函数与图形面积类相关问题-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型（解析版）

专题49函数与图形面积类相关问题

【考查题型】

■二次函数与图形面积类相关问题

专题49函数与图形面积类相关问题

氤例函数与图形面积类相关问题

考查题型一二次函数与图形面积类相关问题

1.(2015•四川绵阳市•中考真题)已知抛物线y=-x2-2x+a(a#))与y轴交于A,顶点为M,直线y=-a

分别与x轴、y轴交于B、C两点，并且与直线MA相交于N点.

(1)若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M、A的坐标；

(2)将ANAC沿着y轴翻折，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于D,连

接CD.求a的值及APCD的面积；

(3)在抛物线y=-x2-2x+a(a>0)上是否存在点P,使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

259955

【答案】(1)a>----且a/0>A(0,a),M(-1,1+a)；(2)a=—,S=—；(3)当点P为(—,一)

324PCD228

17

和(一，一77)时，A、C、P、N能构成平行四边形.

28

【提示】

y=-x2-2x+a

(1)把两个函数解析式联立组成方程组(1，整理得2V+5x-4〃=0，

y=-x-a

r2

直线BC和抛物线有两个不同交点可得△>(),代入即可得a的取值范围；把x=0代入y=-x2-2x+a求得y=a,

即可得A(0,a)；把y=-x〈2x+a化为顶点式y=-(x+l)2+l+a即可得M(-1,1+a)；

(2)设直线MA为y=kx+b,代入A(0,a),M(-1,1+a),即可求得直线MA的表达式，把直线MA的

表达式和直线y=。联立组成方程组求点N的坐标(用a表示)，点P和点N关于y轴对称，即可得

2

点P的坐标，把点P的坐标代入y=-x-2x+a,通过解方程即可得a的值，由S^PCD=S^-S^即可求得

△PCD的面积：

(3)分两种情况，①当点P在y轴的左侧时，由四边形APCN为平行四边形，则AC与PN相互平分，点

P与N关于原点中心对称，根据点N的坐标求得点P的坐标，代入y=-x2-2x+a求a的值，即可求得P的坐

标；②当点P在y轴的右侧时，由四边形ACPN为平行四边形，则NP〃AC且NP=AC,根据点A、N、C

的坐标求点P的坐标，代入y=*2-2x+a求a的值，即可求得P的坐标.

【详解】

y--x2-2x+a

解：(1)由题意联立《1,

y=-x-a

I2

整理得，2x2+5x-4。=0

25

由△=25+32a>0,解得a>-----

32

.25日,

・a/)，•・a>----且a^O

32

令x=0,得y=a,A(0,a)

由y=—(x+1)~+1+a,

得M(-1,1+a)

1+a=-k+b

设直线MA为y=kx+b,代入A(0,a),M(-1,1+a)得，<

a=b

'k=­I

解得<,,故直线MA为y=・x+a

b=a

4a

(y=-x+ax=——

3”，4。Q

联立11,解得〈所以N(7，一耳)

y--x-ay_a

因P点是N点关丁・y轴的对称点，，P(———),

代入y=-x~-2x+a,得------------a~+—ci+a,

9

解得a=—或a=0(舍去)

4

99139

AA(0,一)、C(0,——)、M(-1,—).|AC|=-

4442

=^\AC\-\x\-^\AC\-\x\

,•SAPCD=SBCC-SDACpn

199

=---（3-1）=-

222

①当点P在y轴的左侧时，由四边形APCN为平行四边形，则AC与PN相互平分，点P与N关于原点（0,

0）中心对称,

4aa,,4aa

而N(—,一一),故P(——,一一).

3333

..na1628

代入y=-x--2x+a,得—=----，

393

1555

解得a=—,P(—.

