高斯小学奥数六年级上册含答案第08讲-复杂直线型计算

第八讲复杂直线型计算我们在之前的学习中已经详细学习了直线形长度、角度以及面积的计算，并学习了直线形中的各种比例关系．下面我们就对这些知识作一下总结．本讲知识点汇总：我们在之前的学习中已经详细学习了直线形长度、角度以及面积的计算，并学习了直线形中的各种比例关系．下面我们就对这些知识作一下总结．角度问题边形的内角和是；边形的外角和是360°．基本直线形的面积计算：

三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形面积公式（详细公式略）．直线形中的比例关系等高三角形：面积比等于底的比．babaS2S1abS2S1abS2S1S1aS2b共角三角形：面积比等于共角夹边比的乘积．如右图所示，阴影三角形与大三角形共享一个角，它的左侧边占大三角形左侧边的，右侧边占大三角形右侧边的，那么它的面积就是大三角形的．沙漏三角中的比例关系：如下图所示，上下两个三角形底边平行，另两边呈交叉关系，则有比例关系成立．aabcdefabcdefabcdefabab共边长方形的面积比等于另一组边的比．如右图所示，．

ab如右图所示，长方形被一对分别平行于长、宽的线段一分为四，则有面积比例：．将其写成交叉相乘的形式可得．

abS1S1S2S3S4如右图所示，当四边形被对角线分为四个部分的时候，这四块的面积有的比例关系成立．S3S4S1S2如右图所示，连接四边形的一条对角线CD，并在CD上取一点O，连接OA和OBS3S4S1S2a1a1b1c1a2b2c2金字塔模型右图三角形中添加一条与底边平行的平行线，就是金字塔模型．金字塔模型的比例关系如右图：

和．燕尾三角形：上面的等高三角形中我们学过等高三角形的比例关系，如下左图所示，△ABC被线段AD一分为二，且有比例关系．abS1S2abS1S2ABCD外比：BS1S2S3S4CADO内比：面积之间的比例关系如图中所示．A、B是两个大小完全一样的长方形，已知这个长方形的长比宽长8厘米，图中的字母表示相应部分的长度．则A、B中阴影部分的周长之差是多少厘米？

「分析」根据图中标出的字母，你能用字母a、b分别表示出长方形的长和宽以及两图中阴影部分的周长之差吗？

bbbbbbbbBaaabbbbA②①练习1、下图中，大正六边形内部有7个完全一样的小正六边形．如果阴影部分的周长是l20(阴影部分周长由内、外两部分组成)，那么大正六边形的周长是多少？

如图，ABCDE是正五边形，CDF是正三角形，那么∠BFE等于多少度？

「分析」正五边形的每个内角是多少度？等边三角形每个内角又是多少度？由此如何求出∠BFE的度数？

AACDEFB

练习2、如下图，已知ABCDEF是正六边形，ABIJK是正五边形，ABGH是正方形，图中∠AFK、∠AHK哪个大，它们的差是多少度？

ADCADCBFEGHKJI如图，四边形ABCD与四边形CNMP都是平行四边形，若三角形DFP与三角形AEF的面积分别是21和43，则三角形BNE的面积为多少？

AAPDBNCMEF「分析」两个平行四边形为我们提供了几组平行线这个条件，那么如何使用平行线作为我们的解题突破口呢？

练习3、图中的长方形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么阴影部分的面积是多少？

11231427

11231427已知四边形ABCD是平行四边形，三角形AEF的面积为4，三角形CDE的面积为9，那么平行四边形的面积等于多少？

ABCDFE

「分析」这道题中有一个“沙漏形”是可以用在解题中的请你找出．

练习4ABCDFEABCDO416

如图，大长方形被分为四个小长方形，面积分别为12、24、35、49．那么图中阴影图形的面积为多少？

1224493512244935EGFACBHDIJ如图所示，ABCD是一个长方形，点E在CD延长线上．已知AB5，BC12，三角形AFE的面积等于15，那么三角形CFE的面积等于多少？

