人教版八年级上学期期末考试数学试卷及答案解析(共六套)

PAGEPAGE124人教版八年级上学期期末考试数学试卷（一）一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．在式子，，，中，分式的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．1，2，34．如图，AB=AD，添加下列一个条件后，仍无法确定△ABC≌△ADC的是（）A．BC=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠B=∠D=90° D．∠ACB=∠ACD5．下列运算正确的是（）A．a3•a3=2a3 B．a0÷a3=a﹣3 C．（ab2）3=ab6 D．（a3）2=a56．一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（）A．75° B．60° C．65° D．55°7．下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的是（）A．乙和丙 B．甲和乙 C．甲和丙 D．只有甲8．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，若AD=BD=BC，则∠A的度数为（）A．70° B．45° C．36° D．30°9．规定一种运算：a*b=ab+a+b，则a*（﹣b）+a*b的计算结果为（）A．0 B．2a C．2b D．2ab10．若a+b+c=0，且abc≠0，则a（+）+b（+）+c（+）的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．若a+b=，且ab=1，则（a+2）（b+2）=．12．计算：（x﹣1+）÷=．13．如图，△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C移动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A移动．若点Q的移动速度与点P的移动速度相同，则经过秒后，△BPD≌△CQP．14．分式方程﹣1=的解是．15．把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1=52°，∠2=18°，则∠3=．16．若a+b=4，且ab=2，则a2+b2=．三、解答题（共66分）17．如图，点C．F，A，D在同一条直线上，CF=AD，AB∥DE，AB=DE．求证：∠B=∠E．18．先化简，再求值：[a（a2b2﹣ab）﹣b（a2﹣a3b）]÷2a2b，其中a=﹣，b=．19．如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．20．一艘轮船在静水中的最大航速为32km/h，它以最大航速沿江顺流航行96km所用时间，与以最大航速逆流航行64km所用时间相等，江水的流速为多少？21．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是（填A或B）A、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2B、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）（2）应用你从（1）中选出的等式，计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．22．观察下列各式：=﹣；=；=；=﹣；…．（1）猜想它的规律：把表示出来：=．（2）用你猜想得到的规律，计算：++++…++．23．在等边△ABC的外侧作直线BD，作点A关于直线BD的对称点A′，连接AA′交直线BD于点E，连接A′C交直线BD于点F．（1）依题意补全图1，已知∠ABD=30°，求∠BFC的度数；（2）如图2，若60°＜∠ABD＜90°，判断直线BD和A′C相交所成的锐角的度数是否为定值？若是，求出这个锐角的度数；若不是，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项错误；故选：A．2．在式子，，，中，分式的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】分式的定义．【分析】判断一个式子是否是分式，关键要看分母中是否含有未知数，然后对分式的个数进行判断．【解答】解：，的分母都有字母，故都是分式，其它的都不是分式，故选：B．3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．1，2，3【考点】三角形三边关系．【分析】根据三角形三边关系定理进行判断即可．【解答】解：3+4＜8，则3，4，8不能组成三角形，A不符合题意；5+6=11，则5，6，11不能组成三角形，B不合题意；5+6＞10，则5，6，10能组成三角形，C符合题意；1+2=3，则1，2，3不能组成三角形，D不合题意，故选：C．4．如图，AB=AD，添加下列一个条件后，仍无法确定△ABC≌△ADC的是（）A．BC=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠B=∠D=90° D．∠ACB=∠ACD【考点】全等三角形的判定．【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：A、AB=AD、AC=AC、BC=CD，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；B、AB=AD、∠BAC=∠DAC、AC=AC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；C、AB=AD、AC=AC、∠B=∠D=90°，符合全等三角形的判定定理HL，能推出△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；D、AB=AD、AC=AC、∠ACB=∠ACD，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△ADC，故本选项符合题意；故选D．5．下列运算正确的是（）A．a3•a3=2a3 B．a0÷a3=a﹣3 C．（ab2）3=ab6 D．（a3）2=a5【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；零指数幂；负整数指数幂．【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、a3•a3=a6故A不符合题意；B、a0÷a3=a﹣3，故B符合题意；C、积的乘方的乘方等于乘方的积，故C不符合题意；D、底数不变指数相乘，故D不符合题意；故选：B．6．一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（）A．75° B．60° C．65° D．55°【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【分析】因为三角板的度数为45°，60°，所以根据三角形内角和定理即可求解．【解答】解：如图，∵∠1=60°，∠2=45°，∴∠α=180°﹣45°﹣60°=75°，故选A．7．下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的是（）A．乙和丙 B．甲和乙 C．甲和丙 D．只有甲【考点】全等三角形的判定．【分析】首先观察图形，然后根据三角形全等的判定方法（AAS与SAS），即可求得答案．【解答】解：在△ABC和乙三角形中，有两边a、c分别对应相等，且这两边的夹角都为50°，由SAS可知这两个三角形全等；在△ABC和丙三角形中，有一边a对应相等，和两组角对应相等，由AAS可知这两个三角形全等，所以在甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是乙和丙，故选：A．8．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，若AD=BD=BC，则∠A的度数为（）A．70° B．45° C．36° D．30°【考点】等腰三角形的性质．【分析】利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠C=，可得2x=，解得：x=36°，则∠A=36°，故选C．9．规定一种运算：a*b=ab+a+b，则a*（﹣b）+a*b的计算结果为（）A．0 B．2a C．2b D．2ab【考点】整式的混合运算．