828

②当点P在y轴的右侧时，由四边形ACPN为平行四边形，则NP〃AC且NP=AC,而N（（■，-］）、A

/z、u4。la

(0,a)、C(0»-a),故P(—------)

393

7a16

代入y=-x2-2x+a,得——=----

393

317

解得a=g,・・・P(-,——)

O28

C、P、N能构成平行四边形.

【名师点拨】

本题考查一次函数、二次函数、三角形、四边形的综合题.

2.(2018•辽宁阜新市•中考真题)如图，已知二次函数y=ax?+bx+3的图象交x轴于点A(1,0),B(3,0),

交y轴于点C.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求ABCP面积的最大值；

(3)直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M,N,当ABMN是等腰三角形时，直接写出m的值.

【答案】(1)这个二次函数的表达式是y=x?-4x+3；(2)SCP(3)当ABMN是等腰三角形时，

ABO

m的值为0,-五，1,2.

【解析】

提示：(1)根据待定系数法，可得函数解析式；

(2)根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和

差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；

(3)根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案.

详解：(1)将A(1,0),B(3,0)代入函数解析式，得

a+b+3=0

9a+3b+3=0

a=\

解得J

b=-4

这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3：

(2)当x=0时，y=3,即点C(0,3),

设BC的表达式为y=kx+b,将点B(3,0)点C(0,3)代入函数解析式，得

'3k+b=0

b=0

解这个方程组，得

k=­T

b=3

直线BC的解析是为y=-x+3,

过点P作PE〃y轴

交直线BC于点E交-t+3),

PE=-t+3-(t2-4t+3)=-l2+3t,

.133,27

••SBCP=SABPE+SCPE=~(-1+3t)x3="—(t--)>

A222o

3、“3-27

.■刀<0,.•当t=7时'SBCPKX=­•

22A8

(3)M(m,-m+3),N(m,m2-4m+3)

MN=m2-3m,g-3|,

当MN=BM时，①n？.3m=J5(m-3),解得巾=加,

②n?.3m=-V2(m-3),解得m=-72

当BN=MN时，ZNBM=ZBMN=45°,

m2-4m+3=0,解得m=l或m=3(舍)

当BM=BN时;NBMN=NBNM=45。，

-(m2-4m+3)=-m+3,解得m=2或m=3(舍)，

当ABMN是等腰三角形时，m的值为&,-、乃，1,2.

名师点拨：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差

得出二次函数，乂利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要

分类讨论，以防遗漏.

3.（2013•广东佛山市♦中考真题）如图①，已知抛物线y=ax?+bx+c经过点A（0,3）,B（3,0）,C（4,

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；

（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S

（图②中阴影部分）.

【答案】（1）y=x2—4x+3；（2）顶点坐标为（2,-1）,对称轴为直线x=2；（3）2.

【提示】

（1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可.

（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可.

（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即

可得解.

【详解】

解：(1)••,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3),

c=3a=1

{9a+3b+c=0,解得{b=T.

16a+4b+c=3c=3

:.抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3.

(2)Vy=x2-4x+3=(x-2)2-l,

...抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2.

(3)如图,♦.•抛物线的顶点坐标为(2,-1),APP^l.

又由平移的性质知，阴影部分的面积等于平行四边形A，APP，的面积，

而平行四边形AAPP，的面积=1x2=2.

,阴影部分的面积=2.

4.(2019•广东中考真题)如图所示抛物线y=办2+法+c过点A(-l,0),点C(0,3),且O8=OC

(1)求抛物线的解析式及其对称轴；

(2)点。,E在直线x=l上的两个动点，且OE=1,点。在点E的上方，求四边形ACOE的周长的最小

值；

(3)点P为抛物线上一点，连接CP,直线CP把四边形CBP4的面积分为3：5两部分，求点尸的坐标.

