高斯小学奥数六年级上册含答案第04讲-对应计数

第四讲对应计数有9个球排成一行：我们往其中插入两块（相同的）木板，就能够把这9个球分成三堆，例如：可以看到，插入两块木板把9个球分成三堆的方法很多，那么到底有多少种插入木板的方法呢？每相邻两个小球之间有一个空隙，一共有8个空隙．插入的两块木板要把小球分成三堆，说明两块木板要放在两个不同的空隙之中．8个空隙选两个，共有种方法．如果要把三堆小球分别装入颜色为红、黄、蓝的三个袋子里，又有多少种装法呢？其实，所谓装入红、黄、蓝三个袋子，就是把球分成三堆，因此答案也是28．这样我们就把“小球装袋”问题转化成“小球插板”问题来求解了，这种方法我们称之为“插板法”．放入红色袋子放入红色袋子放入黄色袋子放入蓝色袋子“插板法”是一种特殊的对应技巧，能够帮我们解决很多计数问题．

把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？

【分析】

「分析」题目的第一问与我们上面的小球插板问题非常相似，如何用“插板法”求解呢？第二问允许有的“小朋友没有分到苹果”，还能不能用“插板法”呢？

练习1、龟丞相把7个顶级乌龟壳分给4只小乌龟．如果每只小乌龟至少分一个，共有多少种分法？如果可以有的小乌龟没有分到乌龟壳，共有多少种方法？

某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择．请问：三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？「分析」题目只关心三个选项的统计数字，需要具体考虑每个学生所作的选择吗？

练习2、8名同学做同一道单选题，它有A、B、C、D四个选项，每个同学都选了其中一个选项．老师为了调查同学们的做题情况，把选择各个选项的人数都做了统计，则有多少种可能的统计结果？

最早的计数方法——对应法我们这一讲学习对应的计数方法，这种计数方法有很强的技巧性，很考验思维能力．也许你觉得这种对应法不是那么容易掌握，但它其实是非常有用，而且历史悠久的．人类最早使用的计数方法不是枚举，不是排列组合，也不是递推，而是对应！对应法最早的应用是结绳计数．最早期的时候，人类还没有发明数字．因而用枚举等其他方法来记录数量的多少是不可能办到的．这时，人们的计数方法是在绳子上打结或者在树上刻痕．用绳子上的结的数目或者树上划痕的道数来记录补获了多少猎物，采集了多少花果．这个时期持续了很长时间，因为人类的历史已经有几百万年，而数字的发明距今还不到1万年，在人类历史上的大部分时间，使用的计数方法是对应法——结绳计数．结绳记数这种方法，不但在远古时候使用，而且一直在某些民族中沿用下来．宋朝人在一本书中说：“鞑靼无文字，每调发军马，即结草为约，使人传达，急于星火．”这是用结草来调发军马，传达要调的人数呢！其他如藏族、彝族等，虽都有文字，但在一般不识字的人中间都还长期使用这种方法．中央民族大学就收藏着一副高山族的结绳，由两条绳组成：每条上有两个结，再把两条绳结在一起．有趣的是，结绳计数不止在我们中国古代用过，在国外也有很多结绳计数的记载．传说古波斯王有一次打仗，命令手下兵马守一座桥，要守60天．为了让将士们不少守一天也不多守一天，波斯王用一根长长的皮条，把上面系了60个扣．他对守桥的官兵们说：“我走后你们一天解一个扣，什么时候解完了，你们就可以回家了．”对应是最原始的计数方法，充分蕴含着人类的智慧．

在的方格棋盘中，一共可以数出多少个如下图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？

「分析」要把“L”型放入的方格棋盘的方格盘中，按照放的方向分，可以有8种情形，那么是不是需要对每一个方向的“L”型分别进行计数呢？

练习3、在的方格棋盘中，一共可以数出多少个如下图所示的由3个单位小正方形组成的图形？

（1）一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？

（2）如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点，每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？