【分析】首先进行乘法运算，化简整式方程，然后，把ab=ab+a+b代入化简即可．【解答】解：∵a*b=ab+a+b，∴原式=a（﹣b）+ab=﹣ab+ab=﹣（ab+a+b）+（ab+a+b）=﹣ab﹣a﹣b+ab+a+b=0故选A．10．若a+b+c=0，且abc≠0，则a（+）+b（+）+c（+）的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3【考点】分式的混合运算．【分析】由已知得：a+b=﹣c，b+c=﹣a，a+c=﹣b，再将所求的式子去括号后，同分母加在一起，分别将所求的式子整体代入约分即可．【解答】解：∵a+b+c=0，∴a+b=﹣c，b+c=﹣a，a+c=﹣b，a（+）+b（+）+c（+），=+++++，=++，=++，=﹣1﹣1﹣1，=﹣3，故选D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．若a+b=，且ab=1，则（a+2）（b+2）=12．【考点】多项式乘多项式．【分析】根据多项式乘多项式的法则把式子展开，再整体代入计算即可求解．【解答】解：∵a+b=，且ab=1，∴（a+2）（b+2）=ab+2（a+b）+4=1+7+4=12．故答案为：12．12．计算：（x﹣1+）÷=x+1．【考点】分式的混合运算．【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，最后约分即可．【解答】解：原式=[+]÷=•=x+1，故答案为：x+1．13．如图，△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C移动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A移动．若点Q的移动速度与点P的移动速度相同，则经过1秒后，△BPD≌△CQP．【考点】勾股定理；全等三角形的判定；等腰三角形的性质．【分析】根据等边对等角可得∠B=∠C，然后表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，设点P、Q的运动时间为t，则BP=3t，CQ=3t，∵AB=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点，∴BD=×10=5cm，PC=（8﹣3t）cm，∵△BPD≌△CQP，∴BD=PC，BP=CQ，∴5=8﹣3t且3t=3t，解得t=1．故答案为：1．14．分式方程﹣1=的解是x=﹣1．【考点】解分式方程．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x2+3x﹣x2﹣2x+3=2，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解，故答案为：x=﹣115．把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1=52°，∠2=18°，则∠3=42°．【考点】多边形内角与外角．【分析】利用360°减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去∠1和∠2即可求得．【解答】解：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°=108°，则∠3=360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2=42°．故答案是：42°．16．若a+b=4，且ab=2，则a2+b2=14．【考点】完全平方公式．【分析】根据完全平方公式即可求出a2+b2的值．【解答】解：∵a+b=4，ab=2，（a+b）2=a2+2ab+b2，∴16=a2+b2+4，∴a2+b2=14故答案为：14三、解答题（共66分）17．如图，点C．F，A，D在同一条直线上，CF=AD，AB∥DE，AB=DE．求证：∠B=∠E．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】首先得出AC=DF，利用平行线的性质∠BAC=∠EDF，再利用SAS证明△ABC≌△DEF，即可得出答案．【解答】证明：∵CF=AD，∴CF+AF=AD+AF，∴AC=DF，∵AB∥DE，∴∠BAC=∠EDF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠B=∠E．18．先化简，再求值：[a（a2b2﹣ab）﹣b（a2﹣a3b）]÷2a2b，其中a=﹣，b=．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】先算乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．【解答】解：[a（a2b2﹣ab）﹣b（a2﹣a3b）]÷2a2b=[a3b2﹣a2b﹣a2b+a3b2]÷2a2b=[2a3b2﹣2a2b]÷2a2b=ab﹣1，当a=﹣，b=时，原式=﹣1．19．如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．【考点】轴对称﹣最短路线问题．【分析】作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1，交OB于P2，连接PP1，PP2，△PP1P2即为所求．【解答】解：如图，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1，交OB于P2，连接PP1，PP2，△PP1P2即为所求．理由：∵P1P=P1E，P2P=P2F，∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+p1p2+p2F=EF，根据两点之间线段最短，可知此时△PP1P2的周长最短．20．一艘轮船在静水中的最大航速为32km/h，它以最大航速沿江顺流航行96km所用时间，与以最大航速逆流航行64km所用时间相等，江水的流速为多少？【考点】分式方程的应用．【分析】设江水的流速为Vkm/h，则顺水速=静水速+水流速，逆水速=静水速﹣水流速．根据顺流航行96千米所用时间，与逆流航行64千米所用时间相等，列方程求解．【解答】解：设江水的流速为Vkm/h，根据题意可得：=，解得：V=6.4，经检验：V=6.4是原分式方程的解，答：江水的流速为6.4km/h．21．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是B（填A或B）A、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2B、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）（2）应用你从（1）中选出的等式，计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【考点】平方差公式的几何背景．【分析】（1）根据题意，将前后两个图形的面积表示出来即可．（2）根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：（1）图1中，边长为a的正方形的面积为：a2，边长为b的正方形的面积为：b2，∴图1的阴影部分为面积为：a2﹣b2，图2中长方形的长为：a+b，长方形的宽为：a﹣b，∴图2长方形的面积为：（a+b）（a﹣b），故选（B）（2）原式=（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）…（1+）（1﹣）=×××…×=×=22．观察下列各式：=﹣；=；=；=﹣；…．（1）猜想它的规律：把表示出来：=．（2）用你猜想得到的规律，计算：++++…++．【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算．【分析】（1）根据所给式子发现=；（2）将++++…++化为+…++，再利用所给规律化简即可．【解答】解：（1）∵=﹣；=；=；=﹣；…∴=；故答案为：；（2）∵=﹣；=；=；=﹣；…=；∴++++…++=+…++，=1+…=1=．23．在等边△ABC的外侧作直线BD，作点A关于直线BD的对称点A′，连接AA′交直线BD于点E，连接A′C交直线BD于点F．（1）依题意补全图1，已知∠ABD=30°，求∠BFC的度数；（2）如图2，若60°＜∠ABD＜90°，判断直线BD和A′C相交所成的锐角的度数是否为定值？若是，求出这个锐角的度数；若不是，请说明理由．【考点】作图﹣轴对称变换；等边三角形的性质．