北师大版 八年级数学下册第一章 三角形的证明章末复习课件（共70张）VIP

第一章三角形的证明章末复习第一章三角形的证明章末复习知识框架归纳整合素养提升中考链接知识框架三角形的证明等腰三角形直角三角形线段的垂直平分线角平分线全等三角形的判定与性质性质性质判定判定等腰三角形的判定与性质判定性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上角平分线上的点到这个角的两边的距离相等在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上两锐角互余含30°角的直角三角形的性质两锐角互余的三角形勾股定理的逆定理等边三角形的判定与性质勾股定理【要点指导】全等三角形的性质为证明线段(角)相等提供了依据.一般三角形全等的判定方法有四种：“SSS”“SAS”“ASA”和“AAS”.直角三角形是一种特殊的三角形,它的判定方法除了上述四种之外,还有“HL”.在具体问题中,一般只直接给出一个或两个条件(有的甚至一个条件也不直接给出),其余条件常隐含于条件或图形中,而找出这些隐含条件是解答问题的关键.归纳整合专题一与全等三角形有关的计算与证明题分析

(1)根据已知条件,利用HL可证Rt△ABC≌Rt△DCB；(2)利用Rt△ABC≌Rt△DCB可知对应角相等,即可证明△OBC是等腰三角形．例1如图1-Z-1,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,AC=DB,AC与DB相交于点O．(1)求证：△ABC≌△DCB；(2)△OBC是何种三角形？证明你的结论．解

(1)证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中,∵AC=DB,BC=CB,∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL).(2)△OBC是等腰三角形.证明：∵Rt△ABC≌Rt△DCB,∴∠ACB=∠DBC,∴OB=OC,∴△OBC是等腰三角形.相关题1如图1-Z-2,在△ABD和△ACE中,F是AC和DB的交点,G是AB和EC的交点.现有如下四个论断：①AB=AC；②AD=AE；③AF=AG；④AD⊥BD,AE⊥CE．以其中三个论断为条件,填入下面的“已知”中,一个论断为结论,填入下面的“求证”中,组成一个真命题,并写出证明过程．已知：求证：证明：解：答案不唯一，如已知：①AB＝AC，③AF＝AG，④AD⊥BD，AE⊥CE.求证：②AD＝AE.证明：∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAG，AF＝AG，∴△BAF≌△CAG(SAS)，∴∠B＝∠C.∵AD⊥BD，AE⊥CE，∴∠D＝∠E＝90°.又∵AB＝AC，∠B＝∠C，∴△ADB≌△AEC(AAS)，∴AD＝AE.【要点指导】等腰(边)三角形是特殊的三角形,具有较多的特殊性质,有时几何图形中不存在等腰(边)三角形,可根据已知条件和图形特征,适当添加辅助线,使之构成等腰(边)三角形,然后利用其定义和有关性质,快捷地证出结论或得出结果.常用的辅助线有(1)作等腰三角形顶角的平分线,底边上的高、中线；(2)在三角形的中线问题上,我们常将中线延长一倍,这样添加辅助线有助于我们解决有关中线的问题.专题二与等腰三角形有关的证明与探究题例2如图1-Z-3,在△ABC中,AB=AC,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC,分别交AB,AC于点E,F.图中有几个等腰三角形？请说明EF与BE,CF之间的关系.分析

图中有5个等腰三角形,分别是△ABC,△AEF,△BEO,△OFC,△OBC.根据等腰三角形的性质,即可得出EF与BE,CF之间的关系.解

图中有5个等腰三角形.EF与BE,CF之间的关系是EF=BE+CF.理由如下：∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB.又∵∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB,∴∠EOB=∠EBO,∠FCO=∠FOC,∴OE=BE,OF=CF,∴EF=OE+OF=BE+CF.相关题2-1[宜昌中考]如图1-Z-4,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,以B为圆心,BC的长为半径的圆弧交AC于点D,连接BD,则∠ABD的度数为().A．30°

B．45°C．60°

D．90°B相关题2-2在△ABC中,AB=AC,且过△ABC的某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形,试求△ABC各内角的度数.解：当在BC边上取点时，该点与顶点A的连线把△ABC分成两个等腰三角形，分两种情况：(ⅰ)如图①，设点E在BC上，且AE＝BE＝EC，这时容易计算∠B＝∠C＝45°，∠BAC＝90°，即△ABC各内角的度数分别为45°，45°，90°.图①