「分析」（1）青蛙在直线上跳跃4次后要回到起点，如果一直往一个方向跳，显然是不行的．那么青蛙应该怎么跳呢？

（2）青蛙在方格表上跳跃4次后要回到起点，现在青蛙有哪些跳跃的方向，每个方向上各应该跳跃多少次呢？

练习4、一只青蛙沿着一条直线跳跃6次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？

对应法是一种很巧的计数方法，但如何建立对应关系，是其中的难点．之前几道题，对应关系的建立相对比较直接，而有些问题，则需要通过大量的分析，才能找出隐藏的对应关系．

常昊与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，谁先胜4局即获得比赛的胜利．请问：比赛过程一共有多少种不同的方式？ 「分析」由对称性，只需求出常昊获胜的比赛过程有多少种．比赛最多进行7场，其中常昊一定胜4场．如果我们按比赛先后顺序给每场比赛编号，那么常昊胜的4场比赛编号，就决定了整个比赛流程．而常昊获胜的比赛可以是哪4场呢？

海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7盏．但为了行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？「分析」你能用插板法求解这道题吗？

最早的密码战最早的密码战公元前405年，雅典和斯巴达之间的伯罗奔尼撒战争已进入尾声．斯巴达军队逐渐占据了优势地位，准备对雅典发动最后一击．这时，原来站在斯巴达一边的波斯帝国突然改变态度，停止了对斯巴达的援助，意图是使雅典和斯巴达在持续的战争中两败俱伤，以便从中渔利．在这种情况下，斯巴达急需摸清波斯帝国的具体行动计划，以便采取新的战略方针．正在这时，斯巴达军队捕获了一名从波斯帝国回雅典送信的雅典信使．斯巴达士兵仔细搜查这名信使，可搜查了好大一阵，除了从他身上搜出一条布满杂乱无章的希腊字母的普通腰带外，别无他获．情报究竟藏在什么地方呢？斯巴达军队统帅莱桑德把注意力集中到了那条腰带上，情报一定就在那些杂乱的字母之中．他反复琢磨研究这些天书似的文字，把腰带上的字母用各种方法重新排列组合，怎么也解不出来．最后，莱桑德失去了信心，他一边摆弄着那条腰带，一边思考着弄到情报的其他途径．当他无意中把腰带呈螺旋形缠绕在手中的剑鞘上时，奇迹出现了．原来腰带上那些杂乱无章的字母，竟组成了一段文字．这便是雅典间谍送回的一份情报，它告诉雅典，波斯军队准备在斯巴达军队发起最后攻击时，突然对斯巴达军队进行袭击．斯巴达军队根据这份情报马上改变了作战计划，先以迅雷不及掩耳之势攻击毫无防备的波斯军队，并一举将它击溃，解除了后顾之忧．随后，斯巴达军队回师征伐雅典，终于取得了战争的最后胜利．公元前405年，雅典和斯巴达之间的伯罗奔尼撒战争已进入尾声．斯巴达军队逐渐占据了优势地位，准备对雅典发动最后一击．这时，原来站在斯巴达一边的波斯帝国突然改变态度，停止了对斯巴达的援助，意图是使雅典和斯巴达在持续的战争中两败俱伤，以便从中渔利．在这种情况下，斯巴达急需摸清波斯帝国的具体行动计划，以便采取新的战略方针．正在这时，斯巴达军队捕获了一名从波斯帝国回雅典送信的雅典信使．斯巴达士兵仔细搜查这名信使，可搜查了好大一阵，除了从他身上搜出一条布满杂乱无章的希腊字母的普通腰带外，别无他获．情报究竟藏在什么地方呢？斯巴达军队统帅莱桑德把注意力集中到了那条腰带上，情报一定就在那些杂乱的字母之中．他反复琢磨研究这些天书似的文字，把腰带上的字母用各种方法重新排列组合，怎么也解不出来．最后，莱桑德失去了信心，他一边摆弄着那条腰带，一边思考着弄到情报的其他途径．当他无意中把腰带呈螺旋形缠绕在手中的剑鞘上时，奇迹出现了．原来腰带上那些杂乱无章的字母，竟组成了一段文字．这便是雅典间谍送回的一份情报，它告诉雅典，波斯军队准备在斯巴达军队发起最后攻击时，突然对斯巴达军队进行袭击．斯巴达军队根据这份情报马上改变了作战计划，先以迅雷不及掩耳之势攻击毫无防备的波斯军队，并一举将它击溃，解除了后顾之忧．随后，斯巴达军队回师征伐雅典，终于取得了战争的最后胜利．聪明人制造了密码，等待更聪明的人去毁灭它．课堂内外

