线性系统的能控性与能观性分析

第四章线性系统的能控性与能观性分析通过与建立起了间接联系，也有可能能受支配。与有直接联系，可能能支配的运动；

状态量的引入以及它在系统中的重要地位，有两个问题引起关心：〔1〕系统能否在适宜的控制量作用下从任意的初始状态运动到希望的终止状态。系统的能控性，控制量对系统状态的支配能力。〔2〕根据输出量的测量值能否确定出系统的状态值。系统的能观性，输出量对系统状态的测辨能力。§1.系统能控性和能观性的直观例如例如1：考虑线性系统

与没有联系，不可能支配的运动；就是，所以能够通过来观测；例如2：考虑线性系统

与没有任何联系〔直接的或间接的〕，不能通过来观测。通过能观测的与建立了间接联系，有可能能观测例如3：

和完全对称，必有解：

当初始状态时，使系统的状态运动到任意的的目标状态，但不可能运动到的目标状态；可见，特定条件下的状态量是可以受控制量支配的。

例如4：

时，和也是完全对称的，在初始状态的特定条件下，总有。这时，虽然每个状态变量都与输出量有联系，但这种联系通过所存在的二条通道相互抵消，从而不能通过输出量来观测状态量。上面的直观例如对能控性、能观性的说明不严密，需要作出较严格的定义，推导出可用的判据。对于上面系统的指定初始时刻的非零初始状态，如果能找到一个无约束的容许控制，使系统状态在有限的时间区间内在的作用下运动到终止状态，那么称该状态在时刻是能控的，记作。§2连续系统能控性及其判据

2．系统能控：一、能控性定义1．状态能控：线性时变连续系统对于上面系统，如果状态空间中所有初始状态在时刻都是能控的，那么称系统在时刻是状态完全能控的，简称系统在时刻能控。〔1〕将，称为在能达；〔2〕可以证明，线性连续系统的能控性与能达性是等价的；〔3〕如上，线性时变连续系统强调了“时刻〞的能控性，假设与初始时刻无关，那么称一致能控。定常系统的能控性与初始时刻无关，所以不必强调时间，称状态能控或系统能控。二、能控性根本判据1．能控子空间：我们着重关心的是能控状态在状态空间的分布情况。

把状态空间中全体能控状态的集合称为能控子空间，它是系统状态空间的一个线性子空间。

还存在能控子空间的正交补空间，它也是系统状态空间的线性子空间，有直和

是状态在能控子空间上的投影向量，为状态的能控分量；

状态空间内的任一向量x都可以表示为在上述两个子空间的投影向量之和，即：

是状态在正交补空间上的投影向量，为状态的不能控分量；这二个向量正交，它们的内积为零，即：

2．能控性根本判据：矩阵称为能控性格拉姆〔Gram〕矩阵，有能控性根本判据的另一种表达形式。能控性根本判据：系统在时刻状态完全能控的充要条件是维时间函数矩阵的n个行向量线性无关，其中。

可以证明，时间函数矩阵的n个行向量线性无关与下面矩阵非奇异完全等价：

能控性格拉姆矩阵判据：系统在时刻状态完全能控的充要条件是能控性格拉姆矩阵非奇异，其中。

根据能控性格拉姆矩阵判据，可以求得使一个能控状态在时间区间内运动到的控制量：

各元素全为0，的行向量组线性无关

三、定常系统能控性判据上面判据都适用，不再强调“某一时刻〞。1．代数判据：定常系统凯莱－哈密顿定理

各元素全为0，的行向量组线性无关或秩为n称为线性定常连续系统的能控性矩阵。

代数判据或秩判据：线性定常连续系统状态完全能控的充要条件是系统的能控性矩阵的秩为n，即由代数判据可以证明，引入非奇异线性变换，不改变系统的能控性。存在并满秩，所以有：

