宁夏长庆高级中学2021届高三年级上册第五次月考数学（文）试题（解析版）

宁夏长庆高级中学2020-2021学年第一学期

高三年级第五次月考文科试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-2,1),则i.z=()

A.l+2iB.-2+iC.l-2iD.-l-2i

【答案】D

【解析】

【分析】

由题可得z=-2+i,再由复数乘法计算即可.

【详解】二•复数z对应的点的坐标是(―2,1),.•.z=—2+i,

:.i-z=i(-2+i)=-1-2i.

故选：D.

2.抛物线的准线为x=4,则抛物线的方程为()

A.*=16yB.〃-8yC.尸=16%D.必=8x

【答案】C

【解析】

【分析】

根据准线方程求得2〃，判断出抛物线的开口方向，由此求得抛物线方程.

【详解】由抛物线的准线为x=T,得3=4,2〃=16,且抛物线开口向右，

2

所以抛物线的方程为y2=16》.

故选：C

3.若向量2=(1,2),b=(x,—2)>且H，则卜+同=()

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

先由£_1_另求得5，再由卜+q=yja~+2a-b+b~求解.

【详解】因为向量2=(1,2),b=(x,-2)>且

所以a-b=x-4=0>

解得x=4,

所以B=(4,-2),同=2逐，a=亚,

所以归+q=Ja-+2H+斤=>/25=5>

故选：B

4.设A={x|24x<5},B-^x\2a<x<a+3^,若AuB,则实数a的取值范围是()

A.(l,2)u(2,3)B.(-oo,l]C,[2,3)D.<P

【答案】D

【解析】

【分析】

利用集合间的包含关系列出不等式组，求解即可.

【详解】解：•.•A={x|2«x<5},8={x|2a<x〈a+3}且Aq8,

2aWa+3

?.<2a<2,

a+3>5

此不等式组无解.

故选：D.

5.直线：依+/_々+1=0,直线4:4x+效—2=0,则“a=12”是“《口，2”的

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.不充分不必要条件

【答案】C

【解析】

【详解】两直线平行，则：色=」工士1，解得：a=-2，则”。=±2”是"4口/,”的必要不充分条

4a-2

件.

本题选择C选项.

6.已知角a的终边经过点P（3,4）,贝ijcos（2a+：=（）

A31V2R31V2„1772n170

50505050

【答案】A

【解析】

【分析】

根据角a的终边经过点P（3,4）,利用三角函数的定义可求出a的正弦和余弦，进而利用二倍角公式，两角

和的余弦公式即可求解.

【详解】解：•••角a的终边经过点产（3,4）,

二|OP|=j32+42=5,

34

由三角函数的定义知：cosa=-,sina=-,

55

.-2「0”丫-7

..cos2a=2coscc—l=2x|——1=-----，

⑸25

・cc-c4324

sin2a=2sinacosa=2x—x—=——，

5525

cos（2a+=cos2acos£-sin2asin彳=（一奈）x.

故选：A.

+ax0

7.已知函数/（x）={（aeH）,若函数/（x）在R上有两个零点，则。的取值范围是（）

2x-l,x>Q

A.（v,T）B,[-2,0）C.（-1,0）D.[-1,0）

【答案】B

【解析】

【分析】

当x>0时，/(x)=2x-l有一个零点x=!，只需当XWO时，2e*+4=0有一个根，利用"分离参数法"

2

求解即可.

x

【详解】因为函数〃力=«2e+a,x<0

2x-l,x>0

当x>0时，/(幻=2了一1有一个零点％=3，

所以只需当xWO时，2/+。=0即产=—且有一个根即可,

2

因为y=2,单调递增，当xWO时，eAG(0,1],所以—ae(0,2],即ae[—2,0),

故选:B.

【点睛】已知函数有零点(方程有根)，求参数取值范围的三种常用的方法：

(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围:

(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后利用数形结合求解.

8.若函数/(x)=a?+3/+x+>Q。eR)恰好有三个不同的单调区间，则实数。的取值范围是

()

A.(0,3)U(3,4W)B.[3,-fw)C.(0,3]D.(0,3)

【答案】D

【解析】

【分析】

求得了'(HnBo^+Gx+Ka>。)，由题意可知，/'(x)有两个不同的零点，可得出A>0,进而可求得

实数。的取值范围.