ABCDEFABCDEF几何原本几何原本《几何原本》（希腊语：Στοιχεῖα）是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，共13卷．这本著作是现代数学的基础，在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍．这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里得最有价值的一部著作．在《原本》里，欧几里得系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，把人们公认的一些事实列成定义和公理，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学．而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作．《几何原本》集整个古希腊数学的成果和精神于一书．既是数学巨著，又是哲学巨著，并且第一次完成了人类对空间的认识．除《圣经》之外，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比．《几何原本》大约成书与公元前300年，原书早已失传，如今见到的《几何原本》是经过后来的数学家们修改过的，而且有的包含13卷，有的包含15卷，书中大部分内容有关图形的知识（即几何知识）．1582年，意大利人利玛窦到我国传教，带来了15卷本的《原本》．1600年，明代数学家徐光启（1562-1633）与利玛窦相识后，便经常来往．1607年，他们把该书的前6卷平面几何部分合译成中文，并改名为《几何原本》．后9卷是1857年由我国清代数学家李善兰（1811-1882）和英国人伟烈亚历译完的．《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理）．《几何原本》第一卷列有23个定义，5条公理，5条公设．（其中最后一条公设就是著名的平行公设，这些定义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础．全书以这些定义、公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的．比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证．都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔细证明．欧几里得的《几何原本》是中学生学习数学基础知识的好教材．它巳成为培养、提高青、少年逻辑思维能力的好教材．历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而做出了伟大的贡献．两千多年来，《几何原本》一直是学习几何的主要教材．哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就．课堂内外作业如图，它是由若干块面积为12平方厘米的小长方形砖和3块白色小正方形砖砌起来的一面墙，问这块墙的面积是多少？

ABCDE1如图，将一个正方形的左上角和左下角折起来，并且交于A点，求∠ABCDE1ABDCE1O如图，ABCD是一个长方形，E为CD边的一个三等分点，如果图中阴影部分面积为ABDCE1ODCBAFEO如图，面积为4的正方形ABCD中，E、FDCBAFEO如图，三角形ABC的面积是1，D、E、F分别是相应边的三等分点，三角形ADO的面积是多少？

ACBACBDEEFOE第八讲复杂直线型计算例题：答案：16厘米

详解：长方形的长为，宽为．再根据长比宽多8厘米，就能求出厘米．长方形A中，阴影部分的周长为．长方形B中，阴影部分有6条边，它的周长其实就等于大长方形的周长，等于．两者相差厘米．

答案：

详解：因为△CDF是正三角形，所以．正五边形的内角和是，每个内角是．因此．△BCF是等腰三角形，所以，同理也等于．因此看得到．

答案：22

详解：如图连接AM，因为PM∥AD，所以由蝴蝶模型可知三角形DFP与三角形AFM面积相等；同样道理三角形BEN与三角形AEM面积相等，所以三角形BEN面积=43－21=22．

AAPDBNCMEF答案：30

详解：三角形AFE与三角形DCE构成沙漏模型，而已知面积比为4:9，所以对应边长比为EF:EC=2:3，因此FE:FC=2:5．三角形AFE又与三角形BFC构成金字塔模型，所以三角形AFE与三角形BFC的面积比为4:25，因此三角形BFC的面积为25，所以四边形ABCE的面积为25－4=21，因此平行四边形的面积为21+9=30．

答案：15

详解：，所以．，所以．由此可得，．而，因此阴影部分的面积等于．

答案：30

详解：三角形ABF与三角形DEF构成沙漏模型，所以，即，所以，又因为AD=12，所以AF=6，因此．所以三角形CFE的面积=．练习：答案：90

简答：阴影部分的外周长与大正六边形相同，而阴影部分的外周长等于内周长的3倍，因此阴影部分外周长等于总周长的，即．

答案：

简答：四边形内角等于90°，五边形内角等于108°，六边形内角等于120°，所以，．△AFK与△AHK都是等腰三角形，因此，，两者相差．

答案：25

简答：如图作辅助线构造蝴蝶模型即可．

112311231427111212141313答案：36

简答：三角形AOD与三角形BOC构成沙漏模型，而已知面积比为4:16=1:4，所以对应边长比为OD:OB=1:2，因此三角形AOD与三角形BOA的面积比为1:2，所以三角形BOA的面积为8．由蝴蝶模型可知三角形COD的面积也是8，所以梯形的面积是4+16+8+8=36．作业：答案：270

简答：设小长方形的长为x，宽为y．从水平方向的线段可以看出，因此．所以小长方形的长宽比为3:2，而相应小正方形的边长就是份．由此可得小长方形的面积是白色小正方形的倍，即．接着把小长方形与小正方形的面积相加即可得到答案．

FABCDE1答案：75°

简答：如右图，添加一个点F．△ADE是正三角形，所以，因此，由于△AFE是由△BFE折叠而来的，因此两个三角形完全相同，