小明、小华两名同学的化简过程如下：对于他俩的解法,你的看法是(

).A．都正确B．小明正确,小华不正确C．小华正确,小明不正确D．都不正确

B解题突破分式的基本性质中,分式的分子、分母中同乘(或除以)的数或式子不能为0.例28已知a2+3ab+b2=0(a≠0,b≠0),则代数式的值等于

.解题突破

先变形,后整体代入求值.-3例29化简：解题突破

先计算括号里的,再将除法转化为乘法.例30[雅安中考]先化简，再求值：，其中x=-2．解题突破

将整式部分“－x－1”作为一个整体处理.解分式方程的基本思路是去分母,将分式方程转化为整式方程,而去分母的关键是方程的两边同时乘最简公分母.解分式方程与解整式方程最大的区别是解分式方程必须检验,因为在去分母的过程中可能会产生增根.此类问题通常以解答题的形式出现,难度不大,解题的关键是不要忘记检验这一步骤.考点十七解分式方程例31解分式方程：

解题突破

找公分母时先把第一个分式的分母分解因式.利用