【分析】（1）根据题意可以作出相应的图形，连接A′B，由题意可得到四边形AA′BC是菱形，根据菱形的对角线平分每一组对角，可以得到∠BFC的度数；（2）画出相应的图形，根据对称的性质可以得到相等的线段和相等的角，由等边△ABC，可以得到BC=BA，然后根据三角形内角和是180°，可以推出直线BD和A′C相交所成的锐角的度数，本题得以解决．【解答】解：（1）补全的图1如下所示：连接BA′，∵由已知可得，BD垂直平分AA′，∠ABD=30°，△ABC是等边三角形，∴△BA′A是等边三角形，AA′∥BC且AA′=BC，A′A=A′B，∴四边形AA′BC是菱形，∵∠ACB=60°，∴∠BCE=30°；（2）直线BD和A′C相交所成的锐角的度数是定值，若下图所示，连接AF交BC于点G，由已知可得，BA′=BA，BA=BC，FA′=FA，则∠BA′A=∠BAA′，∠FA′A=∠FAA′，BA′=BC，∴∠BA′C=∠BCA′，∠FA′B=∠FAB，∴∠BCA′=∠FAB，∵∠FGC=∠BGA，∠ABC=60°，∴∠CFA=∠ABC=60°，∵∠AFC+∠AFD+∠A′FD=180°，∠A′FD=∠AFD，∴∠A′FD=60°，即直线BD和A′C相交所成的锐角的度数是定值，这个锐角的度数是60°．人教版八年级上学期期末考试数学试卷（二）一、选择题1、下列标志是轴对称图形的是（

）A、B、C、D、2、PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.0000025米，把数字0.0000025用科学记数法表示为（

）A、2.5×106B、0.25×10﹣6C、25×10﹣6D、2.5×10﹣63、使分式有意义的x的取值范围是（

）A、x≠3B、x＞3C、x＜3D、x=34、下列计算中，正确的是（

）A、（a2）3=a8B、a8÷a4=a2C、a3+a2=a5D、a2•a3=a55、如图，△ABC≌△DCB，若AC=7，BE=5，则DE的长为（

）A、2B、3C、4D、56、在平面直角坐标系中，已知点A（2，m）和点B（n，﹣3）关于x轴对称，则m+n的值是（

）A、﹣1B、1C、5D、﹣57、工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（

）A、SSSB、SASC、ASAD、AAS8、下列各式中，计算正确的是（

）A、x（2x﹣1）=2x2﹣1B、=C、（a+2）2=a2+4D、（x+2）（x﹣3）=x2+x﹣69、若a+b=1，则a2﹣b2+2b的值为（

）A、4B、3C、1D、010、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于D点，则∠DBC的度数是（

）A、20°B、30°C、40°D、50°11、若分式的值为正整数，则整数a的值有（

）A、3个B、4个C、6个D、8个12、如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（

）A、6B、8C、10D、12二、填空题13、当x=________时，分式值为0．14、分解因式：x2y﹣4y=________．15、计算：=________．16、已知等腰三角形的两条边长分别为3和7，那么它的周长等于________．17、如图，DE⊥AB，∠A=25°，∠D=45°，则∠ACB的度数为________．18、等式（a+b）2=a2+b2成立的条件为________19、如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE=2，BC=5，则△BCE的面积为________．20、图1是用绳索织成的一片网的一部分，小明探索这片网的结点数（V），网眼数（F），边数（E）之间的关系，他采用由特殊到一般的方法进行探索，列表如下：特殊网图结点数（V）46912网眼数（F）1246边数（E）4712☆表中“☆”处应填的数字为________；根据上述探索过程，可以猜想V，F，E之间满足的等量关系为________；如图2，若网眼形状为六边形，则V，F，E之间满足的等量关系为________．三、解答题21、计算：﹣（π﹣3）0﹣（）﹣1+|﹣3|．22、已知：如图，E为BC上一点，AC∥BD，AC=BE，BC=BD．求证：AB=DE．23、计算：．24、解方程：．四、解答题25、已知x﹣y=3，求[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x的值．26、北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．27、已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．(1)利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM上作一点C，使AC=AB；②作∠ABM的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE=CD，连接DE．(2)在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．五、解答题28、如图1，我们在2016年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为12×14﹣6×20=48，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．(1)如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为________．(2)若将正整数依次填入k列的长方形数表中（k≥3），继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．(3)如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2015，则这个十字星中心的数为________（直接写出结果）．29、数学老师布置了这样一道作业题：在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．(1)请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下∠ADB的度数；(2)结合小聪研究特殊问题的启发，请解决数学老师布置的这道作业题；(3)解决完老师布置的这道作业题后，小聪进一步思考，当点D和点A在直线BC的异侧时，且∠ADB的度数与（1）中相同，则α，β满足的条件为________（直接写出结果）．答案解析部分一、<b>选择题</b>1、【答案】B【考点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选B．【分析】根据轴对称图形的概念求解．2、【答案】A【考点】科学记数法—表示绝对值较小的数【解析】【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6，故选：A．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3、【答案】A【考点】分式有意义的条件【解析】【解答】解：由分式有意义，得x﹣3≠0，解得x≠3，故选：A．【分析】根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．4、【答案】D【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法【解析】【解答】解：A、幂的乘方底数不变指数相乘，故A错误；B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；C、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故C错误；D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D正确；故选：D．【分析】根据幂的乘方底数不变指数相乘，同底数幂的除法底数不变指数相减，同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．5、【答案】A【考点】全等三角形的性质【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∴BD=AC=7，∵BE=5，∴DE=BD﹣BE=2，故选A．【分析】根据全等三角形的对应边相等推知BD=AC=7，然后根据线段的和差即可得到结论．