例4－3试判别下面线性定常连续系统的能控性：解：求得系统的能控性矩阵为

由计算得到的前三列就可得出不必再计算出后三列的具体数值。通过计算行列式能较方便地判别一个方阵是否满秩。由于

所以，可以计算维方阵的行列式来判别能控性矩阵是否满秩。

线性定常连续系统状态完全能控的充要条件是系统矩阵A的所有特征值满足：2．PBH秩判据：证明略例4－4应用PBH秩判据判别下面系统的能控性解：先求得系统的特征值为：对于有其秩为2；对于有其秩也为2；满足PBH秩判据条件，所以系统的状态完全能控。一个等价的判据是：

这是因为s域上除特征值外，都有

分别以不同的特征值代入上式，只有当时，才能使3．特征值标准型判据特征值标准形式，控制量与状态量之间的关系是显式的。对角线标准型判据：系统矩阵A为对角阵，且对角线上元素互异时，系统状态完全能控的充要条件是输入矩阵B不存在元素全为0的行。应用PBH秩判据，有：

由于非奇异变换不改变系统的能控性，状态完全能控的充要条件是其对角线标准型的输入矩阵不存在元素全为0的行。系统能控1〕系统不能控系统能控系统不能控2〕3〕4〕5〕A虽为对角阵，但对角线上元素不互异，不能用上述判据。实际上，该系统的能控性矩阵为：不是满秩阵，系统不能控。约当标准型判据1：A为约当阵且不同约当块具有不同对角元素时，系统状态完全能控的充要条件是输入矩阵B的与每个约当块末行对应的行元素不全为0。以只具有一个约当块的情况来说明：应用PBH秩判据，将系统唯一的n重特征值代入判别矩阵，有：只有当时，才能使

系统能控系统不能控系统能控1〕2〕3〕约当标准型判据2：A为约当阵，但不同约当块具有相同对角元素时，系统状态完全能控的充要条件是输入矩阵B的与每个约当块末行对应的那些行彼此线性无关。以具有2个约当块的情况来说明：只有当行向量和线性无关时，才能使应用PBH秩判据，将系统唯一的特征值代入判别矩阵，有：系统不能控系统能控一个对角元素可视为阶次为1的约当块，所以有系统不能控1〕2〕3〕系统能控4〕

当A既有相异的对角元素，又有约当块时，可联合应用上述三个判据进行判别。系统能控1〕如果存在控制作用，在有限的时间区间内，将任一给定的初始输出推向所规定的任意终点输出，那么称系统是输出完全能控的，简称系统输出能控。系统能控2〕四、定常系统的输出能控性描述系统的控制量对输出量的支配能力。当时，有：

输出能控性代数判据：线性定常系统输出完全能控的充要条件是维输出能控性矩阵的秩为，即

当系统状态完全能控即满秩时，有，输出能控性取决于输出矩阵C是否满秩；

当系统状态不完全能控时，输出能控性取决于的行向量线性相关情况。所以，输出能控性与状态能控性之间没有必然联系。例4－10分析下面系统的状态能控性和输出能控性。解：

系统状态不完全能控系统输出也不完全能控通常，输出不能控对应了系统输入到输出传递关系为0的情况。其中不受u的支配，系统输出不完全能控。§3连续系统能观性及其判据

系统的能观性用来表示系统输出量对状态量的测辨能力，当研究从能测量的输出量间接获取不能直接测量的状态量的问题时，首先要研究系统是否具备能观性。一、能观性定义与系统的输入量无关，令1．状态能观：对于上面系统和指定的初始时刻，能够根据有限的时间区间内测量到的输出量唯一地确定系统任意的非零初始状态，那么称该状态在时刻是能观的。

如果在一个时间区间内，无论状态量如何变化，而输出量始终不变，那么状态是不能观的。于是，可等价地给出状态不能观的定义。对于上面系统，如果状态空间中所有的非零状态在时刻都不是不能观的，那么称系统在时刻是状态完全能观的，简称系统在时刻能观。对于上面系统和指定的初始时刻，如果存在非零初始状态，使系统的输出响应在有限的时间区间内恒为零，那么称该状态在时刻是不能观的，记作。2．状态不能观：3．系统能观：同样，线性时变连续系统强调了“时刻〞的能观性，假设与初始时刻无关，那么称一致能观。定常系统的能观性与初始时刻无关，所以不必强调时间，称状态能观或系统能观。引入确定性的外部输入不影响系统状态的能观性。是状态在不能观子空间上的投影向量，为状态的不能观分量；二、能观性根本判据1．不能观子空间：系统能观性考察的是状态空间中是否所有的非零状态都能观。