【详解】由题意得了'(》)=3加+6》+1(4>0),

•••函数/(力恰好有三个不同的单调区间，.•"'(X)有两个不同的零点，

△=36-12。>0

所以,解得0<6?<3.

。>0

因此，实数。的取值范围是(0,3).

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题利用函数的单调区间个数求参数，解题的关键就是结合题意确定函数的极值点

的个数，结合二次函数的基本性质解题.

9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍餐，下广三丈，袤四丈,

上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈,

长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”(已知1丈为10尺)该锲体的三视图如图所示，

则该锲体的体积为

A.12000立方尺B.11000立方尺

C.10000立方尺D.9000立方尺

【答案】C

【解析】

【分析】由题意，将锲体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，利用所给数据，即可求出体积

【详解】解：由题意，将锲体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示:

沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，

则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，

则三棱柱的体积Vi=-x3X2X2=6,四棱锥的体积V2=-xlX3X2=2,

23

由三视图可知两个四棱锥大小相等，

V=%+2Vz2=10立方丈=10000立方尺.

故选c.

【点睛】本题考查几何体体积的计算，正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是关键.

22

10.直角坐标系xQy中，双曲线亍—^=1的左焦点为尸，4（1,4）,Q是右支上的动点，则I阳+|%I

的最小值是（）

A.8B.9C.10D.12

【答案】B

【解析】

分析】

设双曲线的右焦点为G,由双曲线方程求得下与G的坐标，再由双曲线的定义可得|阳+|力|=

2a+|PG|+|%利用|PG|+|必求出最小值.

【详解】由题意得a=2,5=26，c=4,则尸（-4,0）,

设右焦点G（4,0）.

由双曲线的定义可知位于右支的点P有|勿|-|罔=4,

.【I阳+1%|=4+1%+1%124+|2G|=4+7（1-4）2+（4-0）2=4+5=9.

故选：B

【点睛】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把|阳+|以|化为

2a+|PG|+|必1|是解题的关键，属于中档题.

11.已知数列｛4｝满足％=1,。向=广3（〃6.）.若4=1。82—+1，则数列｛2｝的通项公式2=

nyan7

（）

A.B.n-\C."D.2〃

2

【答案】C

【解析】

【分析】

1（1111

变形为——+1=2—+1可知数列一+1｝是首项为2,公比为2的等比数列，求出一+1=2”后代入

⑼）

«n+i14J4

到勿=log/，+1］可得结果.

W）

a1,21（1＞

详解】由％+|=一七，得一=1+一，所以——+1=2—+1,

4+2%%«„+|）

又一+1=2,所以数列《一+1是首项为2,公比为2的等比数列，

4UJ

所以'+1=2-2"T=2",所以“log?—+1|=log22"=

故选：C.

【点睛】关键点点睛：构造等比数列求出口-+1是本题解题关键.

12.若函数/（无）=萼+（1-2.）%-2成在区间（；，1）内有极小值，则。的取值范围是

A.B.(—oo,-l)C.(-2,-1)D.(-oo,—2)

【答案】C

【解析】

【分析】求出广（X），根据/（X）在弓,1）内有极小值可得了'（X）的图象性质，从而可求。的取值范围.

【详解】尸（力=以+］_2「="2+（12巾2,

XX

由题意广（X）在区间（；，1］上有零点，

且在该零点的左侧附近，有/''（x）＜0,右侧附近有了'（x）＞0.

则〃（x）=a?+（i-az）一在区间上有零点，

且在该零点的左侧附近，有/'（x）＜0,右侧附近有了'（x）＞0.

当a>0时.，〃(%)为开口向上的抛物线且〃(())=一2,故任(1)>0,无解.

。>0

当a=0,则〃(x)=x—2<(),舍.

当"0,//(X)为开口向下的抛物线，其对称轴为X=—士£=1一五>1,

故,解得—2<a<—1

a<0

故选：C.

【点睛】本题考查函数的极值，注意根据极值的类型判断导数的函数图象性质，本题属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分.

13.已知sinx+cosx='，则tanx=_.

4

【答案】—；

3

【解析】

【分析】先根据sinx+cosx的值和二者的平方关系联立求得cosx和sinx的值，最后利用商数关系求得

tanx的值.

【详解】•«,0<x<K,/.sinx>0

’.1

sinx+cosx=-’.4

5sinx=一

225EHsinx4

由题意可得，sinx+cosx=l,解的，in),LdiiA一

3,COSX3

sinx>0cosx=——

15

4

故答案为：一；.