6、【答案】B【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标【解析】【解答】解：由点A（2，m）和点B（n，﹣3）关于x轴对称，得n=﹣2，m=3．则m+n=﹣2+3=1．故选：B．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得m、n的值，根据有理数的加法，可得答案．7、【答案】A【考点】全等三角形的判定【解析】【解答】解：∵在△ONC和△OMC中，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC=∠AOC，故选：A．【分析】由作图过程可得MO=NO，NC=MC，再加上公共边CO=CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．8、【答案】B【考点】单项式乘多项式，多项式乘多项式，完全平方公式，约分【解析】【解答】解：A、原式=2x2﹣x，错误；B、原式==，正确；C、原式=a2+4a+4，错误；D、原式=x2﹣x﹣6，错误，故选B【分析】A、原式利用单项式乘以多项式法则计算得到结果，即可作出判断；B、原式约分得到最简结果，即可作出判断；C、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断；D、原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可作出判断．9、【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：∵a+b=1，∴a2﹣b2+2b=（a+b）（a﹣b）+2b=a﹣b+2b=a+b=1．故选C．【分析】首先利用平方差公式，求得a2﹣b2+2b=（a+b）（a﹣b）+2b，继而求得答案．10、【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=（180°﹣∠A）=（180°﹣40°）=70°，∵MN垂直平分线AB，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．故选B．【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角的性质可得∠ABD=∠A，然后求解即可．11、【答案】B【考点】分式的值【解析】【解答】解：分式的值为正整数，则a+1=1或2或3或6．则a=0或1或2或5．故选B．【分析】分式的值为正整数，则a+1的值是6的正整数约数，据此即可求得a的值．12、【答案】C【考点】轴对称-最短路线问题【解析】【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．故选C．【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．二、<b>填空题</b>13、【答案】0【考点】分式的值为零的条件【解析】【解答】解：依题意得：x=0且x﹣1≠0，解得x=0．故答案是：0．【分析】分式的值为零时：x=0且x﹣1≠0，由此求得x的值．14、【答案】y（x+2）（x﹣2）【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】【解答】解：x2y﹣4y，=y（x2﹣4），=y（x+2）（x﹣2）．故答案为：y（x+2）（x﹣2）．【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解．15、【答案】【考点】分式的乘除法【解析】【解答】解：=．故答案为：．【分析】直接利用分式的乘方运算法则化简求出答案．16、【答案】17【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：当3是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；当7是腰时，则三角形的周长是3+7×2=17．故答案为：17．【分析】分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时．根据三角形的三边关系，知3，3，7不能组成三角形，应舍去．17、【答案】110°【考点】三角形的外角性质【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∵∠D=45°，∴∠B=180°﹣∠BED﹣∠D=45°，又∵∠A=25°，∵∠ACB=180°﹣（∠A+∠B）=110°．故答案为：110°【分析】由DE与AB垂直，利用垂直的定义得到∠BED为直角，进而确定出△BDE为直角三角形，利用直角三角形的两锐角互余，求出∠B的度数，在△ABC中，利用三角形的内角和定理即可求出∠ACB的度数．18、【答案】ab=0【考点】完全平方公式【解析】【解答】解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2，∴等式（a+b）2=a2+b2成立的条件为ab=0，故答案为：ab=0．【分析】先根据完全平方公式得出（a+b）2=a2+2ab+b2，即可得出答案．19、【答案】5【考点】角平分线的性质【解析】【解答】解：作EF⊥BC于F，∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴S△BCE=BC•EF=×5×2=5．故答案为：5．【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可．20、【答案】17①V+F﹣E=1②V+F﹣E=1【考点】点、线、面、体【解析】【解答】解：由表格数据可知，1个网眼时：4+1﹣4=1；2个网眼时：6+2﹣7=1；3个网眼时：9+4﹣12=1；4个网眼时：12+6﹣☆=1，故“☆”处应填的数字为17．据此可知，V+F﹣E=1；若网眼形状为六边形时，一个网眼时：V=6，F=1，E=6，此时V+F﹣E=6+1﹣6=1；二个网眼时：V=10，F=2，E=11，此时V+F﹣E=10+2﹣11=1；三个网眼时：V=13，F=3，E=15，此时V+F﹣E=13+3﹣15=1；故若网眼形状为六边形时，V，F，E之间满足的等量关系为：V+F﹣E=1．故答案为：17，V+F﹣E=1，V+F﹣E=1．【分析】根据表中数据可知，边数E比结点数V与网眼数F的和小1，从而得到6个网眼时的边数；依据以上规律可得V+F﹣E=1；类比网眼为四边形时的方法，可先罗列网眼数是1、2、3时的V、F、E，从而得出三者间关系．三、<b>解答题</b>21、【答案】解：原式=2﹣1﹣2+3=2【考点】实数的运算，零指数幂，负整数指数幂【解析】【分析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．22、【答案】证明：∵AC∥BD，∴∠ACB=∠DBC，∵AC=BE，BC=BD，∴△ABC≌△EDB，∴AB=DE【考点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】由AC、BD平行，可知∠ACB=∠DBC，再根据已知条件，即可得到△ABC≌△EDB，即得结论AB=DE．23、【答案】解：原式=•=•=【考点】分式的混合运算【解析】【分析】先把括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．24、【答案】解：方程两边乘以（x+1）（x﹣1），得x（x+1）﹣（x+1）（x﹣1）=3（x﹣1），去括号得：x2+x﹣x2+1=3x﹣3，解得：x=2，检验：当x=2时，（x+1）（x﹣1）=3≠0，则原分式方程的解为x=2【考点】解分式方程【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．四、<b>解答题</b>25、【答案】解：原式=（x2﹣2xy+y2+x2﹣y2）÷2x=（2x2﹣2xy）÷2x=x﹣y，当x﹣y=3时，原式=x﹣y=3【考点】整式的混合运算【解析】【分析】原式中括号中利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x﹣y=3代入计算即可求出值．26、【答案】解：设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为1.5x千米/时．根据题意得：﹣=，解得：x=180，经检验，x=80是所列分式方程的解，且符合题意．则1.5x=1.5×180=270．答：高铁列车的平均行驶速度为270千米/时【考点】分式方程的应用【解析】【分析】首先设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为1.5x千米/时，利用高铁列车比普通快车用时少了20分钟得出等式进而求出答案．