把状态空间中全体不能观状态的集合称为不能观子空间，记作，它是系统状态空间X

的一个线性子空间。在状态空间X中还可以得到不能观子空间的正交补空间，记作，它也是系统状态空间X

的线性子空间，同样有

状态空间内的任一向量x都可以表示为在上述两个子空间的投影向量之和，即：是状态在正交补空间上的投影向量，为状态的能观分量；直和例如4中，只有满足的状态是不能观的，如图是不能观子空间，是不能观子空间的正交补空间。

直线上的状态都是不能观的，它们在上的投影向量为零，在上的投影向量非零。

不位于直线上的状态点x

在上的投影向量非零，为，在上的投影向量为。可见，由系统的输出测量值所确定的初始状态值是过状态点x与直线平行的一条直线。即同样的输出测量值对应了无数个初始状态，但是如果要确定距离状态空间原点最近〔范数最小〕的初始状态，那么只有唯一的一个，为，位于正交补空间上。

可以认为不能观子空间以外的状态都是能观的，在最小范数的意义下，将正交补空间称为能观子空间，其上的是能观状态。2．能观性根本判据：上面系统的输出响应可表示为：由不能观状态的定义可得：各元素全为0，的列向量组线性无关能观性根本判据：系统在时刻状态完全能观的充要条件是维时间函数矩阵的n个列向量线性无关，其中。

可以证明，时间函数矩阵的n个列向量线性无关与下面矩阵非奇异完全等价：矩阵称为能观性格拉姆〔Gram〕矩阵，有能观性根本判据的另一种表达形式。

能观性格拉姆矩阵判据：系统在时刻状态完全能观的充要条件是能观性格拉姆矩阵非奇异，其中。

根据能控性格拉姆矩阵判据，可以出一个能观的初始状态为：三、能控性与能观性的对偶关系能控性根本判据：的n个行向量线性无关能观性根本判据：的n个列向量线性无关的n个列向量线性无关

的n个行向量线性无关那么系统的能控性等价于的能观性，系统的能观性也等价于的能控性。称满足上述关系的两个系统互为对偶系统。两个系统1．对偶系统：且有：或互为转置逆而它们的系统矩阵满足关系：这是因为：对于系统的状态转移矩阵应满足：又它与的关系为：所以有：互为对偶系统的框图：2．对偶性原理：互为对偶的系统和，它们的能控性和能观性也成对偶关系，即系统的能控性等价于系统的能观性，系统的能观性等价于系统的能控性。

对偶性原理给我们研究系统的能控、能观性带来很大方便。四、定常系统能观性判据对偶系统与能达性等价

1．代数判据〔或秩判据〕：线性定常连续系统状态完全能观的充要条件是系统的能观性矩阵的秩为n，即证明：应用对偶性原理，对偶系统为：的能控性矩阵为：转置秩不变，即

可见，的秩等于n是系统能控的充要条件，显然也是系统能观的充要条件。将上面矩阵称为线性定常系统的能观性矩阵，记为。由代数判据可以证明，引入非奇异线性变换，不改变系统的能控性。P为满秩阵，所以有：例4－13试判别以下线性定常连续系统的能观性：