【答案】(1)y=-x2+2x+3,对称轴为直线x=l；(2)四边形ACDE的周长最小值为丽+屈+1：

(3):(4,-5),"(8,~45)

【提示】

(1)0B=0C,则点B(3,0),则抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)=ax?-2ax-3a,即可

求解；

(2)CD+AE=A,D+DC",则当A\D、C三点共线时，CD+AE=AD+DC最小，周长也最小，即可求解;

=

(3)SAPCB：SAPCA~EBx(yc-yp)：—AEx(yc-yp)=BE：AE,即可求解.

【详解】

(1)VOB=OC,.•.点B(3,0),

则抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)=ax2-2ax-3a,

故-3a=3,解得：a=-l,

故抛物线的表达式为：y=-x?+2x+3…①；

对称轴为：直线x=l

(2)ACDE的周长=AC+DE+CD+AE,其中AC=而、DE=1是常数，

故CD+AE最小时，周长最小，

取点C关于函数对称点C(2,3),则CD=CD,

取点A(-1,1),则AD=AE,

故：CD+AE=A'D+DC,,则当A，、D、C三点共线时，CD+AE=AD+DC最小，周长也最小,

四边形ACDEd^<=AC+DE+CD+AE=710+1+A,D+DC,=+1+AV=VW+I+V13；

(3)如图，设直线CP交x轴于点E,

直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，

=X

又;SAPCB：SAPCA~EB(yc-yp)：万AEX(yc-yp)=BE：AE,

则BE：AE,=3：5或5：3,

53

则AE=一或一，

22

31

即：点E的坐标为(二，0)或(彳，0),

将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3,

解得：k=-6或-2,

故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…②

联立①②并解得：x=4或8(不合题意值已舍去)，

故点P的坐标为(4,-5)或(8,-45).

【名师点拨】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中(1),通过确定

点A，点来求最小值，是本题的难点.

5.(2020•山东济南市•中考真题)如图1,抛物线y=-f+bx+c过点A(-1,0),点8(3,0)与)，轴交

于点C.在无轴上有一动点E(机，0)(0<m<3),过点E作直线LLx轴，交抛物线于点

(1)求抛物线的解析式及C点坐标；

(2)当〃?=1时，。是直线/上的点且在第一象限内，若△ACO是以/OCA为底角的等腰三角形，求点。

的坐标；

(3)如图2,连接3M并延长交y轴于点N,连接AM,OM,设AAEM的面积为Si，AMON的面积为S2,

【答案】(1)y=-V+2x+3,C(0,3)；(2)(1,1)或(1,八)：(3)"一2

【提示】

(1)用待定系数法即可求解；

(2)若AAC。是以乙DCA为底角的等腰三角形，则可以分8=AO或4C=AZ)两种情况，分别求解即可;

(3)Si=：AExy,“，2s2=0N・XM，即可求解.

【详解】

-l-b+c=O

解：(1)将点4、8的坐标代入抛物线表达式得《c>Z

-9+3b+c=0

b=2

解得〈.，

(c=3

故抛物线的表达式为j=-f+2x+3,

当x=0时，y=3,故点C(0,3)；

(2)当，〃=1时，点E(l,0),设点。的坐标为(1,。)，

由点A、C、。的坐标得，AC=^(0+1)2+(3-0)2=V10.

同理可得：AD=Ta^+4>CD=Jl+(a-3)2，

①当C£>=AD时，即Ja?+4=Jl+(a-3)2,解得a=l；

②当AC=AO时，同理可得。=±指(舍去负值)；

故点。的坐标为(1,1)或(1,瓜);

(3)VE(m,0),则设点-W+2m+3),

-m2+2m+3=sm+t

设直线3M的表达式为y=sx+3则《,

0=3s+t

解得：，丁,

t=^-

、m+1

13

故直线8M的表达式为y=-----x+——，

m+1m+1

333

当x=0时，y=----,故点N(0,----),则ON=----；

m+1m+1m+1

112

S\——xAE'X-VM=-x(m+1)x(-7；?+2"？+3),

22

312

2SR=ON・XM=----xm=S]=-x(加+1)x(-"+2〃?+3),

m+12

解得m=-2±J7(舍去负值),

经检验，”=J7-2是方程的根，

故巾=V7-2.