3

【点睛】关键点点睛：本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，解答的关键就是建立有关cosx和sinx

的方程组，考查计算能力，属于基础题.

2x+y-2<0,

14.若x,y满足约束条件<x-y-\>Q,则有x+7y的最大值为.

y+l>0,

【答案】1

【解析】

【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点Z处取得最大值，

联立直线方程：\.，八，可得点力的坐标为：A(1,O),

x-j-1=0

据此可知目标函数的最大值为：Zm.=l+7x0=l.

故答案为：1.

【点睛】求线性目标函数=^*+勿的最值，当6>0时，直线过可行域且在p轴上截距最大时，z

值最大，在p轴截距最小时，z值最小；当6<0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在

y轴上截距最小时，z值最大.

15.设向量a=(1,—1),匕=(机+1,2加—4),若a上b，则机=.

【答案】5

【解析】

【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.

【详解】由aJ_b可得.•/?=(),

又因为£=(1,-1)石=(加+1,2加-4),

所以7石=1(加+1)+(-1>(2/〃-4)=(),

即加=5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.

16.曲线y=lnx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.

【答案】y=2x

【解析】

【分析】设切线的切点坐标为(%,%),对函数求导，利用y'%=2,求出/,代入曲线方程求出为,得

到切线的点斜式方程，化简即可.

［详解】设切线的切点坐标为(公,%),y=Inx+x+1,V=L+1,

y'LM=—+1=2,%=1,%=2,所以切点坐标为(1,2),

所求的切线方程为y—2=2(x-l),即y=2x.

故答案为：y=2x.

【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(每题12)

17.如图，长方体A8CQ-A出GOi的底面ABCQ是正方形，点E在棱上，BELEG.

A

（1）证明：BE_L平面EBiG：

（2）若AE=4E,AB=3,求四棱锥E—的体积.

【答案】（1）见详解；（2）18

【解析】

【分析】（1）先由长方体得，^c,1平面AA^B,得到4G_L8E,再由BE，EC）,根据线面垂直的

判定定理，即可证明结论成立；

（2）先设长方体侧棱长为2a,根据题中条件求出。=3；再取8片中点F，连结EF，证明所_L平面

BB£C,根据四棱锥的体积公式，即可求出结果.

【详解】（1）因为在长方体ABC。—440。中，MG_L平面A44/

BEu平面A448,所以gG，BE,

又BELECI，gC|CEG=G，且EC；u平面EBg,gQu平面EB©,

所以BE1平面EBiG；

（2）设长方体侧棱长为2a,则AE=AE=。，

由Q）可得Eg_L6E；所以EB：+BE?=BB；,即28^=85：,

又相=3,所以2AE2+2AB2=85;，即2a2+18=4Q2,解得。=3；

取中点尸，连结EF，因为AE=A,E,则所〃4B；

所以所_L平面84CC，

所以四棱链E—四C。的体积为%B©c=gs矩形期GC.稗阴衣=gx3x6x3=18.

【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，依据四棱锥的体积，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体

积公式即可，属于基础题型.

18.S.为等差数列｛4｝的前〃项和，已知的=1，S4=—32.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求S,,,并求S”的最小值.

【答案】(1)a“=2〃—13；(2)S“=〃2-12”，〃=6时，S”的最小值为—36.

【解析】

【分析】

(1)利用等差数列的通项公式以及前〃项和公式求出q,d,代入通项公式即可求解.

(2)利用等差数列的前九项和公式可得S“，配方即可求解.

【详解】(1)设｛4｝公差为d,

由%=1，$4=-32,

4+61=1

即，4x3,“，解得c，

4a,H----d=-32d=2

2i

所以=4+(〃—l)d=2H—13.

(2)Sn-na]+12~~=+=-12〃，

Sn=rf-=-6)~-36,

所以当〃=6时，S〃的最小值为—36.

19.在中，角4B,U的对边分别为ab,c,已知〃=3,c=&,3=45。.

(1)求sinC的值；

4

(2)在边8。上取一点。，使得cosZAOC=—g,求tanNZMC的值.

【答案】（1）sinC=—;（2）tanZDAC=—.

511

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理求得〃，利用正弦定理求得sinC.

（2）根据cosZADC的值，求得sinZADC的值，由（1）求得cosC的值，从而求得sinADAC,cosADAC

的值，进而求得tanND4c的值.