同样，可以通过计算维方阵的行列式来判别能观性矩阵是否满秩。解求得系统的能观性矩阵为

由计算得到的前三行可得出系统能观的结论，就不必再计算出后面行的具体数值。2．PBH判据：

线性定常连续系统状态完全能观的充要条件是系统矩阵A的所有特征值满足：应用对偶性原理证明。

也有等价的判据：例4－14应用PBH秩判据判别下面系统的能观性：解:先求得系统的特征值为：对于有

，其秩为1；对于有

，其秩为2；不满足PBH秩判据条件，系统状态不完全能观。3．特征值标准型判据特征值标准形式，输出量与状态量之间的关系是显式的。对角线标准型判据：A为对角阵，且对角线上元素互异时，系统状态完全能观的充要条件是输出矩阵C不存在元素全为0的列。应用对偶性原理，或者应用PBH秩判据很容易证明该判据。1〕系统不能观2〕3〕系统能观系统不能观约当标准型判据1：A为约当阵且不同约当块具有不同对角元素时，系统状态完全能观的充要条件是输出矩阵C的与每个约当块首列对应的列元素不全为0。应用对偶性原理，或者应用PBH秩判据很容易证明该判据。1〕系统能观系统不能观系统能观2〕3〕约当标准型判据2：A为约当阵，但不同约当块具有相同对角元素时，系统状态完全能观的充要条件是输出矩阵C的与每个约当块首列对应的那些列彼此线性无关。应用对偶性原理或者应用PBH秩判据同样很容易证明该判据。1〕系统能观，C矩阵的第1、3列线性无关2〕系统不能观，C矩阵的第1、3列线性相关

这里把一个对角元素视为阶次为1的约当块

3〕系统能观，C矩阵的第1、3、4列线性无关，第5、7列也线性无关

当A既有相异的对角元素，又有约当块时，可联合应用上述三个判据进行判别。系统能观1〕2〕系统能观§4.线性离散系统的能控性与能观性

通过l步使任意初始状态x(0)运动到终止的零状态对于上面系统的指定初始时刻及任意非零初始状态，如果能找到一个无约束的容许控制序列，使系统状态在有限的时间区间内运动到原点，那么称系统在时刻是能控的。1．能控性定义：一、能控性

与此相对应，也将控制序列能使系统状态在有限时间区间内从零初始状态运动到任意指定的非零终止状态称为系统在时刻是能达的。对于线性定常离散系统，能控性与初始时刻无关，所以不再强调“h时刻〞的能控性，而称系统能控。2．定常系统能控性判据〔代数判据〕：

即：上式中能对任意的x(0)求得u(0)、u(1)、…、u(n-1)，那么系统能控。

这是一个从n个非齐次线性方程求解l×p个未知量的问题，根据线性方程解的存在理论，必须满足：单输入系统，左边矩阵为n×l维，右边矩阵为n×(l+1)维，当G非奇异时，必须有，所以n是离散系统的最小拍控制。而多输入系统，左边矩阵为n×lp

维，右边矩阵为n×(lp+1)维，显然可有。

当G奇异时,上式成立对于能解出控制序列u(k)只是充分的。

当G非奇异时,上式成立对于能解出控制序列u(k)不仅是充分的，而且必要的。所以，线性定常离散系统能控性的判据为：〔1〕G非奇异时,系统状态完全能控的充要条件是：G非奇异时,上式成立是系统状态完全能控的充分条件。〔2〕G非奇异时,多输入系统l步(l<n)状态完全能控的充要条件是：对于能达性，有：称线性定常离散系统的能控性矩阵

线性定常离散系统能达性的判据为：〔1〕系统状态完全能达的充要条件是：〔2〕多输入系统l步(l<n)状态能达的充要条件是：G非奇异时，离散系统的能控性等价于能达性，G奇异时不等价。例4－19判别下面线性定常离散系统的能控性和能达性。解：易知G为奇异矩阵，代入能控性矩阵有其秩为1，系统状态不完全能达不能确定系统的能控性〔因为G奇异时，上式只是系统能控的充分条件〕

实际上可以找到，使系统状态在它的作用下运动到原点：即系统状态是完全能控的，而且是1步能控。二、能观性1．能观性定义：对于上面系统的指定初始时刻h,在输入向量序列u(k)的情况下，能够根据有限采样区间内测量到的输出向量序列y(k)，唯一地确定系统任意的非零初始状态，那么称系统在h时刻是能观的。线性定常离散系统，能观性与初始时刻无关，所以不再强调“h时刻〞，而称系统能观。

这是qn个方程求解n维未知量的非齐次线性方程组，有唯一解的充要条件是下面矩阵满秩：2．定常系统能观性判据：令，系统为：得：n步测量得：所以，线性定常离散系统能观性的判据为：线性定常离散系统状态完全能观的充要条件是：称为线性定常离散系统的能观性矩阵