27、【答案】（1）解：如图所示：（2）解：BD=DE，证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠ABC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠4．∴∠1=∠4．∵CE=CD，∴∠2=∠3．∵∠4=∠2+∠3，∴∠3=∠4．∴∠1=∠3．∴BD=DE【考点】作图—复杂作图【解析】【分析】（1）①以A为圆心，AB长为半径画弧交BC于C；②根据角平分线的作法作∠ABM的角平分线；③以C为圆心CD长为半径画弧交CM于E，再连接ED即可；（2）根据角平分线的性质可得∠1=∠ABC，根据等边对等角可得∠ABC=∠4，∠2=∠3，然后再证明∠1=∠3，根据等角对等边可得BD=DE．五、<b>解答题</b>28、【答案】（1）24（2）解：定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；证明：设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x﹣1，x+1，上下两数分别为x﹣k，x+k（k≥3），十字差为（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣k）（x+k）=x2﹣1﹣x2+k2=k2﹣1，故这个定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）（3）976【考点】整式的混合运算【解析】【解答】解：（1）根据题意得：6×8﹣2×12=48﹣24=24；故答案为：24；（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，根据题意得：（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣62）（a+64）=2015，解得：a=976．故答案为：976．【分析】（1）根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值；（2）定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1），理由为：设十字星中心的数为x，表示出十字星左右两数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证；（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，根据相应的“十字差”为2015求出a的值即可．29、【答案】（1）解：如图1作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=45°，∵∠DBC=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=15°，∵AB=AB，∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，∴△ABD≌△ABD′，∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，∵BD=BD′，BD=BC，∴BD′=BC，∴△D′BC是等边三角形，∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，∵AB=AC，AD'=AD'，∴△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B=∠AD′C，∴∠AD′B=∠BD′C=30°，∴∠ADB=30°（2）解：第一种情况：当60°＜α≤120°时，如图2，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠BAC=α，∴∠ABC==90°﹣，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=90°﹣﹣β，同（1）可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD=∠ABD′=90°﹣﹣β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°﹣=180°﹣（α+β），∵α+β=120°，∴∠D′BC=60°，以下同（1）可求得∠ADB=30°，第二种情况：当0°＜α＜60°时，如图3，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠ABC=，∴∠ABD=∠DBC﹣∠ABC=，同（1）可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD=∠ABD′=，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，∴∠D′BC=∠ABC﹣∠ABD′=90°﹣，∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．同（1）可证△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B=∠AD′C，∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，∴∠ADB=∠AD′B=150°（3）0°＜α＜120°，β=60°或120°＜α＜180°，0＜β＜60°时，α﹣β=120°或120°＜α＜180°，β=60°【考点】全等三角形的性质，全等三角形的判定【解析】【解答】解：（3）点D和点A在直线BC的异侧时，分三种情况讨论：第一种情况：如图4，当120°＜α＜180°，β=60°时，连接CD，∵∠DBC=β=60°，BD=BC，∴△DBC是等边三角形，∴BD=CD，∴△ABD≌△ACD，∴∠ADB=∠ADC=30°，第二种情况：如图5，当120°＜α＜180°，0＜β＜60°时，连接CD′，∠ABC==90°﹣，∠ABD=∠ABC+∠DBC=90°﹣+β，∵△ABD≌△ABD′，∴∠ABD=∠ABD′=90°﹣+β，∵∠ADB=∠AD′B=30°，∴∠BD′C=60°，∵BD′=CD′，∴△BD′C是等边三角形，∴∠CBD′=（90°﹣+β）+（90°﹣）=60°，∴α﹣β=120°，第三种情况：如图6，当0°＜α＜120°，β=60°时，连接CD，与图4同理得：∠ADB=∠ADC=30°，故答案为：0°＜α＜120°，β=60°或120°＜α＜180°，0＜β＜60°时，α﹣β=120°或120°＜α＜180°，β=60°．【分析】（1）作辅助线构建全等三角形，证明△ABD≌△ABD′得△BD′C是等边三角形，再证明△AD′B≌△AD′C得∠AD′B=∠BD′C=30°，则∠ADB=∠AD′B=30°；（2）分两种情况进行讨论：第一种情况：当60°＜α≤120°时，利用全等先求∠ABC和∠ABD的度数，从而得∠ABD′和∠D′BC的度数，得到△BD′C是等边三角形，根据（1）同理得出∠ADB=∠AD′B=30°；第二种情况：当0°＜α＜60°时，仍然按此过程求出∠ADB=∠AD′B=150°；（3）分三种情况讨论：第一种情况：如图4，当120°＜α＜180°，β=60°时，构建等边三角形DBC得出结论；第二种情况：如图5，当120°＜α＜180°，0＜β＜60°时，证明△BD′C是等边三角形得出结论；第三种情况：如图6，当0°＜α＜120°，β=60°时，与第一种情况一样，得出结论．人教版八年级上学期期末考试数学试卷（三）一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．的平方根是（）A． B． C． D．2．若分式的值为0，则x的值是（）A．x≠3 B．x≠﹣2 C．x=﹣2 D．x=33．若△ABC有一个外角是锐角，则△ABC一定是（）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形4．下列等式成立的是（）A． B． C． D．5．下列事件中，随机事件是（）A．在地球上，抛出去的篮球会下落B．一个标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾C．购买一张福利彩票中奖了D．掷一枚普通的正方体骰子，向上一面的点数一定大于零6．以a、b、c为边长的三角形是直角三角形的是（）A．a=3，b=5，c=7 B．a=2，b=2，c=C．a=，b=，c= D．a=，b=，c=7．