【详解】(1)由余弦定理得〃=a2+c2—2accos8=9+2—2x3x0xJ=5，所以6=逐.

2

士工什士说殂cb.八csinB<5

由正弦定理得-----=-----=x>sinC=------=—.

sinCsinBh5

4ZADC所以sinZADC=Jl—cos?ZAOC=|.

(2)由于cosZAOC=—g

由于e(Q•，乃J,所以Ce(。,,)，所以cosC=Jl-sin2c=今之.

所以sinND4C=sin(万一ZDAC)=sin(ZADC+ZC)

=sinZADCcosC+cosZADC-sinC，述+O垦述.

55I5j525

由于NDACe0,5,所以cosZDAC=Vl-Sin2ZDAC=

25

sin/n4c2

所以tanNZ)AC=

cosZDACTT

【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.

20.已知椭圆4/+/=1及直线y=x+m.

（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数加的取值范围；

（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.

V5V5

【答案】（1）-；（2）y=x.

22

【解析】

【分析】

（1）联立直线与椭圆方程，消去y,得到关于工的方程，根据直线与椭圆有公共点，得到关于x的方程有

实根，利用判别式大于等于零，即可得出结果；

（2）设弦的两端点分别为8（9,%），由（1），根据韦达定理，以及弦长公式，用机表示出弦

长，得出弦长的最大值，以及此时的加的值，即可得出所求直线方程.

4/y2=1

【详解】（1）由《+,消去＞，整理得5/+2〃/+m2一1=0,

y=x+m

当直线与椭圆有公共点时，方程5/+2/加+机2-1=0有实根，

所以八=4根2—20（〃/一］）20,整理得4根2一540，

解得—正4加4延，

22

即实数机的取值范围是-更，中；

（2）设所截弦的两端点分别为A（%，x）,§（£,%），

2m

%+x

2~~~5~

由（1）可得＜

m2-1

X|%=

5

所以弦长|AB\=Jl+弦，,J-4中2=3x4-xA/5-4W2，

因此当加=0时，弦长最大，此时所求直线的方程为）'=%.

【点睛】思路点睛：

求解圆锥曲线的弦长相关问题时，一般需要联立直线与曲线方程，消去x（或,），得到关于＞（或x）的

一元二次方程，根据韦达定理，以及弦长公式，表示出弦长，即可结合题中所给条件求解.

21.已知函数“力=心'一法（a,。为常数），点A的横坐标为0,曲线y=在点A处的切线方程

为y=-工+1.

(1)求。，。的值及函数/(x)的极值；

(2)证明：当x>0时，ev>x2.

【答案】(1)a=l,b=2,极小值为2—21n2；无极大值(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)利用导数的几何意义求得a,》，再利用导数法求得函数的极值：(2)构造函数//(力=/一¥,

利用导数求得函数的最小值，即可得出结论.

【详解】(1)由已知A(O,a)代入切线方程得。=1,

f'^x)-aex-b,

.・2=2

f^x)-ex-2x,

r(x)=e'-2,

令尸(x)=0得x=ln2,

当x<ln2时;(x)<0,/(x)单调递减；

当x>ln2时/'(x)>0,/(x)单调递增；

所以当x=ln2时，

“x)=2-21n2即为极小值；无极大值

(2)令/z(x)=e*—f,

则"(x)=e*—2无，

由(1)知"(x)min=2-21n2>()

."(x)在(0,+8)上为增函数

,-.//(x)>/z(O)=l>(),

即/

【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值，利用导数证明不等式.属于中档题.

选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.

22.在平面直角坐标系中，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的参数方程为

x=2t=2sin69

\(f为参数)，曲线、(9为参数).

y=12+j3rf[y=2(l+cos°)

(1)求直线/及曲线G的极坐标方程；

⑵若曲线G：e=g(°eR)与直线/和曲线G分别交于异于原点A,B的两点，求|A目的值.

【答案】(1)V3pcos-2psin6>+24=0,夕=4sin6.(2)14G

【解析】

【分析】(1)利用代入消元和sin2夕+cos20=l,即可求得直线和q的普通方程，再利用公式即可转化为

极坐标方程；

(2)将曲线G的极坐标方程分别代入直线和曲线G的极坐标方程，求得〃，/，则|45|=以,一闯•

x=2/

【详解】(1)直线/的参数方程为《r(f为参数)，消去参数，可得，直线/的一般方程为