三、连续系统离散化后的能控性和能观性先看一个关于连续系统离散化后系统能控性、能观性的例如。例4－21考察下面系统离散化前后的能控性和能观性：解：连续系统的能控性和能观性矩阵分别为：系统的状态转移矩阵为：满秩，能观满秩，能控离散化后系统的G和h分别为：当有：离散系统的能控性矩阵和能观性矩阵分别为：系统的能控性矩阵和能观性矩阵是否满秩，取决于采样周期T。系统不能控，不能观当，满秩，系统能控，能观连续系统离散化后的离散系统的能控性、能观性与采样周期T

有关。不加证明地给出如下结论：

对于线性定常连续系统，其对应的离散系统保持能控性和能观性的充要条件是，对满足的系统矩阵A的一切特征值，使采样周期T的值满足

该结论表示了A的所有实部相等的特征值的虚部与采样周期应满足的关系。对于实数特征值采样周期不受限制。

上例中，A有一对共轭复数特征值，离散系统保持能控、能观性的采样周期取值为：与上面分析结果一致。值得注意的是，系统矩阵A的所有实部相等的特征值都要按上式限制采样周期，例如某系统有特征值和，那么采样周期T的取值应受以下6个式子的限制：剔除无意义和重复的式子后，采样周期T的取值应满足：§5线性定常系统的能控标准型与能观标准型n阶线性定常系统：

或：能控标准型：一、单输入单输出系统能观标准型：1．单输入系统的能控标准型〔两点结论〕：〔1〕具有能控标准型形式的单输入线性定常系统一定是状态完全能控的。系统的能控性矩阵为：这是一个主对角线元素均为1的右下三角阵，显然有。〔2〕一个不具能控标准型形式的能控的n阶单输入系统，一定可以通过非奇异变换化为能控标准型形式，其中变换矩阵P为：这是因为：系统能控，其能控性矩阵满秩。P的n个列向量线性无关，P为非奇异变换矩阵。由，有：由凯莱－哈密顿定理及可得：由P的式子又由及可得：代入上式得：所以有：所以有：即在具有上面所示的变换矩阵P的作用下，新状态空间表达式的系统矩阵和输入矩阵具有能控标准型形式。例4－22试判断下面系统的能控性，如能控那么将它化为能控标准型。解：系统的能控性矩阵为系统能控，可将它化为能控标准型。先写出系统的特征多项式：即：按上面式子得出变换矩阵P：求出其逆为：分别求得新状态空间表达式的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵为：显然是能控标准型形式。是矩阵的n个行向量〔1〕取的最后一行为变换矩阵的逆阵的第1个行向量；还可以按以下方法求得变换矩阵P：〔2〕求得变换矩阵的逆阵：这是因为，如设非奇异变换矩阵的逆矩阵为：线性变换将原动态方程化为能控标准型，即及即逆矩阵可表示为：求得后就可以由上面式子得到非奇异变换矩阵的逆阵。又：即：由于系统能控，其能控性矩阵非奇异，于是可得：即矩阵的第1个行向量是能控性矩阵的逆阵的最后一行。上例中，已求得：求得其逆阵为：那么：得到的变换矩阵P与前面求出的一样，显然变换后得出同样的结果。2．单输出系统的能观标准型：应用对偶性原理，也可以得出两点结论：〔1〕具有能观标准型形式的单输出线性定常系统一定是状态完全能控的。〔2〕一个不具能观标准型形式的能观的n阶单输出系统，一定可以通过非奇异变换化为能观标准型形式，其中变换矩阵的逆阵为：这是因为：系统能观，其能观性矩阵满秩，必非奇异。由，有：由凯莱－哈密顿定理及可得：由的式子又由及，可得：代入上式得：所以有：所以有：即在具有上面所示的变换矩阵逆阵的作用下，新状态空间表达式的系统矩阵和输出矩阵具有能观标准型形式。类似于上面能控标准型，也可以按以下方法求得将一个能观系统变换为能观标准型的变换矩阵P:〔1〕取的最后一列为变换矩阵P的第1个列向量；〔2〕变换矩阵为：上述结论利用对偶性原理可直接得出。例4－23判断下面系统的能观性，如能观那么将它化为能观标准型。解：按第一种方法解，有系统能观，可将它化为能观标准型。即：显然是能观标准型形式。按另一种方法求解，有与第一种方法求得的变换矩阵一样，显然变换后得出同样的结果。二、多输入多输出系统