一个不透明的盒子中装有3个白球，5个红球和7个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（）A． B． C． D．8．下列变形正确的是（）A． B．C． D．9．已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高为h，用直尺和圆规作这个等腰三角形时，甲同学的作法是：先作底边BC=a，再作BC的垂直平分线MN交BC于点D，并在DM上截取DA=h，最后连结AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形；乙同学的作法是：先作高AD=h，再过点D作AD的垂线MN，并在MN上截取BC=a，最后连结AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形．对于甲乙两同学的作法，下列判断正确的是（）A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误10．在锐角三角形ABC中，高AD和BE交于点H，且BH=AC，则∠ABC的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．30°或45°二、填空题（共10道小题，每小题3分，共30分）11．当x时，有意义．12．若式子是分式，则x的取值范围是．13．一个均匀的正六面体的六个面上，有一个面写1，两个面写2，三个面写3，任意投掷一次该六面体，则朝上的一面是3的可能性是．14．如果2是m的立方根，那么m的值是．15．有四张卡片（背面完全相同）分别写有运算符号+，﹣，×，÷，把它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出1张卡片，放在“2□1”的方框里组成一个算式，再计算出结果，则计算结果是2的可能性是．16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD⊥AB，∠DAC=50°，则∠D的度数为．17．若等边三角形的边长为2，则它的面积是．18．已知m﹣n=3mn，则的值是．19．一列有规律的数：，2，，，，…，则第6个数是，第n个数是（n为正整数）．20．在数学实践课上，老师给同学们布置了如下任务：为美化校园环境，计划在学校内某处空地，用30平方米的草皮铺设一块等腰三角形绿地，使等腰三角形绿地的一边长为10米，请你给出设计方案．同学们开始思考，交流，一致认为应先通过画图、计算，求出等腰三角形绿地的另两边的长．请你也通过画图、计算，求出这个等腰三角形绿地的另两边的长分别为．三、解答题（共12道小题，共60分）21．计算：×（）22．计算：+．23．解方程：．24．已知：如图，AB平分∠CAD，∠C=∠D=90°．求证：AC=AD．25．先化简，再求值：，其中x+2=．26．已知x=3+，y=3﹣，求x2y+xy2的值．27．如图，点E在线段AB上，AD⊥AB，BC⊥AB，△DEC是等腰直角三角形，且∠DEC=90°．求证：AB=AD+BC．28．在彩虹读书活动中，某校决定为八年级学生购买同等数量的《钢铁是怎样炼成的》和《居里夫人自传》，供学生借阅．其中《居里夫人自传》的单价比《钢铁是怎样炼成的》的单价多8元．若学校购买《居里夫人自传》用了1000元，购买《钢铁是怎样炼成的》用了600元，请问两种书的单价各是多少元？29．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE∥AC，且DE=AC，若AC=2，AD=4，求四边形ACEB的周长．30．已知：如图，△ABC中，AB=AC=6，∠A=45°，点D在AC上，点E在BD上，且△ABD、△CDE、△BCE均为等腰三角形．（1）求∠EBC的度数；（2）求BE的长．31．已知：x2﹣3x+1=0，求的值．32．在等边△ABC的外侧作直线BM，点A关于直线BM的对称点为D，连结AD，CD，设CD交直线BM于点E．（1）依题意补全图1，若∠ABM=30°，求∠BCE的度数；（2）如图2，若60°＜∠ABM＜90°，判断直线BM和CD相交所成的锐角的度数是否为定值？若是，求出这个锐角的度数；若不是，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．的平方根是（）A． B． C． D．【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义求出即可．【解答】解：的平方根为=，故选C．【点评】本题考查了对平方根定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，注意：a（a≥0）的平方根为±．2．若分式的值为0，则x的值是（）A．x≠3 B．x≠﹣2 C．x=﹣2 D．x=3【考点】分式的值为零的条件．【分析】根据分子为0；分母不为0，可得答案．【解答】解：由分式的值为0，得x﹣3=0且x+2≠0．解得x=3，故选：D．【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．3．若△ABC有一个外角是锐角，则△ABC一定是（）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形【考点】三角形的外角性质．【分析】利用三角形的外角与相邻的内角互补的性质计算．【解答】解：∵△ABC有一个外角为锐角，∴与此外角相邻的内角的值为180°减去此外角，故此角应大于90°，故△ABC是钝角三角形．故选A【点评】此题考查的是三角形内角与外角的关系，即三角形的外角与相邻的内角互补．4．下列等式成立的是（）A． B． C． D．【考点】二次根式的性质与化简．【分析】根据二次根式的性质对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、=3≠﹣3，故本选项错误；B、==15≠9，故本选项错误；C、无意义，故本选项错误；D、=7，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．5．下列事件中，随机事件是（）A．在地球上，抛出去的篮球会下落B．一个标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾C．购买一张福利彩票中奖了D．掷一枚普通的正方体骰子，向上一面的点数一定大于零【考点】随机事件．【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．【解答】解：A、在地球上，抛出去的篮球会下落是必然事件，故A错误；B、一个标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾是必然事件，故B错误；C、购买一张福利彩票中奖了是随机事件，故C正确；D、掷一枚普通的正方体骰子，向上一面的点数一定大于零是必然事件，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．以a、b、c为边长的三角形是直角三角形的是（）A．a=3，b=5，c=7 B．a=2，b=2，c=C．a=，b=，c= D．a=，b=，c=【考点】勾股定理的逆定理．【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．【解答】解：A、32+52≠72，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．B、22+22=（2）2，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．C、（2）2+（3）2≠（3）2，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．D、（）2+（）2≠（）2，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．故选B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．7．一个不透明的盒子中装有3个白球，5个红球和7个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（）A． B． C． D．【考点】可能性的大小．【分析】先求出球的总数，再由概率公式即可得出结论．【解答】解：∵一个不透明的盒子中装有3个白球，5个红球和7个黄球，∴球的总数=3+5+7=15（个），∴这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性==．故选B．