作业一部电视连续剧共8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多少种安排播出的方法？

现在有12道竞赛题，卡莉娅要在今天、明天、后天这三天内按顺序做完，但每一天可以做很多道题也可以一道不做．共有多少种安排做题的方案？

阿呆在玩PSP格斗游戏，游戏采用的是五局三胜制（阿呆VS电脑），谁先胜三场谁就获得胜利．如果最后阿呆获胜，那么一共有多少种可能的比赛过程？（只考虑每场比赛的胜负）

在的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由5个单位小正方形组成的“凹”字形？

（1）有8个鸡蛋，每天至少吃1个，一共吃了5天，有多少种不同的吃法？

（2）有8个鸡蛋，每天至少吃2个，一共吃了3天，有多少种不同的吃法？

（注：这8个鸡蛋看作完全相同）

第四讲对应计数例题：答案：171；231

详解：第一问用课文里所说的“插板法”即可解决．20个苹果，共有19个空隙，分给3个小朋友需要块隔板，将2块隔板插入19个空隙中的某两个中，就是从19个空隙中挑出两个用来插板子，方法有；第二问同样用插板法，仍然是20个苹果和2块隔板．但此时隔板不一定要放在19个空隙中，也可以放在所有苹果的最左端或者最右端，而且它们也不一定插入两个不同的空隙，插入同一个空隙也是可以的．因此，我们只要把20个苹果和2块隔板随意排成一行即可．这个对象排成一行会占22个位置，从这22个位置中挑出2个来放隔板，剩余的20个位置自然就是放苹果，因此共有种不同的方法．

答案：861

详解：本题相当于把40个苹果放入3个盘子里，每个盘子都允许为空．因此共有40个苹果和2块隔板．方法数等于．

答案：336个

详解：如右图所示，每个的长方形内都包含了4个不同的“L”型．因此只要求出图中有几个小长方形即可．利用几何计数（五年级上册第9讲）的知识不难得知，的长方形（包括横的和竖的）共有个，所以共有“L”型个．

答案：（1）6；（2）361234详解：青蛙要能够回到起点，必须向左跳两次，向右跳两次．例如（左，左，右，右），（左，右，右，左）等．不难看出，只要从4步中挑出21234详解：现在青蛙需要朝四个方向跳，我们记四个方向为1、2、3、4（如图所示）．如果想要跳回原地，必须保证四步之内1和2一样多，3和4一样多．于是可以分为两类情形：第一类，1、2、3、4各一个，共有种方法；第二类，只有1、2或者只有3、4，共有种方法．两者相加共36种．

答案：70

详解：由对称性，只需求出常昊获胜的比赛过程有多少种，再乘以2即可．比赛最多进行7场，其中常昊一定胜4场，而且比赛一定是在常昊获得第4场胜利时结束的，因此常昊获胜的那4场比赛的编号就决定了整个比赛流程．

答案：

详解：本题从题面上看，是要从18盏灯中选出7盏来熄灭．但实际解决的时候，需要换一个角度：如何把灭掉的7盏灯，插入另外11盏亮着的灯之间．如下图所示，在11盏亮灯之间插入熄灭的灯时，每个空隙最多插1盏，否则灭灯就相邻了，因此必须挑7个空隙，每个空隙插一盏，而可供插入的空隙有12个（两端也可），因此答案为．

练习：答案：；

简答：用插板法即可解决，具体过程略．答案：

简答：相当于把8个球放入4个篮子，每个篮子都可以为空．答案：100

简答：每个田