单输入系统的能控性矩阵或单输出系统的能观性矩阵都是维的，在构造变换矩阵时，可方便地直接将它们的n个列向量或行向量线性组合得到。

多输入系统的能控性矩阵为维，当系统能控时，从个列向量中选取n个线性无关的列向量的方案有很多种。

同理，一个能观的多输出系统，从维能观性矩阵的个行向量中选取n个线性无关的行向量的方案也有很多种。因此，多输入多输出系统的能控标准型和能观标准型较之单输入单输出系统在形式上和构造方法上都要复杂得多。有“列向搜索〞和“行向搜索〞两种选取n个线性无关向量的方案。采用“列向搜索〞方案得到旺纳姆〔Wonham〕能控〔能观〕标准型；采用“行向搜索〞方案得到龙伯格〔Luenberger〕能控〔能观〕标准型。§6

线性系统的结构分解一、系统能控性、能观性在线性变换下的属性〔1〕非奇异变换下系统的能控性保持不变。其中满秩，所以有：〔2〕非奇异变换下系统的能观性保持不变。其中P满秩，所以有：讨论不完全能控或不完全能观的系统。选取适宜的非奇异变换，实现系统结构的有效分解。二、按能控性分解设：说明中仅有k个列向量线性无关，取这k个线性无关的列向量，再另选取(n-k)个线性无关并与线性无关的列向量，构成非奇异变换矩阵，即：其逆矩阵为：变换矩阵P及其逆阵Q有如下性质：因为，对于有〔1〕

〔2〕〔3〕所以有：性质2性质3

因此，状态不完全能控的系统在上述变换矩阵P的非奇异变换下，使系统实现按能控性的结构分解，即为k维能控分状态向量，为(n-k)维不能控分状态向量。显式地表示出k维能控子系统：和(n-k)维不能控子系统：方框图为：2维1维

1).系统的极点集合是由能控子系统的极点集合和不能控子系统的极点集合组成。2).P的不唯一性，变换后可有多个结果，但标准表达式的形式是一样的。3).一个线性定常系统完全能控的条件是其不能通过一个非奇异矩阵P变换成一个这样的标准表达形式。几个注意点：说明中仅有m个行向量线性无关。取这m个线性无关的行向量，再另选取(n-m)个线性无关并与线性无关的行向量，构成非奇异变换矩阵的逆阵，即三、按能观性分解按能观性分解对偶于按能控性分解。求逆得变换矩阵P：

有对应结论：状态不完全能观的系统在上述变换矩阵P的非奇异变换下，使系统实现按能观性的结构分解，即为m维能控分状态向量，为(n-m)维不能控分状态向量。显式地表示出m维能观子系统：和(n-m)维不能观子系统：方框图为：上述关于按能控性分解的几个注意点也适合按能观性分解。得到按能观性分解的表达式：容易写出2维能观子系统和1维不能观子系统

1〕设n维系统有，按上面原那么构造变换矩阵，通过非奇异变换将原系统按能控性分解成k维能控子系统：四、系统结构的标准分解

对于既不能控又不能观的系统,可以先按能控性分解成能控和不能控子系统,然后再分别进行按能观性分解;或者相反。和〔n-k〕维不能控子系统：2〕设能控子系统的能观性矩阵有，按上面原那么构造变换矩阵的逆阵，通过非奇异变换将能控子系统变换为：3〕设不能控子系统的能观性矩阵有，按上面原那么构造变换矩阵的逆阵，通过非奇异变换将不能控子系统变换为：同时，，并可证明有所以有：综合上面分解过程，可得出状态既不完全能控又不完全能观系统的标准结构分解，即：容易显式地表示出4个子系统，它们分别是：能控能观子系统：能控不能观子系统：不能控能观子系统：不能控不能观子系统：方框图为：系统的特征值集合由4个子系统的特征值集合组成。五、系统的标准分解与系统传递函数矩阵