【点评】本题考查的是可能性的大小，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键．8．下列变形正确的是（）A． B．C． D．【考点】分式的基本性质．【专题】计算题；分式．【分析】原式各项利用分式的基本性质变形得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、=，错误；B、为最简分式，错误；C、==a﹣b，正确；D、=﹣，错误，故选C．【点评】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．9．已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高为h，用直尺和圆规作这个等腰三角形时，甲同学的作法是：先作底边BC=a，再作BC的垂直平分线MN交BC于点D，并在DM上截取DA=h，最后连结AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形；乙同学的作法是：先作高AD=h，再过点D作AD的垂线MN，并在MN上截取BC=a，最后连结AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形．对于甲乙两同学的作法，下列判断正确的是（）A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的判定．【专题】作图题．【分析】根据线段垂直平分线的性质对两同学的作法进行判断．【解答】解：根据甲同学的作法，AD垂直平分BC，则AB=AC，所以△ABC为直角三角形，而根据乙同学的作法，AD只垂直BC，不平分BC，所以不能判断△ABC为等腰三角形，所以甲同学作法正确，乙同学作法错误．故选A．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．10．在锐角三角形ABC中，高AD和BE交于点H，且BH=AC，则∠ABC的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．30°或45°【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】先根据已知条件利用AAS判定△BDH≌△ADC，得出BD=AD，因为∠ADB=90°，所以得出∠ABC=45°．【解答】解：∵△ABC为锐角三角形，∴高AD和BE在三角形内，∵高AD和BE交于点H，∴∠ADC=∠BEC=90°．∵∠EBD+∠BHD=90°，∠AHE+∠HAE=90°，∠BHD=∠AHE，∴∠EAD=∠EBD，又∵BH=AC，∠ADC=∠BDH=90°，在△BDH与△ADC中，，∴△BDH≌△ADC（AAS），∴BD=AD，∵∠ADB=90°，∴∠ABC=45°．故选B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．找准哪两个三角形全等是解决本题的关键．二、填空题（共10道小题，每小题3分，共30分）11．当x≥﹣时，有意义．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件可得3x+2≥0，再解即可．【解答】解：由题意得：3x+2≥0，解得：x≥﹣，故答案为：≥﹣．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．12．若式子是分式，则x的取值范围是x≠2．【考点】分式有意义的条件．【分析】根据分式有意义的条件可得：x﹣2≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．13．一个均匀的正六面体的六个面上，有一个面写1，两个面写2，三个面写3，任意投掷一次该六面体，则朝上的一面是3的可能性是．【考点】可能性的大小．【分析】先找出任意投掷一次该六面体所能出现的情况及出现3的情况，再由概率公式即可得出结论．【解答】解：∵一个均匀的正六面体的六个面上，有一个面写1，两个面写2，三个面写3，∴任意投掷一次该六面体可能出现6种情况，其中写有3的面有3种，∴朝上的一面是3的可能性==．故答案为：．【点评】本题考查的是可能性的大小，熟记概率公式是解答此题的关键．14．如果2是m的立方根，那么m的值是8．【考点】立方根．【分析】依据立方根的定义回答即可．【解答】解：∵23=8，∴2是8的立方根．∴m=8．故答案为：8．【点评】本题主要考查的是立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键．15．有四张卡片（背面完全相同）分别写有运算符号+，﹣，×，÷，把它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出1张卡片，放在“2□1”的方框里组成一个算式，再计算出结果，则计算结果是2的可能性是．【考点】可能性的大小．【分析】先把符号+，﹣，×，÷放在“2□1”的方框里计算出各数，再由概率公式即可得出结论．【解答】解：∵2+1=3，2﹣1=1，2×1=2，2÷1=2，∴计算结果是2的可能性==．故答案为：．【点评】本题考查的是可能性的大小，熟记概率公式是解答此题的关键．16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD⊥AB，∠DAC=50°，则∠D的度数为70°．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据四边形ADBC的内角和为360°，即可解答．【解答】解：∵∠ABC=60°，BD⊥AB，∴∠DBC=90°+60°=150°，∵四边形ADBC的内角和为360°，∴∠D=360°﹣∠ACB﹣∠DBC﹣∠DAC=360°﹣90°﹣150°﹣50°=70°．故答案为：70°．【点评】本题考查了多边形的内角和，解决本题的关键是熟记四边形的内角和为360°．17．若等边三角形的边长为2，则它的面积是．【考点】等边三角形的性质；勾股定理的应用．【专题】计算题．【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．【解答】解：等边三角形三线合一，即D为BC的中点，∴BD=DC=1，在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，∴AD==，∴△ABC的面积为BC•AD=×2×=，故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键．18．已知m﹣n=3mn，则的值是．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m﹣n=3mn代入进行计算即可．【解答】解：原式=，当m﹣n=3mn时，原式===．故答案为：．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．一列有规律的数：，2，，，，…，则第6个数是2，第n个数是（n为正整数）．【考点】算术平方根．【专题】规律型．【分析】根据题意得出规律第n个数是解答即可．【解答】解：，=2，，=，，…，则第6个数是=2，第n个数是，故答案为：2；【点评】本题主要考查算术平方根的知识点，关键是根据题意得出规律进行解答．20．在数学实践课上，老师给同学们布置了如下任务：为美化校园环境，计划在学校内某处空地，用30平方米的草皮铺设一块等腰三角形绿地，使等腰三角形绿地的一边长为10米，请你给出设计方案．同学们开始思考，交流，一致认为应先通过画图、计算，求出等腰三角形绿地的另两边的长．请你也通过画图、计算，求出这个等腰三角形绿地的另两边的长分别为和或10和6．【考点】作图—应用与设计作图．【分析】当底BC=10时，根据面积求出高AD，再根据勾股定理求出AB即可．当腰AB=10时，求出腰上的高BD，再利用勾股定理求出AD、BC．【解答】解：①如图1中，当底BC=10米时，作AD⊥BC垂足为D，∵•BC•AD=30，∴AD=6，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=5，∵AB=AC==．②如图②当AB=AC=10时，作BD⊥AC，垂足为D，∵，∴BD=6，∴AD==8，BC==6．综上所述这个等腰三角形的另外两边分别为和或10和6．故答案为为和或10和6．【点评】本题考查等腰三角形性质、三角形面积公式、勾股定理，分类讨论是正确解题的关键．三、解答题（共12道小题，共60分）21．计算：×（）【考点】二次根式的混合运算．【分析】首先利用单项式与多项式的乘法，然后进行化简即可．【解答】解：原式=﹣=6﹣2=4．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一定要把二次根式化为最简二次根式的形式．