(ⅱ)如图②，过点A的直线交BC于点F，且BF＝BA，CF＝AF.设∠B＝x°，则∠C＝x°，∠CAF＝x°，∠BAF＝∠BFA＝(2x)°.由三角形的内角和定理，得x＋3x＋x＝180，解得x＝36，即△ABC各内角的度数分别为36°，36°，108°.图②当在腰AC上取点时，该点与点B的连线把△ABC分成两个等腰三角形，这时也有两种情况：(ⅰ)如图③，过点B的直线交AC于点D，且BD＝AD＝BC.设∠A＝α°，则∠ABD＝α°，∠C＝∠BDC＝(2α)°，∠DBC＝α°.由三角形的内角和定理，得α＋2α＋2α＝180，解得α＝36，所以△ABC各内角的度数分别是36°，72°，72°.图③图④【要点指导】勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用有(1)已知直角三角形的两边长求第三边长；(2)已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系；(3)证明含平方关系的问题等.勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的重要依据,实现把数的问题转化为形的问题,即通过计算判断一个三角形是不是直角三角形.专题三与勾股定理及其逆定理有关的计算与应用例3如图1-Z-5,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝9,BC＝12,则点C到AB的距离是_______.分析如图1-Z-5,过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ABC中,由直角边AC及BC的长,利用勾股定理易求出斜边AB的长,然后借助等积法求出CD的长,即点C到AB的距离.具体的解答过程如下：在Rt△ABC中,AC=9,BC=12,根据勾股定理,得AB＝15.如图1-Z-5,过点C作CD⊥AB于点D.∵S△ABC=AC•BC=AB•CD,∴CD=,则点C到AB的距离是．答案相关题3如图1-Z-6,在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC=4,BC=3,BD=．(1)求CD,AD的值；(2)判断△ABC的形状,并说明理由．【要点指导】解决与线段垂直平分线有关的问题,关键是要把握它的性质及与它有关的基本作图的步骤、技巧,借助“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”,实现相关线段的转移.专题四线段垂直平分线的性质及应用例4如图1-Z-7,在△ABC中,∠B=32°,∠BAC的平分线AD交BC于点D.若DE垂直平分AB,则∠C的度数为(

).A．90°

B．84°

C．64°

D．58°分析∵DE垂直平分AB,∴DA=DB,∴∠DAB=∠B=32°.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠DAC=∠DAB=32°,∴∠C=180°-32°-32°-32°=84°.故选B.答案B相关题4如图1-Z-8,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于点D,交BC于点E.若AC=3,BC=4,则DE等于().答案

C【要点指导】在解答有关角平分线的问题时,常在角平分线上选一点,并向角的两边作垂线段,以便利用角平分线的性质来解答.角平分线的性质和三角形全等的性质都是证明线段相等或角相等的依据,在解时常综合使用.专题五角平分线的性质与判定的运用例5如图1-Z-9,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC.求证：AD=AB+CD.证明如图1-Z-9,过点E作EF⊥AD于点F.∵∠C=90°,DE平分∠ADC,∴EC=EF.∵E是BC的中点,∴EC=EB,∴EF=EB.在Rt△AFE与Rt△ABE中,∵AE=AE,EF=EB,∴Rt△AFE≌Rt△ABE,∴AF=AB.同理可得FD=CD,∴AD=AF+FD=AB+CD.相关题5-1如图1-Z-10,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,∠CED=35°,则∠EAB的度数是().A．35°

B．45°C．55°

D．65°A相关题5-2如图1-Z-11,AB∥CD,E为AD上一点,且BE,CE分别平分∠ABC,∠BCD.求证：AE=DE.证明：如图，过点E分别作EF⊥AB交BA的延长线于点F，EG⊥BC于点G，EH⊥CD于点H.∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF＝EG.同理EG＝EH，∴EF＝EH.又∵EF⊥AB，EH⊥CD，∴∠AFE＝∠DHE＝90°.∵AB∥CD，∴∠FAE＝∠D.在△AFE和△DHE中，∵∠FAE＝∠D，∠AFE＝∠DHE，EF＝EH，∴△AFE≌△DHE(AAS)，∴AE＝DE.【要点指导】等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形,它的边、角的特殊性在处理许多几何问题时起着很重要的作用.求解与等腰三角形的边、角有关的计算问题时,在条件不明确的情况下,应根据题目的特点分类讨论.素养提升专题一分类讨论思想的应用例1

等腰三角形一腰的中线把它的周长分成12cm和9cm两部分,求这个等腰三角形的腰长和底边的长.解如图1-Z-12,设腰长为xcm.(1)若AB+AD=12cm,有x+=12,则x=8,所以AB=8cm,BC=5cm.(2)若AB+AD=9cm,有x+=9,则x=6,所以AB=6cm,BC=9cm.综上,这个等腰三角形的腰长和底边的长分别为8cm,5cm或6cm,9cm.相关题1-1

若等腰三角形的一个内角的补角是130°,则底角的度数为().A．80° B．50°C．50°或65° D．50°或70°解析

若130°角为顶角的补角，则顶角为50°，所以底角为(180°－50°)÷2＝65°；若130°角为底角的补角，则底角为50°.所以等腰三角形的底角的度数为50°或65°.故选C.C相关题1-2

一个等腰三角形的一边长是5cm,周长是20cm,求其他两边的长.解：若腰长为5cm，则底边长为20－5×2＝10(cm)．∵5＋5＝10，∴不能构成三角形．若底边长为5cm，则腰长为(20－5)×＝7.5(cm)．∵7.5＋5＞7.5，∴可以构成三角形．综上可得，5cm为底边长，其他两边的长为7.5cm，7.5cm.专题二转化思想【要点指导】转化思想是解决数学问题的一种最基本的思想.在研究数学问题时,我们通常是将未知问题转化为已知问题,将复杂问题转化为简单问题,将抽象问题转化为具体问题,将实际问题转化为数学问题.转化的内涵非常丰富,已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的突破口.例2