传递函数矩阵描述了系统的输入－输出特性，即输入量u到输出量y的传递关系。

对于一个既不能控又不能观的系统，只存在唯一的一条由系统输入u到系统输出y的传递通道，即：四个子系统中，只有一个子系统〔能控能观子系统〕既与输入量u又与输出量y建立联系，所以系统的传递函数矩阵可以表示为：即系统的传递函数矩阵与能控能观子系统的传递函数矩阵等价。传递函数矩阵只反映了系统中既能控又能观的那局部，它是系统的一种不完全描述。而状态空间描述反映了系统的所有各局部，是系统的一种完全描述。

系统实现问题：对给定的传递函数矩阵求相应的状态空间表达式。所求得的一个状态空间表达式是系统传递函数矩阵的一个实现。一个给定的传递函数矩阵可以对应无数个状态空间表达式〔维数可以不相同〕，只要这些状态空间表达式具有相同的能控能观子系统。给求解系统实现问题带来困难。工程上，寻求维数最小的一种实现〔最小实现〕具有重要意义。

结论：传递函数矩阵G(s)的一个实现为最小实现的充要条件是该实现为既能控又能观。

一个传递函数矩阵的实现不是唯一的，其最小实现也不是唯一的，但最小实现的维数是唯一的。

同一传递函数矩阵的最小实现之间是非奇异线性变换关系，也即它们是代数等价的。对于一个具有严格真有理分式的传递函数矩阵G(s)，求最小实现：〔1〕求出G(s)的一个能控标准型〔或能观标准型〕实现；〔2〕判别上述能控标准型〔或能观标准型〕实现的能观性〔或能控性〕，如已是既能控又能观，那么必是最小实现；〔3〕否那么对其按能观性〔或能控性〕分解，找出既能控又能观子系统，就是最小实现。§7能控性、能观性与传递函数〔矩阵〕的关系

即：

等式左边的分母多项式为n次，右边的分母多项式为m次，且。

可见系统的能控、能观性与传递函数是否存在零、极点相消现象有必然联系。重新写出系统传递函数〔矩阵〕表示式：

当m<n时，系统一定不是既能控又能观的。而此时等式成立的唯一可能是等式左边式子存在零、极点相消。

1.线性定常单输入单输出系统状态完全能控、能观的充要条件是传递函数无零、极点相消。

一、单输入单输出系统

这个结论是很明显的。系统状态完全能控、能观，说明它是系统的最小实现，它的维数应对应于传递函数无零、极点相消的情况。

但是，如果传递函数出现零、极点相消现象，不能确定系统是不能控的，还是不能观的，还是既不能控又不能观的。传递函数的分子、分母有相同因子〔s-1〕,所以系统应为不完全能控能观的。

显然实现1能控不能观，实现2不能控能观，实现3不能控不能观。该传递函数有3种实现，即对应了3种状态空间表达式：2.单输入线性定常系统状态完全能控的充要条件是由控制到状态的传递关系无零、极点相消。3.单输出线性定常系统状态完全能观的充要条件是由状态到输出的传递关系无零、极点相消。4.单输入单输出线性定常系统既不能控又不能观的充分条件是其预解矩阵存在零极点相消。上面例的实现2：有零极点相消，不能控。上面例的实现1：有零极点相消，不能观。又例如要讨论以下图所示系统的能控性由图可写出系统的状态方程为：有：有零极点相消，系统不能控。

可见基于传递函数零极点相消的控制系统设计方法破坏了系统状态的能控性、能观性。不能随意采用这种设计方法。实际上，系统的能控性矩阵为：二、多输入多输出系统

通过零极点相消来判断其能控、能观性较单输入单输出系统复杂，因为传递函数矩阵不存在零极点相消只是系统最小实现的充分条件而非充要条件。1．预解矩阵分子、分母不存在可以相消公因子的情况：

这时，传递函数矩阵是最