22．计算：+．【考点】分式的加减法．【专题】计算题．【分析】异分母分式相加减，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．【解答】解：原式=+（3分）=（5分）=．（7分）【点评】此题考查异分母分式的减法，比较容易．23．解方程：．【考点】解分式方程．【专题】计算题；分式方程及应用．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：1=2x﹣1+4，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．24．已知：如图，AB平分∠CAD，∠C=∠D=90°．求证：AC=AD．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据角平分线的定义得到∠CAB=∠DAB，推出△ACB≌△ADB，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB平分∠CAD，∴∠CAB=∠DAB，在△ACB与△ADB中，，∴△ACB≌△ADB，∴AC=AD．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．25．先化简，再求值：，其中x+2=．【考点】分式的化简求值．【分析】通分计算括号里面的加法，再算除法，由此顺序化简，进一步代入求得答案即可．【解答】解：原式=•=x+1，∵x+2=，∴x=﹣2，则原式=x+1=﹣1．【点评】此题考查分式的化简求值，掌握分式的化简的步骤与方法是解决问题的关键．26．已知x=3+，y=3﹣，求x2y+xy2的值．【考点】二次根式的化简求值．【分析】首先将原式提取公因式xy，进而分解因式求出答案．【解答】解：∵x=3+，y=3﹣，∴x2y+xy2=xy（x+y）=（3+）（3﹣）（3++3﹣）=（9﹣4）×6=30．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确掌握乘法公式是解题关键．27．如图，点E在线段AB上，AD⊥AB，BC⊥AB，△DEC是等腰直角三角形，且∠DEC=90°．求证：AB=AD+BC．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】证明题．【分析】由AD⊥AB，BC⊥AB，∠DEC=90°，可推出∠AED=∠BCE，进而证得△ADE≌△BEC，根据全等三角形的性质即可证得结论．【解答】证明：∵AD⊥AB，BC⊥AB，∠DEC=90°，∴∠AED=90°﹣∠BEC，∠BCE=90°﹣∠BEC，∴∠AED=∠BCE，∵△DEC是等腰直角三角形，∴DE=CE，在△ADE和△BEC中，，∴△ADE≌△BEC，∴AE=BC，AD=BE，∴AB=AD+BC．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．28．在彩虹读书活动中，某校决定为八年级学生购买同等数量的《钢铁是怎样炼成的》和《居里夫人自传》，供学生借阅．其中《居里夫人自传》的单价比《钢铁是怎样炼成的》的单价多8元．若学校购买《居里夫人自传》用了1000元，购买《钢铁是怎样炼成的》用了600元，请问两种书的单价各是多少元？【考点】分式方程的应用．【分析】首先表示出两种书的价格，进而利用购买同等数量的书籍，进而得出等式求出答案．【解答】解：设《居里夫人自传》的单价为x元，则《钢铁是怎样炼成的》的单价为：（x﹣8）元，根据题意可得：=，解得：x=20，检验：当x=20时，x（x﹣8）≠0，故x=20是原方程的根，则x﹣8=12．答：《居里夫人自传》的单价为10元，《钢铁是怎样炼成的》的单价为12元．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意利用两种书籍数量相等得出等式是解题关键．29．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE∥AC，且DE=AC，若AC=2，AD=4，求四边形ACEB的周长．【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质．【分析】先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=2．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．【解答】解：∵DE∥AC，且DE=AC∴四边形ACED是平行四边形．∴DE=AC=2．在Rt△ACD中，由勾股定理得CD==2．∵D是BC的中点，∴BC=2CD=4．在△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得AB==2．∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EB=EC=4．∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+2．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理和中线的定义，注意寻找求AB和EB的长的方法和途径．30．已知：如图，△ABC中，AB=AC=6，∠A=45°，点D在AC上，点E在BD上，且△ABD、△CDE、△BCE均为等腰三角形．（1）求∠EBC的度数；（2）求BE的长．【考点】等腰三角形的性质．【分析】（1）由AB=AC=6，∠A=45°，可求得∠ABC的度数，又由AD=BD，可求得∠ABD的度数，继而求得答案；（2）由AB=AC=6，∠A=45°，可求得BD的长，然后设DE=EC=x，可得BE=EC=x，即可得方程x+x=3，继而求得答案．【解答】解：（1）∵AB=AC=6，∠A=45°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∵△ABD是等腰三角形，AD=BD，∴∠ABD=∠A=45°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABD=22.5°；（2）∵∠A=∠ABD=45°，∴∠ADB=∠CDE=90°，∵AB=6，∴BD=AB•cos45°=3，设DE=x，则CD=DE=x，∴EC==x，∵BE=EC=x，∴x+x=3，解得：x=6﹣3，∴BE=6﹣6．【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．注意利用方程思想求解是解此题的关键．31．已知：x2﹣3x+1=0，求的值．【考点】二次根式的化简求值．【分析】先把x2﹣3x+1=0变形，得出x+=3，再结合完全平方公式求出的值．【解答】解：∵x2﹣3x+1=0，∴x+=3，∴（）2=x++2=5，∴=．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，熟练应用完全平方公式是解题关键．32．在等边△ABC的外侧作直线BM，点A关于直线BM的对称点为D，连结AD，CD，设CD交直线BM于点E．（1）依题意补全图1，若∠ABM=30°，求∠BCE的度数；（2）如图2，若60°＜∠ABM＜90°，判断直线BM和CD相交所成的锐角的度数是否为定值？若是，求出这个锐角的度数；若不是，请说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】探究型．【分析】（1）根据题意可以作出相应的图形，连接BD，由题意可得到四边形ADBC是菱形，根据菱形的对角线平分每一组对角，可以得到∠BCE的度数；（2）画出相应的图形，根据对称的性质可以得到相等的线段和相等的角，由等边△ABC，可以得到BC=BA，然后根据三角形内角和是180°，可以推出直线BM和CD相交所成的锐角的度数，本题得以解决．【解答】解：（1）补全的图1如下所示：连接BD，如上图1所示，∵由已知可得，BM垂直平分AD，∠ABM=30°，△ABC是等边三角形，∴△BDA是等边三角形，AD∥BC且AD=BC，DA=DB，∴四边形ADBC是菱形，∵∠ACB=60°，∴∠BCE=30°；（2）直线BM和CD相交所成的锐角的度数是定值，若下图所示，连接AE交BC于点F，由已知可得，BD=BA，BA=BC，ED=EA，则∠BDA=∠BAD，∠EDA=∠EAD，BD=BC，∴∠BDC=∠BCD，∠EDB=∠EAB，∴∠BCD=∠EAB，∵∠EFC=∠BFA，∠ABC=60°，∴∠CEA=∠ABC=60°，∵∠AEC+∠AEM+∠DEM=180°，∠DEM=∠AEM，∴∠DEM=60°，即直线BM和CD相交所成的锐角的度数是定值