空间图形体积一课锥台

13.3.2空间图形的体积第一课时柱、锥、台的体积1.知道柱体、锥体、台体体积的计算公式.2.能用公式解决简单的实际问题.课标要求素养要求在计算柱体、锥体、台体体积的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，发展学生的数学建模、数学运算和直观想象素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究1柱体、锥体、台体的体积公式(1)柱体的体积公式__________

(S为底面面积，h为高)；V＝Sh点睛柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系1.思考辨析，判断正误(1)棱锥的体积等于底面面积与高之积.(

)提示棱锥的体积等于底面面积与高的积的三分之一.(2)棱台的体积可转化为两个棱锥的体积之差.()(3)求圆台的表面积和体积时，常用“还台为锥”的思想方法.()×√√C3.若长方体的长、宽、高分别为3cm，4cm，5cm，则长方体的体积为(

)A.27cm3 B.60cm3

C.64cm3 D.125cm3解析V长方体＝3×4×5＝60(cm3).B4.棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于________.课堂互动题型剖析2题型一求棱柱、棱锥、棱台的体积【例1】

如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.解

法一设AB＝a，AD＝b，DD′＝c，则长方体ABCD－A′B′C′D′的体积V＝abc，法二已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′－BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.(1)常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解.②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的即可.③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.④补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱.(2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算.思维升华【训练1】

如图，三棱锥P－ABC中，PA＝a，AB＝AC＝2a，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求三棱锥P－ABC的体积.解

∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为正三角形，设D为BC的中点，连接AD，PD，作PO⊥平面ABC.∵∠PAB＝∠PAC且AB＝AC，∴O∈AD.作PE⊥AB于点E，连接OE，则OE⊥AB.题型二求圆柱、圆锥、圆台的体积【例2】

(1)设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________.21π解析设上、下底面半径、母线长分别为r，R，l.作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°，又∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°，∴圆台的体积为21π.(2)在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，把△ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？解

由题意，所形成的几何体为两个圆锥的组合体，如图所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD，两个圆锥的高分别为AD和DC，求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是在母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.思维升华【训练2】

若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是(

)D题型三求组合体的表面积和体积【例3】

如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将正三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积和体积.所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面积、侧面积、圆柱的侧面积.组合体的体积与表面积的求解策略：(1)首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减；求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.(2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义，以确保不重复、不遗漏.思维升华【训练3】

一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米)?解将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体.V＝S底·h＝0.54×24.8≈13.39(立方米).故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土.一、牢记1个知识点柱、锥、台体的体积公式.二、掌握3种方法1.分割方法.2.补体方法.3.等价转化法.三、注意1个易错点求体积时，关键是根据已知条件找出相应的底面积和高.

课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(

) A.5π B.6π C.20π D.10π

解析用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.D2.一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为(

)B解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱挖去一个圆锥(如图)，AA.6 B.12 C.24 D.48D5.(多选题)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体，且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两几何体的说法正确的是(

)A.侧面积之比为1∶4 B.侧面积之比为1∶8C.体积之比为1∶27 D.体积之比为1∶26解析

依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.BD二、填空题6.圆台上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积为6π，则这个圆台的体积是_______.7.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________.又点F到平面DD1E的距离为1，8.把底面半径为8cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为

______，体积等于____________.20cm解析设圆锥的母线长为l，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积S＝πl2.又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl.根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，∴πl2＝2.5×8πl，∴l＝20(cm).解以四面体的各棱为面对角线还原为长方体.如图，设长方体的长、宽、高分别为x，y，z.而V长方体＝2×3×4＝24，∴V四面体ABCD＝8.10.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝45°，OA⊥底面ABCD，OA＝2.求三棱锥B－OCD的体积.解∵底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝45°，∵OA⊥底面ABCD，∴OA即为三棱锥O－BCD的高，11.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是(

)A.54 B.54π C.58 D.58π解析设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r.设圆台高为h1，AACD解析

A项，根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，13.如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E，F分别为AA1，CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积.D1F∥EB，所以四边形EBFD1是菱形.连接EF，则△EFB≌△EFD1.易知三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－EFD1的高相等，故VA1－EBFD1＝2VA1－EFB＝2VF－EBA1.14.某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪用).已建的仓库的底面直径为12m，高为4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐.现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m(高不变)；二是高度增加4m(底面直径不变). (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体