第四章-系统参数辨识

第四章系统参数辨识1、掌握最小二乘参数辨识方法的基本原理2、掌握常用的最小二乘辨识方法4.1最小二乘参数估计法

高斯自己独创了一套行星轨道计算理论。高斯仅用1小时就算出了谷神星的轨道形状，并进行了预测1795年，高斯提出了最小二乘的思想。一最小二乘估计问题的提出

未知量的最可能值是使各项实际观测值和计算值之间差的平方乘以其精确度的数值以后的和为最小。1795年，高斯提出的最小二乘的基本原理是线性离散观测模型观测值增益矩阵待估计向量量测噪声考虑被辨识系统模型

如果定义获得批处理法的最小二乘估计：例题：求最小二乘估计如果增加一个观察值，如何求下一个估计值？

一般最小二乘为一次完成算法。

计算量大、存储大、不适合在线辨识。

采用参数递推估计——递推最小二乘算法。

二.递推最小二乘法原理及算法将新数据加入以前的观测数据中，则：引进加权矩阵，可以写成分块形式：矩阵求逆引理递推最小二乘算法：1.设置初值2.采样当前输入输出数据3.利用递推公式，分别计算4.kk+1,返回第二步，继续循环例题：

求递推最小二乘估计例题三.指数加权递推最小二乘法参数缓慢变化递推最小二乘法存在局限性：数据饱和性，递推最小二乘对信息的取用方式是按新、老数据相同信任度系统的动态特性随时间变换，最新的观测值才能反映出对象当前的特性。数据越老，偏离当前对象特性的可能性越大为了强调新获得的数据的作用，根据数据的“新”，“旧”程度采用不同的权值设，以的指数为数据的权值，表示对新老数据不同的信任度加权矩阵可以写成如下形式：矩阵求逆引理4.2最小二乘估计的统计特征

考虑方程最优估计

最小二乘的统计性质1.无偏性用来衡量估计值是否围绕真值波动的特性数学：如果估计值的期望等于随机变量的期望，则称为估计值是随机变量的无偏估计。如果V和H中所有分量独立，并且E(V)=0则X估计值是X的无偏估计方差的最优性设V的协方差阵为则设存在另外一个x的线性无偏估计根据著名的Schwatz不等式：3.估计的一致性当时，依概率收敛到x二残差的统计性质1期望与方差独立性计算顺序例题：设有两个观测值不用递推公式求的估计值用递推公式求§4.3广义最小二乘法一问题的提出Z=Φx+υ若υ是相互独立的，白噪声，最小二乘估计——无偏估计。若υ是相关的，最小二乘估计——有偏估计。克服这个缺点——广义最小二乘法（方法之一）§4.3广义最小二乘法考虑被辨识系统模型

广义最小二乘法GLS原理GeneralizedLeastSquares

基本思想：引入白化（把相关的有色噪声e(k)转化为白噪声υ（k））例题考虑下面的单变量系统其中，a需要辨识的参数，e(k)是白噪声，求a的估计值是a的无偏估计的条件rye(1)ry(0)例题二广义最小二乘的计算例题：1.确定初值>>a=[1;1;1];b=[111];a*bans=111111111>>eye(3)-ans/4ans=0.7500-0.2500-0.2500-0.25000.7500-0.2500-0.2500-0.25000.7500仿真实例考虑如下系统利用最小二乘算法进行参数估计LSclearall;a=[1-1.50.7]';b=[10.5]';d=1;na=length(a)-1;nb=length(b)-1;L=500;uk=zeros(d+nb,1);yk=zeros(na,1);x1=1;x2=1;x3=1;x4=0;S=1;xi=randn(L,1);theta=[a(2:na+1);b];fork=1:Lphi(k,:)=[-yk;uk(d:d+nb)]';y(k)=phi(k,:)*theta+xi(k);IM=xor(S,x4);ifIM==0u(k)=-1;elseu(k)=1;endS=not(S);M=xor(x3,x4);x4=x3;x3=x2;x2=x1;x1=M;fori=d+nb:-1:2uk(i)=uk(i-1);enduk(1)=u(k);fori=na:-1:2yk(i)=yk(i-1);endyk(1)=y(k);endthetae=inv(phi'*phi)*phi'*y'thetae=-1.4874e+0006.9161e-0019.8242e-0014.2057e-001thetae=-1.4889e+0007.0332e-0011.0657e+0005.5176e-001仿真实例考虑如下系统clearall;closeall;

a=[1-1.50.7]';b=[10.5]';d=3;na=length(a)-1;nb=length(b)-1;

L=400;uk=zeros(d+nb,1);yk=zeros(na,1);u=randn(L,1);xi=sqrt(0.1)*randn(L,1);theta=[a(2:na+1);b];

thetae_1=zeros(na+nb+1,1);P=10^6*eye(na+nb+1);fork=1:Lphi=[-yk;uk(d:d+nb)];y(k)=phi'*theta+xi(k);

K=P*phi/(1+phi'*P*phi);thetae(:,k)=thetae_1+K*(y(k)-phi'*thetae_1);P=(eye(na+nb+1)-K*phi')*P;thetae_1=thetae(:,k);

fori=d+nb:-1:2uk(i)=uk(i-1);enduk(1)=u(k);

fori=na:-1:2yk(i)=yk(i-1);endyk(1)=y(k);endplot([1:L],thetae);xlabel('k');ylabel('²ÎÊý¹À¼Æa¡¢b');legend('a_1','a_2','b_0','b_1');axis([0L-22]);>>thetae(:,400)ans=-1.4831e+0006.8527e-0019.9597e-0015.1699e-001>>thetae(:,600)ans=-1.5013e+0007.0766e-0011.0004e+