如图1-Z-13,在边长为2的等边三角形ABC中,D为BC的中点,E是AC边上一点,则BE+DE的最小值为___________.分析

如图1-Z-14,作点B关于AC的对称点B′,则△ACB′为等边三角形.连接AD,DB′,则DB′的长度即BE+DE的最小值.∵△ABC是边长为2的等边三角形,D为BC的中点,∴AD⊥BC,BD=1,∠DAC=30°,∵∠DAB′=∠DAC+∠CAB′=30°+60°=90°,答案相关题2

在底面直径为2cm,高为3cm的圆柱体侧面上,用一条无弹性的丝带从点A至点C按图1-Z-15所示的圈数缠绕,则丝带的最短长度为________cm.(结果保留π)答案中考链接母题1

(教材P4习题1.1第2题)已知：如图1-Z-16,点B,E,C,F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证：∠A=∠D.考点：全等三角形的性质及判定.考情：判定三角形全等是中考的热点,熟练掌握三角形全等的判定方法是解此类题的关键.策略：判定两个三角形全等时,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.链接1[苏州中考]如图1-Z-17,∠A=∠B,AE=BE,

点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O．(1)求证：△AEC≌△BED；(2)若∠1=42°,求∠BDE的度数．解(1)证明：∵AE和BD相交于点O,∴∠AOD=∠BOE.在△AOD和△BOE中,∵∠A=∠B,∠AOD=∠BOE,∴∠2=∠BEO.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠BEO,∴∠AEC=∠BED.在△AEC和△BED中,∵∠A=∠B,AE=BE,∠AEC=∠BED,∴△AEC≌△BED(ASA).(2)∵△AEC≌△BED,∴EC=ED,∠C=∠BDE.在△EDC中,∵EC=ED,∠1=42°,∴∠C=∠EDC=69°,∴∠BDE=∠C=69°.母题2(教材P34复习题第4题)已知:如图1-Z-18,BD,CE是△ABC的高,且BD=CE.求证：△ABC是等腰三角形.考点：等腰三角形的判定与性质.考情：等腰三角形的判定与性质是证明线段相等或角相等的重要依据,常与多边形的其他性质综合在一起考查.策略：证明三角形中有两个角相等或者两条边相等,注意数形结合思想和转化思想的运用.链接2[山西中考]如图1-Z-19,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,直线a∥b,顶点C在直线b上,直线a交AB于点D,交AC于点E,若∠1=145°,则∠2的度数是().A．30° B．35° C．40° D．45°分析∵AB=AC,∠A=30°,∴∠ACB=75°.在△ADE中,∵∠1=∠A+∠AED=145°,∴∠AED=145°-30°=115°.∵a∥b,∴∠AED=∠2+∠ACB,∴∠2=∠AED-∠ACB=115°-75°=40°.故选C.答案

C分析

如图1-Z-21,直接利用平行线的性质得出∠1=∠3,进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE,即可得出答案．链接3

[内江中考]如图1-Z-20,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为D,DE∥AC．求证：△BDE是等腰三角形．证明如图1-Z-21,∵DE∥AC,∴∠1=∠3.∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3.∵AD⊥BD,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°,∴∠B=∠BDE,∴△BDE是等腰三角形．母题3(教材P32习题1.10第1题)已知：如图1-Z-22,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线.求证：BD=2CD.考点：在直角三角形中,如果有一个锐角是30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.考情：含30°角的直角三角形性质的应用是中考的热点考题.策略：遇到30°角应该联想到它是不是直角三角形中的一个锐角或者是否能够添加辅助线构造含30°角的直角三角形,解答此类问题的关键是利用含30°角的直角三角形的性质得出30°角所对的直角边等于斜边的一半.链接4[淄博中考]如图1-Z-23,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为().A．4 B．6 C．4 D．8分析

∵CM平分∠ACB,MN∥BC,MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,∴∠ACB=2∠B,NM=NC,∴∠B=30°.∵AN=1,∴MN=2,∴AC=AN+NC=3,∴BC=6.故选B.答案

B母题4(教材P24习题1.7第3题)如图1-Z-24,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.考点：线段垂直平分线的性质.考情：线段垂直平分线的性质是中考中的常见考点,该性质常常与勾股定理、角平分线的性质定理、全等三角形的判定定理等综合在一起进行考查.策略：先根据线段垂直平分线的性质定理得到两边相等或者两角相等,然后利用它们进行转化,找到解题思路.链接5

[南充中考]如图1-Z-25,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE,若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为().A．8 B．11 C．16 D．17分析

∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11.故选B.

B母题5(教材P30习题1.9第2题)已知：如图1-Z-26,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证：EB=FC.考点：角平分线的性质.考情：角平分线的性质是中考中的常见考点,该性质常常与全等三角形的判定定理、勾股定理综合在一起考查.策略：根据角平分线的性质定理,