【名师点拨】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中(2),

要注意分类求解，避免遗漏.

6.(2020•辽宁大连市•中考真题)在平面直角坐标系xOy中，函数耳和鸟的图象关于y轴对称，它们与直

线x=(>0)分别相交于点P,Q.

(1)如图，函数耳为y=x+i,当f=2时，PQ的长为；

3

(2)函数6为了=—,当尸。=6时，，的值为；

x

(3)函数耳为y=依2+法+c(〃工0),

①当"时，求△OPQ的面积；

b

②若c>0,函数6和耳的图象与X轴正半轴分别交于点A(5,o),8(1,0),当c«x4c+1时，设函数6的

最大值和函数6的最小值的差为肌求人关于c的函数解析式，并直接写出自变量c的取值范围.

—cH—c~H—c(0<c<2)

【答案】⑴4；(2)1；⑶①&叽=1；②丸=彳555.

2c2+c(c>2)

【提示】

(1)由题意，先求出6的解析式，再求出P、Q两点的坐标，即可求出PQ的长度;

(2)由题意，先求出用的解析式，结合PQ的长度，即可求出t的值;

(3)①根据题意，先求出鸟的解析式，然后求出点P和点Q的纵坐标，得到PQ的长度，利用三角形的面

积公式即可求出面积；

②根据题意，先求出函数耳和耳的解析式，然后求出两个函数的对称轴，利用二次函数的对称性和增减性

进行分类讨论：当0<c42时，以及当c>2时，分别求出h与c的关系式即可.

【详解】

解：(1)•.•函数6为y=x+i,函数耳和用的图象关于)，轴对称，

，函数6为y=-x+l,

当x=r=2时，有

y=2+1=3；

y,2=-2+1=—1：

...点P为(2,3),点Q为(2,-1),

二PQ的长为尸Q=3—(—1)=4；

故答案为：4；

(2)•.•函数耳为y=j函数耳和K的图象关于y轴对称，

X

3

，函数6为y=-一；

x

,：x=t(t>0),

...点P在第一象限，点Q在第四象限，

33

设点P为(t,一)，点Q为(t,一),

tt

•••PQ=6.

解得:f=l；

故答案为：1；

(3)①：函数片为y=ar2+bx+c(a/0),函数6和6的图象关于y轴对称,

函数6为：y=a»(-x)2+b»(-x)+c>HRj=ar2-ftx+c：

b

.•.把「=络代入函数6,则y=a•(第y+b•骼+c=£+扬+C；

把”如代入函数月，则y=a・吟)2"•第+c=/赤+c；

二PQ=^-+y/b+c-(--y/b+c)=24b,

bb

•*,S〉OPQ=；x乎x2扬=1：

2b

②由①可知，函数£为y=依2+/zx+c,函数鸟为y=or2_bx+c,

・・•函数耳和鸟的图象与x轴正半轴分别交于点45,0),3(1,0),

，25。+5。+。=0

/.〈，

a-b+c=0

1

a=——c

解得：，2,

,4

b=—c

[5

二函数片可化为：y=—|x2+^x+c,函数层可化为：y=-.》2-*x+c；

4c

函数耳的对称轴为：x=------——=2,

2x(-|)

_4c

函数B的对称轴为：x=-----=-2,

2x(--)

c>0,则a=-不<0,

则函数耳，函数鸟均是开口向下；

...函数耳在0<x<2上，y随x增大而增大，在x>2上是y随x增大而减小;

函数用在x>—2上，y随x增大而减小;

*.*c<x<c+1,c>0,

当0<c42时，贝(I

函数耳在x=2时取到最大值；函数写在》=。+1时取到最小值，则

A/i=(-|x4+yx2+c)-[-|»(c+l)2-y*(c+l)+c],

169

即//=—c，+—c?+—c(0<c<2)；

555

当c>2时，则

函数耳在x=c时取到最大值；函数写在》=。+1时取到最小值，则

〃=(一■|"2+羡・C+C)-[一,・(C+1>一费・(C+1)+C],

l'|Jh=2c2+c(c>2)；

-c3+-c2+-c(0<c<2)

综合上述，力关于c的函数解析式为：h=\555

2c2+c(c>2)

【名师点拨】

本题考查了二次函数的综合问题，考查了二.次函数的对称性、增减性，也考查了一次函数的图像和性质，

待定系数法求函数的解析式，以及两点之间的距离，求三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握二次

函数和一次函数的性质进行解题，注意运用数形结合、分类讨论的思想进行提示，从而进行解题.

7.(2020•辽宁鞍山市•中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线旷=改2+笈+2(0。0)经过点A(—2,T)和

点C(2,0),与y轴交于点。，与x轴的另一交点为点艮

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,连接3。，在抛物线上是否存在点P,使得NPBC=2/500?若存在，请求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由；

(3)如图2,连接AC,交y轴于点E,点M是线段AO上的动点(不与点A,点。重合)，将△CME沿

ME所在直线翻折，得到口/ME,当口尸加后与重叠部分的面积是DAMC面积的■!■时，请直接写

4

出线段AM的长.

【答案】(1)y——x2+x+2；(2)存在，(],w)或(丁，——)：(3)§I。或

【提示】

(1)根据点A和点C的坐标，利用待定系数法求解；

(2)在x轴正半轴上取点E,使OB=OE,过点E作EFLBD,垂足为F,构造出/PBC=NBDE,分点P

在第三象限时，点P在x轴上方时，点P在第四象限时，共三种情况分别求解；

(3)设EF与AD交于点N,分点F在直线AC上方和点F在直线AC下方时两种情况，利用题中所给面

积关系和中线的性质可得MN=AN,FN=NE,从而证明四边形FMEA为平行四边形，继而求解.

【详解】

解:(1)•.•抛物线y=o?+反+2(aw0)经过点A(-2,-4)和点C(2,0),

-4=4。—2。+2[a=-1

则〈C4〜C，解得：＜71，

0=4。+2〃+2b=l

二抛物线的解析式为y=—/+%+2：

(2)存在，理由是：

在x轴正半轴上取点E,使OB=OE,过点E作EFLBD,垂足为F,

在y=-x2+x+2中，

令y=0,解得:x=2或-1,

.•.点B坐标为(-1,0),

二点E坐标为(1,0),

可知：点B和点E关于y轴对称，

/.ZBDO-ZEDO,即NBDE=2NBDO,

VD(0,2),

/.DE=^22+12=^=BD,

4q-11

在ABDE中，W—xBExQD=—xBDxEF,

即2X2=7^XEF,解得：EF=#L

•••DF=4DE2-EF2=

EF4J53J54

；.tan/BDE=——==_

DF553

若NPBC=2NBD0,

贝|J/PBC=NBDE,

VBD=DE=V5>BE=2,

则BD2+DE2>BE2,

/.ZBDE为锐角,

当点P在第三象限时,

NPBC为钝角，不符合;

当点P在x轴上方时,

VZPBC-ZBDE,设点P坐标为(c,2

-C+C+2),

过点P作x轴的垂线，垂足为G,

则BG=c+l,PG=-C2+C+2-

PG-c2+c+24

AtanZPBC=——二----------二一

BGc+l3

解得:c=g,

.20

・・—c"+c+2二-，

，点P的坐标为（—,—）；

同理可得：PG=c2-c-2>BG=c+l,

PGC2-C-24

tanZPBC=—=------------

BGc+13

解得:©=与

,52

,•-c~+c+2=~,

...点P的坐标为（g,52

-----),

9

2201052

综上：点P的坐标为（1,）或（§,——）；

(3)设EF与AD交于点N,

VA(-2,-4),D(0,2),设直线AD表达式为y=mx+n,

-4=-2m+nm=3

则《c，解得:

2=nn=2

：.直线AD表达式为y=3x+2,

设点M的坐标为(s,3s+2),

VA(-2,-4),C(2,0),设直线AC表达式为丫=01^+由,

-4=-2mt+〃]m(=1

，解得:

0=2mt+〃]=-2

二直线AC表达式为y=x-2,

令x=0,贝！］y=-2,

.•.点E坐标为(0,-2),

可得：点E是线段AC中点，

.♦.△AME和ACME的面积相等，

由于折叠，

ACME^AFME,即SACME=SAFME，

由题意可得：

当点F在直线AC上方时，

._1_11

••SAMNE=丁SAAMC=_SAAME=~SFME>

422A

即SAMNE=SAANE-SAMNF，

，MN=AN,FN=NE,

四边形FMEA为平行四边形，

CM=FM=AE=—AC=-xA/42+42=2J2，

22

VM(s,3s+2),

•••J(S_2『+(3S+2)2=2V2，

4

解得：s=-《或0(舍)，

当点F在直线AC下方时，如图，

同理可得：四边形AFEM为平行四边形,

，AM=EF,

由于折叠可得：CE=EF,

；.AM=EF=CE=2痣，

综匕AM的长度为色普或2忘.

【名师点拨】

本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图像和性质，折叠问题，平行四边形的判定和性

质，中线的性质，题目的综合性很强.难度很大，对学生的解题能力要求较高.

8.(2020・江苏宿迁市•中考真题)二次函数丁=办2+法+3的图象与*轴交于人(2,0),B(6,0)两点，与y

轴交于点C,顶点为E.

(1)求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；

(2)如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐

标；

(3)如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP,取OP中点Q,连接QC,QE,CE,当ACEQ的

面积为12时，求点P的坐标.

【提示】

(1)由于二次函数的图象与x轴交于A(2,0)、B(6,0)两点，把A,B两点坐标代入y=o?+法+3,计算

出a的值即可求出抛物线解析式，由配方法求出E点坐标；

(2)由线段垂直平分线的性质可得出CB=CD,设D(4,m),由勾股定理可得4?+(m-3)2=6z+3?,解方程

可得出答案；

1

(3)设CQ交抛物线的对称轴于点M,设P(〃，；〃2一2〃+3),则Q(g〃,23

8--2n+-),设直线CQ的

1311312

解析式为了=履+3,则一〃*一2几+—=—〃女+3,解得—〃一2—,求出M(4,n-5----),ME=

8224nn

H-4--,由面积公式可求出n的值，则可得出答案.

n

【详解】

(1)将A(2,0),B(6,0)代入y=奴2+Zzx+3,

4。+2〃+3=0

得《，

36。+6。+3=0

1

a=—

解得《4，

b=-2

1

二二次函数的解析式为k产一92，+3：

i1,

'/y=—x2-2x+3=—(x-4)--1

E(4,-1)；

得CB=CD,

设D(4,m),

1

当x=0时,y=­x2-2x+3=3,

4

.\C(0,3),

CD2=CB2,由勾股定理可得:

42+(m-3)2=62+32，

解得m=3土例,

,满足条件的点D的坐标为(4,3+扬)或(4,3-729)：

(3)如图3,设CQ交抛物线的对称轴于点M,

图3

设P(〃，-n~-271+3),则Q(-•〃，-n~-n-\—),

4282

1,31

设直线CQ的解析式为y=履+3,则3"一九+“％+3,

822

解得上=—1〃一2一33，

4n

(13、

于是直线CQ的解析式为：y=\-n-2-一x+3,

[4n)

(13112

当x=4时，=4—n-2-—+3=rt-5----

\4n7n

M(4,5----),ME=〃-5-----F1=zt—4----,

nnn

,；SACQE=SACEM+SAQEM=T;ME・XQ=7；〃—4----x—n=12,

22\nJ2

n2—4/j-60=0,

解得〃=10或"=-6,

当〃=10时,P(10,8),

当”=-6时,P(—6,24).

综合以匕可得，满足条件的点P的坐标为(10,8)或(-6,24).

【名师点拨】

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角

形的面积；熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键.

9.(2020・四川眉山市•中考真题)如图1,抛物线丫=一/+次+。与无轴交于A、B两点，与)'轴交于点C，

(2)点P为直线8C上方抛物线上的一个动点，当口PBC的面积最大时，求点P的坐标；

(3)如图2,点M为该抛物线的顶点，直线MOJ.X轴于点。，在直线MD上是否存在点N,使点N到

直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（I）y=—x2+2x+3；（2）⑶存在，（1,-4+2#）或（1,-4一26）

【提示】

(1)用待定系数法求出抛物线解析式；

⑵过点P作轴于点“，交于点G,设点P的坐标为(〃7,-/+2〃?+3),先求出直线的

解析式，再用m表示PG,得出5“睦=326・08=；(-机2+3加卜3,配方即可得出结论

(3)先根据抛物线的解析式得出顶点M的坐标，设点N坐标为(1,n)，得出MN=|4—〃|,从而确定NG

的长，再根据NG=M4得到关于n的方程，解方程即可

【详解】

-9+3Z?+c=0

解：(1)由题意得:

c=3

b=2

解得＜

c=3

♦.抛物线的解析式为y=-x2+2x+3

(2)设点P的坐标为何,一加2+2加+3),过点尸作轴于点”，交BC于点G,

•.•点3（3,0）,C（O,3）,

...宜线BC的解析式为：y=-x+3,

点G为（7%—/??+3）,

PG=y=一机之+3m.

=lpG-OB=l(-m2+3/n)x3=--fm-->|+—>

S"BC

22、72l2j8

3「315、

.,.当机=二时，5ppc最大，此时点尸坐标为|二,-7

2A(24J

(3)存在点N满足要求.

y=-j^+2x+3=-(x-l)2+4,

顶点M为(1,4),

二直线MC的表达式为：y=x+3.设直线MC与x轴交于点E,则点E为(一3,0),

DE=DM=4,：.4CMD=45°.

设满足要求的点N坐标为(1,〃)，则=|4-小

•：NG=NA.：.NG2=NA2,而N42.+4,

整理得〃2+8〃-8=0,

解得〃=-4±2振.

•・・存在点N满足要求，点N坐标为(1,-4+2卡)或(1,7-2").

【名师点拨】

本题是二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握待定系数法可求抛物线的解析式，三角形面积公式，二

次函数的最值，抛物线的顶点坐标，两点间的距离公式，以及方程思想的应用，综合性较强.

10.（2020•黑龙江鹤岗市•中考真题）如图，已知二次函数y=-x2+（a+l）x-a与X轴交于A、8两点（点A

位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知ABAC的面积是6.

（2）在抛物线上是否存在一点P,使％树八存在请求出P坐标，若不存在请说明理由.

【答案】（1）。=一3；（2）存在，P点的坐标为（-2,3）或（_1+疗,_3）或（―1—J7,—3）.

【提示】

（1）根据求出A.B.C的坐标，再由ABAC的面积是6得到关于a的方程即可求解；

（2）根据—=SMBC得到P点的纵坐标为±3,分别代入解析式即可求解.

【详解】

（1）y=-x2+（a+l）x-a,

令x=0,则尸

C（0,—<7）,

令y=0,即一%2+（。+1）%-a=0

解得X1=a,x,=1

由图象知：。<0

...4（。,0）,8（1,0）

SMBC=6

A^(1-«)(-«)=6

解得：a=-3>(a=4舍去)；

(2)：a=—3，

二C(0,3).

••C-Q

,Q&ABP_aMBC'

/.P点的纵坐标为±3,

把y=3代入y=一》2一2》+3得一f—2x+3=3，

解得x=0或x=-2,

把丁=-3代入y=—Y—2x+3得一x2-2x+3=—3，

解得x=-1+々或x=-1-S，

二P点的坐标为(-2,3)或(-1+77,-3)或(-1-A/7,-3).

【名师点拨】

此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用.

考查题型二反比例函数与图形面积类相关问题

11.(2020•辽宁鞍山市•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+l的图象与X轴，y轴的交

点分别为点A,点8,与反比例函数>=人(女/0)的图象交于C,。两点，CE_Lx轴于点E,连接DE,

X

AC=3日

(1)求反比例函数的解析式;

(2)求△COE的面积.

【答案】(1)y=~；(2)—

x2

【提示】

(1)根据一次函数表达式推出ACAE为等腰直角三角形，得到AE=CE,再由AC的长求出AE和CE,再

求出点A坐标，得到0E的长，从而得到点C坐标，即可求出k值；

(2)联立一次函数和反比例函数表达式，求出交点D的坐标，再用!乘以CE乘以C、D两点横坐标之差

求出ACDE的面积.

【详解】

解：(1)一次函数y=x+l与x轴和y轴分别交于点A和点B,

ZCAE=45°,即ACAE为等腰直角三角形，

；.AE=CE,

AC=3V2,即AE2+CE2=(3及『,

解得：AE=CE=3,

在y=x+l中，令y=0,则x=-l,

AA(-1,0),

AOE=2,CE=3,

：.C(2,3),

k=2x3=6,

反比例函数表达式为：y=9；

X

y=x+1

(2)联立：]6，

y=-

lX

解得:x=2或・3,

当x=-3时,y=-2,

・••点D的坐标为(-3,-2),

.,-SACDE=^x3x[2-(-3)]=y.

【名师点拨】

本题考查了反比例函数和一次函数综合，求反比例函数表达式，解一元二次方程，三角形面积，难度不大,

解题时要注意结合坐标系中图形作答.

12.(2020.辽宁盘锦市.中考真题)如图，AB两点的坐标分别为(一2,0),(0,3),将线段A3绕点8逆时针

k

旋转90。得到线段BC,过点。作。_L03,垂足为O,反比例函数丁=一的图象经过点C.

(1)直接写出点。的坐标，并求反比例函数的解析式；

k

(2)点P在反比例函数y=—的图象上，当DPCO的面积为3时，求点P的坐标.

x

3

【答案】(1)(3,1)；y=—；(2)(1,3)或(-3,-1).

x

【提示】

(1)由AB两点的坐标得出0408的长度，由题意得出AAOBwABOC,进而得出B。，CZ)的长度,

从而得出。。的长度，即可得出。点的坐标；进而求出反比例函数的解析式；

(2)分点P在第一象限、第三象限两种情况分类讨论即可.

【详解】

解：(1)VAB两点的坐标分别为(一2,0),(0,3),

:.OA=2,OB—3,

,/线段AB绕点B逆时针旋转90。得到线段BC,CDLOB,

：.AB=BC,ZABO+ZCBD=ZCBD+ZBCD=90°,

：.ZABO=ZBCD,

又「ZAOB=ZBDC=90°,

・・.\AOB=\BDC，

：.CD=OB=3,BD=OA=2,

00=08—60=3—2=1,

点的坐标为(3,1),

k

V反比例函数y=—的图象经过点c(3,1),

x

,k

1=—,

3

二.%=3,

3

反比例函数的解析式为丁=一；

x

(2),/CD=3,

...当APCD的面积等于3时，以CO=3为底时，得出的高为2,

•••C(3,l),

，产点不会在C点的右边；

设点P(x,y),

若点尸在第一象限，过点P作PN_LCD,垂足为N,

APCZ)的面积为3,

.•.；C0PN=；x3x(y—l)=3,

解得y=3,

3

将y=3代